Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Các dạng toán về đồ thị liên quan tới tính đơn điệu

Các dạng toán về đồ thị liên quan tới tính đơn điệu

Tải bản đầy đủ - 0trang

 x − 1  −1  x  0



y = f  ( x − 1) − 1 . Ta có y  0  f  ( x − 1)  1  

 x −1  2

x  3

Vậy hàm số đồng biến trên ( −1;0 ) . Chọn B.



3.



Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên



. Đồ thị hàm



số y = f  ( x ) như hình bên dưới

Đặt g ( x ) = f ( x ) − x , khẳng định nào sau đây là đúng?

A. g ( 2 )  g ( −1)  g (1) .

B. g ( 1)  g ( −1)  g ( 2 ) .

C. g ( −1)  g ( 1)  g ( 2 ) .

D. g ( −1)  g ( 1)  g ( 2 ) .

Giải

Ta có g  ( x ) = f  ( x ) − 1 . Dựa vào đồ thị, dễ thấy f  ( x )  1 x  ( −1;2 ) và chỉ bằng 0

tại các điểm hữu hạn, do đó g ( x ) nghịch biến trên ( −1; 2 ) . Hàm số f ( x ) liên tục trên



−1;2

4.



nên g ( x ) liên tục trên  −1;2 . Do đó g ( −1)  g (1)  g ( 2 ) . Chọn C.



Cho hàm số y = f ( x ) . Biết đồ thị hàm số



y = f  ( x ) như hình vẽ

Hỏi hàm số f ( x 2 − x ) nghịch biến trong khoảng

nào trong các khoảng sau:

1



A.  −1;  .

B. ( 2; +  ) .

2



C. ( − ; − 1) .

D. ( −1; 2 ) .

Giải

Ta có: y = ( 2 x − 1) f  ( x 2 − x ) .

Nếu x 



1

 2x −1  0 .

2



 x 2 − x  −4

 x 2 − x − 2  0  −1  x  2 .

Khi đó y  0  f  ( x 2 − x )  0   1

−  x2 − x  2

 2

1

1

1 

Kết hợp với x  , ta có  x  2 . Do đó hàm số nghịch biến trên  ; 2  .

2

2

2 

1

Nếu x   2 x − 1  0 .

2



1



−4  x 2 − x  −

x  2



Khi đó y  0  f  ( x − x )  0 

.

2  x2 − x − 2  0  

 2

x  −1



 x − x  2

2



Kết hợp với x 



1

, ta có: x  −1 . Do đó hàm số nghịch biến trên ( − ; − 1) .

2



Chọn C.

5.



Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau



x



f ( x)



−2



−







+



0



0



+



3



1



+







0



Hàm số y = f ( x 2 + 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −2;1) .



C. ( 0;1) .



B. ( −4; − 3) .



D. ( −2; − 1) .



Giải – Chọn D

Xét y = ( 2 x + 2 ) . f  ( x 2 + 2 x ) .

Với x  −1 , ta có:



 x 2 + 2 x  −2

x  1

2





y  0  f ( x + 2x )  0   2

 x2 + 2x − 3  0  

 x  −3

 x + 2x  3

Kết hợp với x  −1 , ta có: x  1 . Hàm số nghịch biến trên (1; +  ) .

Với x  −1 , ta có: y  0  f  ( x 2 + 2 x )  0  −2  x 2 + 2 x  3  −3  x  1 .

Kết hợp với x  −1 , ta có hàm số nghịch biến trên ( −3; − 1) . Chọn D.

6.



Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau



x



f ( x)



−



0

+



0



1







0







0



+



3



2



+



0







Hàm số y = f ( x − 1) + x3 − 12 x nghịch biến trên khoảng nào?

