Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
III. Khái niệm lập bản đồ địa thống kê:

III. Khái niệm lập bản đồ địa thống kê:

Tải bản đầy đủ - 0trang

Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



2. Ước tính:

Xét vấn đề ước tính giá trị của một thuộc tính tại vị trí bất kỳ không lấy mẫu u, được ký

hiêu z*(u), chỉ sử dụng dữ liệu mẫu được tập hợp trên khu vực nghiên cứu A, được ký

hiệu z(un) được mơ tả như hình 12



Figure 12: Geostatistics in 12 lessons



Thuật toán để giải quyết vấn đề này là kriging. Kriging là một công cụ của ứng dụng lập

bản đồ truyền thống và là một thành phần cần thiết của phương pháp mô phỏng địa thống

kê. Thuật toán kriging là một hệ thống suy rộng các kĩ thuật hồi quy bình bình cực tiểu để

ước tính z*(u) sử dụng dữ liệu lấy mẫu z(un). Phương trình kriging thường dùng:

n



z (u ) - m(u) =�l a .[z(u a - m (u a )]

*



a =1



(3.1)



Với

z*(u) là giá trị ước tính tại vị trí khơng lấy mẫu u

m(u) là trị trung bình cho trước tại vị trí khơng lấy mẫu u

λα, α= 1,…,n là các trọng số được áp dụng cho n dữ liệu

z(uα), α= 1,…, n là n giá trị dữ liệu

m(uα), α= 1,…, n là giá trị trung bình cho trước tại các vị trí dữ liệu

Tất cả các giá trị trung bình cho trước có thể được thiết đặt thành một trị trung bình

khơng đổi m(u)= m(uα)= m nếu khơng có thơng tin cho trước trên các hướng là có sẵn.

Xét một giá trị ước tính tại vị trí khơng có dữ liệu:

Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 25



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



n



z * (u ) =�l a .z (u )

a =1



(3.2)



Vài mục đích gây tranh cãi khi chọn trọng số:

 Mật độ (closeness) vị trí được ước tính, giá trị ước lượng sẽ cách đều hai dữ liệuđã

biết.

 Thừa giá trị dữ liệu (redundancy), các dữ liệu đã biết đều nằm ở một trong hai bên

giá trị ước lượng sẽ gây khó khăn cho việc ước lượng.







Tính liên tục bất đẳng hướng (anisotropic continuity)

Độ lớn của tính liên tục/biến đổi (magnitude of continuity/variability)



Figure 13: Trọng số kriging phải được xét về thừa dữ liệu, độ chặt của dữ liệu và hướng và độ lớn của

tính liên tục (geostatistics in 12 lessons)



Một mục đích khác khi ước tính các thuộc tính chưa biết là tối thiểu hóa sai số phương

sai. Nếu sai số phương sai là cực tiểu thì ước tính sẽ là ước tính tốt nhất. Sai số phương

sai là giá trị kỳ vọng của chênh lệch giữa giá trị đã biết và giá trị ước tính:



s 2SK (u ) =E {[z * (u ) - z (u )]2}



(3.3)



Với z*(u) là giá trị ước tính và z(u) là giá trị thực.

Một câu hỏi hiển nhiên được đưa đề ra phương trình (3.3) là làm cách nào để xác định sai

số nếu không biết giá trị thực? Không biết giá trị thực, nhưng có thể chọn trọng số để tìm

Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 26



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



sai số cựu tiểu. Để cực tiểu phương sai ước tính, lấy đạo hàm riêng phần của sai số

phương sai (phương trình 3.3) và cho nó bằng 0.