A. (1; +  ) .



B. (1; 2 ) .



C. ( − ;1) .



D. ( 3; 4 ) .



Giải

Ta có: y = f  ( x − 1) + 3x 2 − 12

0  x − 1  2

1  x  3



Chú ý rằng 3x 2 − 12  0  −2  x  2 ; f  ( x − 1)  0  

 x −1  3

x  4

2

Do đó với x  (1; 2 ) , 3x − 12  0 và f  ( x − 1)  0 nên y  0 . Chọn B.



7.



Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x )

như hình vẽ

Hàm số y = f (1 − x ) +

khoảng nào?



x2

− x nghịch biến trên

2



3



A.  −1;  .

2



C. ( −3;1) .



B. (1;3) .

D. ( −2;0 ) .



Giải

Ta có: y = − f  (1 − x ) + x − 1 . Đặt 1 − x = t , khi đó y = − f  ( t ) − t



y  0  − f  ( t ) − t  0  f  ( t )  −t .

Xét hệ trục tọa độ Oty , đồ thị hàm số y = f  ( t ) và đường thẳng y = −t có đồ thị như

hình vẽ.



t  −3

1 − x  −3

x  4





Dựa vào đồ thị, ta thấy f  ( t )  −t  

1  t  3

1  1 − x  3

 −2  x  0

x2

Vậy hàm số y = f (1 − x ) + − x nghịch biến trên ( −2;0 ) và ( 4; +  ) . Chọn D.

2



8.



Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị là

đường parabol như hình vẽ. Hàm số y = f (1 − x 2 ) + 2 x 2

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0;2 ) .

C. ( −2; −1) .



3



B.  ; +  .

2



D. ( −1;1) .



Giải



y = −2 x. f  (1 − x 2 ) + 4 x = −2 x  f  (1 − x 2 ) − 2 



1 − x 2  0

2

2







Nếu x  0 , y  0  f (1 − x ) − 2  0  f (1 − x )  2  

với f ( a ) = 2

2

1 − x  a

 x2  1

 x  1 (tới đây có thể chọn đáp án B)

( a  2) .   2

x  1− a



Nếu x  0 , y  0  f  (1 − x 2 ) − 2  0  f  (1 − x 2 )  2  0  1 − x 2  a

 1 − a  x 2  1  −1  x  0 . Chọn B.



9.



Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số g ( x ) =  f ( x )  nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau

2



A. ( − ;3) .



B. (1;3) .



C. ( 3; +  ) .



D. ( −3;1) .



Giải



 f ( x) = 0

Ta có: g '( x) = 2 f '( x). f ( x)  g '( x) = 0  

, ta có bảng xét dấu

 f ( x ) = 0

 x = −3

 x = −3

Dựa vào đồ thị, ta thấy f  ( x ) = 0  

. Trong khi đó f ( x ) = 0  

, nhưng

x = 1

x = 3

f ( x ) khơng đổi dấu khi x qua −3 .



Ta có bảng xét dấu hàm g ( x ) như sau:



x



f ( x)

f ( x)



−3



−



+



0











0







0



+



3



1



+







+



0



g ( x)



+



0

0

0

+

+





Dựa vào bảng xét dấu, hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng (−; −3) và (1;3) .

Chọn B.

10.



Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên



và có f ( 0 ) = 0 và



có đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ. Hàm số

y = 3 f ( x ) − x3 đồng biến trên khoảng nào?



A. ( 2; +  ) .



B. ( −; 2 ) .



C. ( 0; 2 ) .



D. (1;3) .



Giải

Xét hàm số g ( x ) = 3 f ( x ) − x3 , g  ( x ) = 3 f  ( x ) − 3x 2 .



Vẽ



đồ



thị



hàm



y = x2



số



trên



cùng



1



trục



tọa



độ,



ta



thấy



x = 0

g  ( x ) = 0  f  ( x ) = x   x = 1

 x = 2

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) , với chú ý rằng g ( 0 ) = 3 f ( 0 ) = 0

2



x



g ( x)



−



0





0



1



+



0



+



2



+



0







g ( 2)



g ( x)



0

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số g ( x ) đồng biến và nhận giá trị dương trên



( 0; 2 ) nên hàm số g ( x )

11.