Mở rộng phương trình (3.3) ta được:



=E {[z * (u )]2 } - 2.E {z* (u ).z (u )} +E {[z (u )]2 }

n



n



n



=��l a l b E {z(u b ).z(u a )} - 2.�l a E {z(u).z(u)} +C (0)

a- 1 b- 1

n



n



a- 1



n



=��l a l bC (u b ,u a ) - 2.�l aC (u , u a ) +C (0)

a- 1 b- 1



a- 1



=s 2SK (u )



(3.4)



Kết quả là một phương trình quy về hiệp phương sai giữa các điểm dữ liệu C(uα,uβ), và

hiệp phương sai giữa điểm điểm dữ liệu và điểm ước tính C(u,uβ). Hàm variogram:



2g (h ) =E {[z(u +h ) - z (u )]2 }

Và hiệp phương sai:



C (h ) =E {[z (u ).z (u +h )]}

Mối liên hệ giữa variogram và hiệp phương sai là:



2g (h ) =[E {z 2 (u )}] +[E {z 2 (u +h )}] - 2[ E {z (u) - z(u +h)}]

2g (h ) =E {[z (u ) - z (u +h )]2 }

2g (h ) =2[C(0) - C(h)]

� g (h ) =C(0) - C(h)



(3.5)



Với Υ(h) là variogram, C(0) là phương sai của dữ liệu, và C(h) là hiệp phương sai.

Phương trình (3.5) cho thấy có thể tính được hiệp phương sai dựa vào variogram và

phương sai và sau đó tính thuật tốn kriging.

Tiếp tục đạo hàm phương trình kriging, cơng thức (3.4) phải được tối thiểu hóa bằng cách

đạo hàm riêng phần với từng trọng số và cho chúng bằng 0:

n



n



n



s 2SK (u ) =��l a l bC (u b , u a ) - 2.�l aC (u ,u a ) +C (0)

a - 1 b- 1



Nguyễn Mạnh Trường



a- 1



MSSV: 31204214



Page 27



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



n

�[s 2SK (u )]

=2.�l bC (u b , u a ) - 2.C (u , u a ), a =1,..., n

�l a

b



Cho đạo hàm bằng 0 ta được:

n



�l

b



C (u b ,u a ) =C (u ,u a ), a =1,..., n



b



(3.6)



Hoặc có thể thay hiệp phương sai bằng variogram do cả variogram và hiệp phương sai

đều đo lường tương quan không gian:

n



�l

b



g (u b , u a ) =g (u , u a ), a =1,..., n



b



(3.7)



Và ma trận hiệp phương sai với 3 trọng số là:





l ��

C (1,1) C(1, 2) C(1,3) ��

C (0,1) �



��1 � �









C(2,1) C(2, 2) C(2,3) �l 2 =�

C (0, 2) �



�� � �















C(3,1)

C(3,

2)

C(3,3)

C

(0,3)

l3� �



��



3. Kriging:

Phần này sẽ thảo luận về một vài thủ tục kriging và giả thiết rằng giá trị ước tính của biến

là tương quan tuyến tính với các mẫu gần đó. Tùy thuộc vào ứng dụng đặc biệt, các thủ

tục khác nhau sẽ sử dụng cho mục đích ước tính khác nhau

 Simple Kriging: Đơn giản nhất nhưng không cần thiết cho hầu hết thực tiễn.

 Ordinary Kriging: Thủ tục kriging phổ biến nhất, linh hoạt hơn Simple kriging và

cho phép các biến thay đổi cục bộ.

 Cokriging: Cho phép ước tính một biến dựa trên thông tin không gian của các biến

khác liên quan. Thủ tục này đặc biệt hữu ích khi có một biến được lấy mẫu rộng

rãi và một biến được lấy mẫu thưa thớt và chúng có tương quan khơng gian.

 Universal Kriging: Dùng khi dữ liệu mẫu biểu hiện theo một phương và giả thiết

tĩnh tại có thể khơng hợp lệ.

a. Simple Kriging (SK):

SK bắt đầu với giả thiết giá trị tại vị trí khơng lấy mẫu có thể được ước tính theo cơng

thức:

Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 28



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



n



z * (u 0 ) =l 0 +�l i .z(u i )

i =1



(3.8)



Với:

z*(u0): Giả trị ước tính tại vị trí u0

z(ui): Giá trị lấy mẫu tại vị trí ui

n: Tổng số mẫu được chọn trong một vùng nghiên cứu

λi: Trọng số được gán cho mỗi mẫu và λ0 không đổi

Để ước tính giá trị λi, yêu cầu một điều kiện không lệch:



E [z* (u 0 ) - z (u 0 )]=0



(3.9)



Thế z*(u0) vào từ (3.8) vào (3.9) thu được:

n



l 0 +�l i E [z(u i )] =E [z(u 0 )]



(3.10)



i =1



Giả thiết E[z(ui)] = E[z(u0)], dựa trên giả thiết tĩnh bậc 1, viết được:

n



l 0 =m (1 - �l i )

i =1



(3.11)



Với yêu cầu không lệch, điều kiện cực tiểu phương sai phải được thỏa mãn. Về toán học,

trọng số có thể được chọn sao cho biểu thức dưới đây là bé nhất.



s 2 [z(u 0 ) - z * (u 0 )]



(3.12)



Kết quả của điều kiện này là phương trình

n



�l C (u

j =1



j



i



, u j ) =C (u i , u 0 )



cho i = 1,…,n



(3.13)



Với:

C(ui, uj): Giá trị hiệp phương sai giữa các điểm vị trí tại ui và uj

C(ui, u0): Giá trị hiệp phương sai giữa vị trí lấy mẫu ui và vị trí khơng lấy mẫu u0



Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 29



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



Các giá trị hiệp phương sai thu được dựa trên mơ hình khơng gian. Phương trình (3.13)

có thể được viết dưới dạng ma trận:





C (u , u ) C (u 1 ,u 2 )

� 1 1



C (u ,u ) C (u 2 ,u 2 )

� 2 1

� ..

..



C (u n , u1 ) C (u n , u 2 )









..... C (u 1 , u n )

..... C (u 2 ,u n )

.....

..

..... C (u n , u n )



��

l ��

C (u , u ) �

� �1 � � 1 0 �

��

l ��

C (u ,u ) �

� �2 � � 2 0 �





��.. �=� ..

�� � �



ln� �

C (u n , u 0 ) �

��

�� � �



�� � �





(3.14)



Một khi trọng số đã được ước tính, phương trình (3.8) sẽ ước tính giá trị z*(u0). Thêm vào

đó, ước tính phương sai là:



s



n



2

SK



=C (u 0 , u 0 ) - �l i C (u i ,u 0 )

i =1



(3.15)



b. Ordinary Kriging (OK):

Trong thủ tục SK, giả thiết rằng giá trị trung bìnhm(u) được biết. Bằng giả thiết tĩnh tại

bậc 1, m(u) giảm thành m. Phải biết giá trị m trước khi sử dụng một biểu thức SK. Trong

thực tiễn, trị trung bình thực tồn cục rất hiếm khi được biết nếu không giả thiết trị trung

bình mẫu bằng trị trung bình tồn cục. Ngồi ra, trị trung bình cục bộ trong vùng nghiên

cứu lân cận có thể thay đổi trên khu vực quan tâm, do đó giả thiết tĩnh tại có thể khơng

hồn tồn hợp lệ. Thủ tục Ordinary Kriging (OK) sẽ khắc phục vấn đề này bằng cách xác

định phương trình ước tính.

Xét phương trình (3.8) được sử dụng cho SK:

n



z (u 0 ) =l 0 +�l i .z(u i )

*



i =1



(3.8)



Tuy nhiên, yêu cầu về điều kiện không lệch là:



E [z* (u 0 ) - z (u 0 )]=0



(3.9)



Giả thiết E[z*(u0)] = E[z(ui)] = m(u0), với m(u0) là trị trung bình trong vị trí miền lân cận

nghiên cứu u0, có được:



l



n



'

0



=m (u 0 )(1 - �l i )

i =1



Nguyễn Mạnh Trường



(3.16)