đồng biến trên ( 0; 2 ) .



Cho hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f  ( x ) được

cho như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f ( 2 x 4 − 1) đồng

biến trên khoảng nào dưới đây

A. (1; +  ) .



 3

B. 1;  .

 2



1 

C.  ;1 .

2 



D. ( −; − 1) .



Giải

 x = −1

f ( x) = 0  

, xét g  ( x ) = 8 x3 . f  ( 2 x 4 − 1)

x = 3

 x3 = 0

x = 0

g ( x) = 0  





4

4

 f  ( 2 x − 1) = 0

x =  2

Dễ thấy g  ( 2 )  0 , g  (1)  0 , g  ( −1)  0 , g  ( −2 )  0 nên ta có bảng xét dấu g  ( x )



Từ đó chọn C.

12.



Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm

trên



. Biết hàm số f  ( x ) có đồ thị được cho



trong hình vẽ. Tìm điều kiện của m để hàm số

g ( x ) = f ( 2019 x ) − mx + 2 đồng biến trên 0;1

A. m  0 .

B. m  ln 2019 .

C. 0  m  ln 2019 . D. m  ln 2019 .

Giải

Cần tìm m để g  ( x ) = f  ( 2019 x ) .2019 x.ln 2019 − m  0 với mọi x   0;1 .



Rõ ràng 2019 x  1; 2019 nên f  ( 2019 x )  0 , do đó g  ( x )  −m , dấu bằng xảy ra khi

và chỉ khi x = 0 . Vậy −m  0  m  0 . Chọn A.

13.



Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau



x

y



−



+



−2

0

4







3

0



+

+

+



y

−

−2

5

3



Hàm số g ( x ) = f  2 x 2 − x −  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau

2

2



1



1 

 5

9



A.  −1;  .

B.  ;1 .

C. 1;  .

D.  ; +   .

4



4 

 4

4





Giải



5 

5

3



Ta có: g  ( x ) =  4 x −  . f   2 x 2 − x −  .

2 

2

2



Do đó

5



x=



5



8



4 x − 2 = 0

5

3

1 5 9



g ( x) = 0  

  2 x 2 − x − = −2  x  −1; ; ;1; 



2

2

4 8 4



 f   2x2 − 5 x − 3  = 0







 

5

3

2

2

2 x2 − x − = 3



2

2

Lập bảng biến thiên hàm số y = g  ( x ) , ta chọn được đáp án C.

Chọn C.

14.



Cho hàm số y = f ( x ) có đúng hai điểm cực trị

x = 1, x = 4 và có đồ thị như hình vẽ sau:



Biết hàm số y = f ( 2 x − 1) nghịch biến trên khoảng



( ;  ) . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức



 −







3

.

2

C. 2 .

A.



5

.

2

D. 1 .



B.



Giải

Hàm số y = f ( 2 x − 1) có y = 2 f  ( 2 x − 1) . Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta thấy khoảng

nghịch biến của f ( x ) là 1; 4 . Do đó f  ( x )  0  1  x  4 .



y = 2 f  ( 2 x − 1)  0  1  2 x − 1  4  1  x 



nhất của  −  là

15.



5

 5

. Do đó ( ;  )  1;  nên giá trị lớn

2

 2



5

3

− 1 = . Chọn A.

2

2



Hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên



, biết rằng hàm số y = f ( 2 − x ) có đồ thị



như hình vẽ bên dưới



Hàm số y = f ( x3 − 3) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

B. ( −1;2 ) .



A. ( −2;1) .



D. ( 0;3) .



C. (1; 4 ) .



Giải

Gợi ý: khó khăn của bài tốn nằm ở giả thiết cho đồ thị hàm số y = f ( 2 − x ) , nếu như

giả thiết cho đồ thị hàm số y = f ( x ) thì có thể mọi thứ sẽ trở nên đơn giản hơn rất

nhiều. Hãy nhớ lại phép biến đổi đồ thị để biến đồ thị hàm số y = f ( 2 − x ) thành đồ thị

hàm số y = f ( x ) , từ đó đưa ra lời giải bài toán.