MSSV: 31204214



Page 30



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



Tuy nhiên, cố gắng cho λ0 = 0 bằng cách khử giá trị trung bình và giả thiết rằng tĩnh tại

bậc 1 hoàn toàn hợp lệ (giả thiết trị trung bình cục bộ phụ thuộc vào vị trí), nếu giả sử:

n



�l

i =1



i



=1

(3.17)



Thì phương trình ước tính(3.8) được viết thành

n



z (u 0 ) =�l i .z(u i )

*



(3.18)



i =1



Ngoài ra với điều kiện không lệch, yêu cầu thoản mãn điều kiện phương sai cực tiểu. Cực

tiểu hóa phương sai với ràng buộc (3.8) thu được kết quả:

n



�l C (u

j =1



j



i



, u j ) +m=C (u i , u 0 )



với i= 1,…,n

(3.19)



Với μ là thông số Lagrange và C đại diện cho hiệp phương sai. Phương trình (3.19) có

thể được viết dưới dạng ma trận:





C (u ,u ) C (u1 ,u 2 )

� 1 1



C (u , u ) C (u 2 , u 2 )

� 2 1

� ..

..



C (u n ,u1 ) C (u n ,u 2 )





1

� 1



..... C (u1 , u n ) 1 � �

l ��

C (u , u ) �

� �1 � � 1 0 �

..... C (u 2 , u n ) 1 � �

l ��

C (u , u ) �

� �2 � � 2 0 �





��.. �=� ..

.....

..

�� � �



..... C (u n , u n ) 1 � �

ln� �

C (u n , u 0 ) �

�� � �



1

0 � �m� � 1





(3.20)



Một khi λi được tính, giá trị ước tính z*(u0) sẽ thu được từ phương trình (3.18). Ước tính

hiệp phương sai:

n



s 2OK =C (u 0 ,u 0 ) - �l i C (u i , u 0 ) - m

i =1



(3.21)



c. Cokriging:

Cokriging được sử dụng để ước tính một biến giả trị dựa trên tương quan không gian với

các biến giá trị được lấy mẫu khác. Hai ví dụ phổ biến đươc ứng dụng cokriging để cải

thiện ước tính trong mơ tả vỉa là ước tính độ thấm sử dụng dữ liệu độ rỗng và ước tính độ

rỗng sử dụng dữ liệu địa chấn.

Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 31



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



Giả định rằng, giá trị ước tính là z*(u0) tại vì trí u0. Trong nghiên cứu vùng lân cận có n

mẫu của biến chính Z và m mẫu của hiệp biến (biến tương quan) Y. Phương trình ước

lượng như sau:

n



m



i =1



k =1



z * (u 0 ) =�l Z i Z(u Z i ) +�l Y k Y(uY k )



Với



l Zi



lY k



là trọng số được gán cho mẫu



là trọng số được gán cho mẫu



(3.22)



z(u Z i )



Y(uY k )



tại vị trí



tại vị trí



uZi



uY k



Áp dụng điều kiện khơng lệch (3.9):



E [z* (u 0 ) - z (u 0 )]=0



(3.9)



Thế (3.13) vào (3.2) thu được:

n



m Z �l Z i +mY

i =1



m



�l

k =1



Yk



- m Z =0



(3.23)



Với mZ và mY lần lượt là giá trị kỳ vọng của biến Z và Y.

Để thỏa mãn phương trình (3.23) thì:

n



�l

i =1



Zi



m



=1





�l

k =1



Yi



=0

(3.24)



Phương trình (3.24) đảm bảo điều kiện khơng lệch được thỏa mãn.

Ngồi ra, còn phải thỏa mãn điều kiện cực tiểu phương sai:

n



m



i =1



k =1



V ar[z(u 0 ) - �l Z i z(u Z i ) - �l Y i X (uY k )



(3.25)



Cực tiểu hóa phương trình (3.25) với hai ràng buộc được xác định trong phương trình

(3.24):

n



m



j =1



k =1



�l Z j CZ (u Z i ,u Z j ) +�l Y k CC (u Z i ,uY k ) +mZ =C Z (u 0 ,u Z i ),i =1,..., n .



(3.26)





Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 32



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng

n



�l

i =1



GVHD: TS. Tạ Quốc



m



Zi



CC (u Z i , u Z i ) +�l Y l CY (uY k , uY l ) +m

Y =C C (u 0 , uY k ), k =1,..., n .



(3.27)



l =1



Trong hai phương trinh (3.26) và (3.27) với:

CZ và CY: Lần lượt là hiệp phương sai của hai biến Z và Y.

CC: Hiệp phương sai chéo giữa hai biến

μZvà μY: Thơng số Larange.

Phương trình có thể được viết dưới dạng ma trận:





C (u , u ) K C Z (u Z 1 , u Z n )

� Z Z1 Z1



M

M





C (u , u )K C Z (u Z n , u Z n )

� Z Z1 Z n



C C (u Z 1 , uY 1 ) K C C (u Z n , uY 1 )





M

M





C C (u Z 1 , uY m ) K C C (u Z n , uY m )





K

1

� 1



K

0

� 0



C C (u Z 1 , uY 1 )K C C (u Z 1 , uY m )

M

M

C C (u Z n , uY 1 )K C C (u Z n , uY m )

CY (uY 1 , uY 1 ) K CY (uY 1 , uY m )

M

M

CY (uY m , uY 1 ) K CY (uY m , uY m )

0

1



K



0

1



l ��

1 0 ��

C (u ,u ) �

��Z 1 � � Z 0 Z 1 �



M� � M

M M��

�� � �











l

1 0

C (u ,u ) �

��Z n � � Z 0 Z n �





lY1 �

0 1�

C C (u 0 , uY 1 ) �

�=�

��













M �� M

M M��











lYm � �

0 1 ��

C C (u 0 , uY m ) �



�� � �



mZ � � 1

0 0 ��



�� � �



0 0 ��

m

0



Y � �



Ma trận bên trái có kích cỡ (n+m+2). Giải phương trình ma trân trên thu được



lY k



l Zj







, sau đó thể vào phương trình (3.22) tìm được giá trị ước tính.



Biểu thức sai số phương sai:

n



m



i =1



k =1



2

s COK

=C (u 0 , u 0 ) - �l Z i C Z (u 0 , u Z i ) - �l Y k C C (u 0 ,uY k ) - mX



(3.28)



d. Universal Kriging (UK):

Thủ tục Universal Kriging (UK) ước tính giá trị trong sự có mặt của thông tin mẫu theo

một phương mà giả thiết tĩnh tại bậc 1 khơng thỏa mãn. Trị trung bình cục bộ thay đổi



Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 33



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



theo hướng của phương đó và khơng gần trị trung bình tồn cục. Loại dữ liệu này phải

được xử lý trước nhằm thiết lập giả thiết tĩnh tại và sử dụng kĩ thuật kriging để ước tính.

Việc hợp nhất hướng của dữ liệu cần xác định trước biến dữ liệu:



z(u ) =m (u ) +R (u )



(3.29)



Với z(u) là biến tại vị trí quan tâm u, m(u) là giá trị trung bình hoặc xu hướng (drift), và

R(u) là giá trị dư. Nếu chia biến thành trị trung bình và giá trị dư, bằng việc loại bỏ trị

trung bình từ dữ liệu, thu được giá trị dư thỏa mãn yêu cầu tĩnh tại bậc 1.

Nếu có một hướng trong bộ dữ liệu, với mỗi điểm dữ liệu, vẽ một khu vực nghiên cứu lân

cận tối thiểu trong hướng đó. Tính tốn giá trị trung bình của tất cả mẫu trong vùng lân

cận này và giả thiết đó là giá trị trung bình cục bộ. Về toán học:



m (u ) =







Neighborhood



z(u i )



(3.30)



Nếu xác định các khu vực nghiên cứu lân cận tương tự như vậy sẽ thu được:

 Giá trị trung binh cao hơn điểm mẫu nếu tất cả mẫu bao quanh là cao

 Giá trị trung bình thấp hơn điểm mẫu nễu tất cả mẫu bao quanh là thấp

Sau đó, trừ đi giá trị trung bình cục bộ từ mỗi mẫu đơn lẻ, thu được:



R (u ) =z (u ) - m (u )



(3.31)



Với các giá trị dư, các hướng cục bộ sẽ bị loại bỏ, không biệu hiện bất kỳ hướng nào.