g ( x ) = f ( 2 − x ) thì g ( − x ) = f ( 2 + x ) , do đó đồ thị hàm số f ( 2 + x ) được xác định

bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = f ( 2 − x ) qua trục tung. Bảng biến thiên của



f ( 2 + x ) như sau

x



−



−2



1



+



f (2 + x)

Đồ thị hàm số y = f ( x ) được xác định bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( 2 + x )

sang phải 1 lượng 2 đơn vị, ta có bảng biến thiên của đồ thị y = f ( x ) như sau:



x



−



0



3



f ( x)

x = 0

Xét y = f ( x3 − 3) , y = 3x 2 f  ( x 3 − 3) , y  0  

3

 f  ( x − 3)  0



+



x  3 3

 x3 − 3  0

.

f  ( x 3 − 3)  0   3



3

x



3



3

x



6









Vậy



trên



( −2;1) ,



khoảng



hàm



số



y = f ( x3 − 3) nghịch biến.



16.



Cho hàm số y



Hàm số g x



1



A.  −; −  .

2





f x . Đồ thị hàm số y



10



f 3 2x



f



x như hình bên dưới



đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?



 1 

B.  − ;1 .

 2 



C. (1; 2 ) .



D. ( −;1) .



Giải

f 3− 2 x

Ta có g  ( x ) = −2 f  ( 3 − 2 x ) .10 ( ).ln10 .

 x  −1

.

Dựa vào đồ thị, suy ra f  ( x )  0  

1  x  4



x  2

3 − 2 x  −1



 1

.

Xét g  ( x )  0  f  ( 3 − 2 x )  0  





x



1

1  3 − 2 x  4

 2

 1 

Vậy g ( x ) đồng biến trên các khoảng  − ;1 , ( 2; + ) . Chọn B.

 2 



2.

17.



Các dạng toán về đồ thị liên quan tới cực trị



Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp

các giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số

y = f ( x − 2019 ) + m − 2 có 5 điểm cực trị. Số các phần tử của

S là

A. 2.

C. 4.



B. 3.

D. 5.



Giải

Đặt g ( x ) = f ( x ) + m − 2 thì g ( x − 2019 ) = f ( x − 2019 ) + m − 2 , do đó để hàm số



g ( x − 2019 ) có 5 điểm cực trị thì hàm số g ( x ) phải có 5 điểm cực trị.

Rõ ràng f ( x ) + m − 2 có cùng số điểm cực trị với hàm f ( x ) là 3 điểm cực trị (theo đồ

thị), nên phương trình f ( x ) + m − 2 = 0 phải có đúng 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.



Ta có f ( x ) + m − 2 = 0  f ( x ) = 2 − m , phương trình này có đúng 2 nghiệm đơn hoặc

2 − m  2

m  0

nghiệm bội lẻ thì 

. Vì m là số ngun khơng âm nên



 −6  2 − m  −3

5  m  8

m 0;5;6;7 . Chọn C.



18.



Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như

hình vẽ. Hàm số y = f ( x 2 + x ) có bao nhiêu điểm cực

đại?

A. 1.

C. 3.



B. 2.

D. 4.



Giải

Phân tích: Để tìm được số điểm cực đại của hàm số, ta

phải xét được dấu của y’



Xét y =  f ( x 2 + x ) = ( 2 x + 1) f  ( x 2 + x ) .

−2  x  1





−1 − 5

 −2  x 

  x  −1 − 5

2



f  ( x2 + x )  0  1  x2 + x  2  

2



 −1 + 5



 x 1



1

+

5



 x 

 2

2

 

Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x 2 + x ) như sau:



x

2x +1







2



+



f ( x + x)



−1 − 5

2



−2



−







0











0



+



y

0

0

+





Từ đó, hàm số có 2 điểm cực đại. Chọn B.



19.



1

2

0



−1 + 5

2







0



+



+



1

+



+



+



0







0



+



+



0







0



+



Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) như

2 f x −4 x

hình vẽ. Hỏi hàm số y =  ( )

đạt cực tiểu tại điểm

nào?



A. x = 1 .

C. x = −1 .



B. x = 0 .

D. x = 2 .



Giải

2 f x −4 x

2 f x −4 x

Xét y =  ( ) có y =  ( ) .ln  . ( 2 f  ( x ) − 4 )

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 thì y phải đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua

điểm đó. Dựa vào đồ thị, ta thấy chỉ có điểm x = −1 làm f  ( x ) − 2 đổi dấu từ âm sang

dương khi x đi qua, vậy hàm đạt cực tiểu tại x = −1 . Chọn C.



20.



Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ( x) có đồ thị như

hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số

y= f



)



(



x 2 + 2 x + 2 là:



A. 1 .

C. 4 .

Giải

y= f



B. 2 .

D. 3 .



y = f 



f



(



)



(



x2 + 2x + 2 ,



(



)2



x2 + 2 x + 2 .



(



x2 + 2 x + 2

x2 + 2x + 2

x +1

y



x + 2x + 2

2



= f



(



x2 + 2 x + 2



)



x +1

x + 2x + 2

2



 x = −1

 x2 + 2x + 2 = 1



x + 2x + 2 = 0  

  x = −1 + 2 2

 x 2 + 2 x + 2 = 3

 x = −1 − 2 2





)



2



−



x

f



2x + 2



)



−1



−1 − 2 2

a3



3



1 a  3



1



1 a  3



3



a3



+



0







0







0



+











0





+



0

0



+





+

0



+

+



y



Hàm số có đúng 1 điểm cực đại. Chọn A.

21.



Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình

vẽ. Đồ thị hàm số 2 f ( x ) − x 2 có tối đa bao nhiêu điểm cực

trị?

A. 3.

C. 6.



+



−1 + 2 2



B. 5

D. 7.



Giải

Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − x 2 có g  ( x ) = 2 f  ( x ) − 2 x .

Vẽ đồ thị hàm số y = x trên cùng 1 trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f  ( x )



 x = −2

Từ đồ thị ta thấy g  ( x ) = 0   x = 2 . Từ đó ta có bảng biến thiên hàm g ( x ) như sau

 x = 4



x



g ( x)



−2



−







0



2



+



0



+



4







0



+



g ( x)

Chú ý rằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là tổng a + b , với a là số điểm cực

trị của hàm số y = f ( x ) , b là tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình



f ( x ) = 0 . Hàm số g ( x ) có 3 điểm cực trị và phương trình g ( x ) = 0 có tối đa 4

nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội lẻ), do đó hàm số g ( x ) có tối đa 7 điểm cực trị.

Chọn D.

22.



Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên



và có đồ thị như



hình vẽ. Khi đó số điểm cực trị của hàm số

g ( x ) = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) − 8 là

A. 7.

C. 10.



B. 9.

D. 11.



Giải

Hàm số h ( x ) = f 2 ( x ) − 2 f ( x ) − 8 , h ( x ) = 2 f ( x ) . f  ( x ) − 2 f  ( x ) = 2 f  ( x ) ( f ( x ) − 1)

Dễ thấy f  ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt, f ( x ) − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt, đổi dấu

qua các nghiệm đó nên h ( x ) có 5 điểm cực trị.

 h ( x ) = −2

Lại có h ( x ) =  f ( x ) + 2  f ( x ) − 4  

, h ( x ) = −2 có đúng 1 nghiệm, còn

 h ( x ) = 4

h ( x ) = 4 có 2 nghiệm nhưng có 1 nghiệm kép, do đó hàm số có 5 + 2 = 7 điểm cực trị.



Chọn A.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Các dạng toán về đồ thị liên quan tới tính đơn điệu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×