Bằng cách xác định này, trung bình các giá trị dư sẽ bằng 0 và giả thiết tĩnh tại được thỏa

mãn.Về nguyên tắc, việc áp dụng kĩ thuật kriging cho các giá trị dư và thêm trở lại các

hướng, có thể ước tính các giả trị tại vị trí khơng lấy mẫu.

Rất khó khăn để ước tính variogram cho giá trị dư tại mỗi điểm, vì ngồi việc áp dụng kĩ

thuật kriging cho các giá trị dư, còn phải ước tính và mơ hình hóa variogram cho các giá

trị dư. Vài lựa chọn có sẵn để ước tính và mơ hình hóa các giá trị dư:

 Bằng việc sử dụng các khu vực lân cận cho mỗi mẫu, trị trung bình cục bộ được

thiết lập. Bằng cách trừ đi trị trung bình cục bộ (xu hướng), giá trị dư thu được tại

mỗi vị trí và variogram của các giá trị dư có thể được ước tính.

 Tìm hướng (direction) nơi các xu hướng (trend) khơng có nghĩa. Giả thiết tĩnh tại

bậc 1 thỏa mãn trong hướng đó, variogram cho biến ban đầu được ước tính trong

hướng đó và được áp dụng cho các hướng (direction) của xu hướng (trend).

Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



Page 34



Báo cáo Địa thống kê trong mơ hình hóa vỉa

Dũng



GVHD: TS. Tạ Quốc



Một khi variogram được ước tính và mơ hình, phải giả thiết rằng một loại hướng cụ thể là

hiện diện trong dữ liệu. Giả thiết này được u cầu cho UK. Thơng thường, các định trị

trung bình (drift) bằng phương trình:

L



m (u ) =�ai .f l (u)



(3.32)



i =0



Với al là hệ số của hàm fl(u). Bằng định nghĩa, ln giả thiết f0(u) bằng 1.

Ví dụ, nếu có một xu hướng tuyến tính:



m (u ) =a0 +a1u



(3.33)



Và cho xu hướng bậc 2:



m (u ) =a0 +a1u +a2u 2



(3.34)



Trong suốt q trình ước tính, giả thiết loại hướng tuyến tính, bậc 2 đã biết. Q trình ước

tính UK bắt đầu giống với OK

n



z * (u 0 ) =�l i .z(u i )

i =1



(3.35)

Áp dụng điều kiện không lệch:

n



�l .z(u

i =1



i



i



) =f l (u 0 )



với l = 0,…, L



(3.36)



Phương trình (3.36) có L+1 ràng buộc. Chú ý với l = 0, có một ràng buộc và tổng trọng

số bằng 1.

Áp dụng điều kiện cực tiểu phương sai, thu được:





C (u ,u ) �

C (u ,u )K C (u 1 ,u n ) f 0 (u 1 )K f L (u 1 ) ��

l ��

� 1 1

��1 � � 1 0 �

� M

M

M

M ��

M� � M �



�� � �





C (u n ,u 1 )K C (u n ,u n ) f 0 (u n ) K f L (u n ) ��

ln � �

C (u n ,u 0 ) �



�� �=�



�f 0 (u1 ) K f 0 (u n )

m0 � �f 0 (u 0 ) �

0 K 0 ��



�� � �



� M

M� � M �

M

M

M ��



�� � �







m



f

(

u

)



f

(

u

)

K

f

(

u

)

0

K

0





�L 1

L

n

��L � � L 0 �

Nguyễn Mạnh Trường



MSSV: 31204214



(3.37)

Page 35



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

III. Khái niệm lập bản đồ địa thống kê:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×