Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Cho đồ thị G = (V, E).

Cho đồ thị G = (V, E).

Tải bản đầy đủ - 0trang

Đề tài: Chu trình đường đi Eluer và ứng dụng

Chiến



GVHD: Trần Qu ốc



Trong đó vi( i=1,…,k-1) là các đỉnh trên dây và e i (i= 1,…,k-1)là các cạnh

trên dây liên thuộc đỉnh kề trước và sau nó. Các đỉnh và các cạnh trên dây có thể

lặp lại.

Đường đi từ đỉnh v đến đỉnh w là dây từ đỉnh v đến w, trong đó các cạnh

khơng lặp lại.

Đường đi sơ cấp là đường đi không đi qua một đỉnh quá một lần.

Chú ý: Trong đồ thị n đỉnh, đường đi sơ cấp giữa hai đỉnh khác nhau có nhiều

nhất n-1 cạnh.

Vòng là dây có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau.

Chu trình là đường đi có đỉnh đầu và đỉnh cuối trung nhau.

Chu trình sơ cấplà chu trinh khơng đi qua một đỉnh quá 1 lần

Ví dụ :

x



y



z



w



v



u



Trong đơn đồ thị trên, x, y, z, w, v, y là đường đi đơn (không sơ cấp) độ

dài 5; x, w, v, z, y khơng là đường đi vì (v, z) khơng là cạnh; y, z, w, x, v, u, y là

chu trình sơ cấp độ dài 6.

Định nghĩa 2:

Một đồ thị (vô hướng) được gọi là liên thơng nếu có đường đi giữa mọi

cặp đỉnh phân biệt của đồ thị.

Một đồ thị không liên thông là hợp của hai hay nhiều đồ thị con liên

thông, mỗi cặp các đồ thị con này khơng có đỉnh chung. Các đồ thị con liên

thơng rời nhau như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị đang

xét. Như vậy, một đồ thị là liên thơng khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần

liên thơng.



Nhóm thực hiện: Nhóm 2



9



Đề tài: Chu trình đường đi Eluer và ứng dụng

Chiến



GVHD: Trần Qu ốc



Ví dụ :

x



y



z



a



b



g



v



w



d



c



h



k



u

t



G



i



l



G’



Đồ thị G là liên thông, nhưng đồ thị G’ khơng liên thơng và có 3 thành

phần liên thơng.



4. Biểu diễn đồ thị vô hướng:

Định nghĩa:

Cho đồ thị vô hướng G =(V,E) có n đỉnh theo thứ tự v 1,v2,…,vn. Ma trận kề

của đồ thị G là ma trận vng A= (a ij)mxn, trong đó aij là số cạnh (khuyên) nối vi

với vj.Lưu ý rằng khi tinh bậc của đỉnh mỗi khuyên được tính hai bậc.

Từ định nghĩa suy ra rằng ma trận kề của đồ thị vô hướng ln đối xứng

qua đường chéo chính

Ví dụ: Đồ thị

v1



v2

v3



v4



v5



có ma trận kề là



V1

0

1

0

0

1



V2

1

0

1

0

1



Nhóm thực hiện: Nhóm 2



V3

0

1

1

0

1



V4

0

0

0

0

1



V5

1

1

1

1

0



10



Đề tài: Chu trình đường đi Eluer và ứng dụng

Chiến



GVHD: Trần Qu ốc



Mệnh đề. Cho đồ thị G=( V, E) với ma trận kề (aij).Khi đó

n



n



j 1



j 1



deg(vi )  a ij a ij  a ji  aij , vi  V



Chứng minh. Suy ra từ định nghĩa.

Định lý :

Cho đồ thị đơn G=( V, E) có n đỉnh, V={ v1,v2,…,vn} và ma trận kề của đồ thị G

là ma trận A=(aij)nxm. Giả sử Ak= (cij)nxm, k 1.Khi đó cij, i j, là số chiều dài k từ

đỉnh vi đến vj. Đặc biệt phần từ trên ô [i,j], 1 i n , của A2 là bậc của đỉnh vi.

Chứng minh.

Quy nạp

Hệ quả:

Cho đồ thị đơn G=(V, E) có n đỉnh, V={ v 1,v2,…,vn} và ma trận kề của đồ thị G

là ma trận A=(aij)nxm.Kí hiệu

T  A  A 2  ...  A n  1



Khi đó đồ thị G lien thơng khi và chỉ khi các phần từ ngoài đường chéo chính

của ma trận T đều lớn hơn 0

Chứng minh

Sử dụng định lí ở mục trên, suy ra đồ thị G liên thơng khi và chỉ khi các cấp đỉnh

đều có đường đi sơ cấp nối chúng với nhau. Mặt khác các đường đi sơ cấp có đọ

dài khơng q (n-1). Từ đó áp dụng định lí trên ta suy được điều phải chứng

minh.

Chú ý. Nếu đồ thị có 2 thành phần lien thơng thì ta có thể đánh số lại các đỉnh và

 A1



ma trận kề có dạng 

0



0

A2 



Nếu đồ thị lưỡng phân thì ta có thher đánh số lại các đỉnh và ma trận kề

 0



có dạng  T

A



A

0 



Nhóm thực hiện: Nhóm 2



11



Đề tài: Chu trình đường đi Eluer và ứng dụng

Chiến



CHƯƠNG 3



GVHD: Trần Qu ốc



CHU TRÌNH VÀ ĐƯỜNG ĐI ELUER



Lý thuyết về chu trình. Đường đi Euler đã có từ lâu và được nguyên cứu

nhiều ta có thể bắt gặp bài tốn trong thực tiễn mà có thể sử dụng lý thuyết về

chu trình, đường đi Euler để giải quyết, ví dụ như sử lí lý thuyết đường đi, chu

trình Eluer để tìm hành trình đường đi cho người phát thư, cho xe rửa đường…

sao cho hành trình tối ưu.



1. Chu trình Eluer:

Định nghĩa:

Cho đồ thị G=(V,E).

Chu trình Euler là chu trình qua mọi cạnh G và mọi đỉnh đồ thị, mỗi cạnh

không đi quá 1 lần.

Đường Euler trong đồ thị G=(x,u) là đường đi qua tất cả các cạnh của đồ

thị, mỗi cạnh đi qua đúng một lần.

Cho đồ thị có hướng G=(V,E).

Chu trình có hướng Euler là chu trình có hướng qua mọi cung và mọi

đỉnh đồ thị, mỗi cung không đi quá 1 lần.

Đồ thị chứa chu trình Euler gọi là Đồ thị Euler.

Ví dụ. Đồ thị

1



2



3

4



5



6



có chu trình Euler

Nhóm thực hiện: Nhóm 2



12



Đề tài: Chu trình đường đi Eluer và ứng dụng

Chiến



GVHD: Trần Qu ốc



(1, 2, 4, 3, 6, 5, 2, 3, 1)

 Định lý 1 (Định lý Euler)

Đồ thị G có chu trình Euler khi và chỉ khi G liên thơng và mọi đỉnh có bậc

chẵn khác 0.

Chứng minh

(i)



(): Giả sử G có chu trình Euler và v là đỉnh bất kỳ của G. Khi đó chu

trình Euler đến v theo cạnh e thì ra khỏi v bằng cạnh e’  e. Do đó bậc của

v phải là số chẵn. G hiển nhiên là liên thông.



(ii)



(): Giả sử G liên thông và mọi đỉnh có bậc chẵn khác 0. Ta chứng minh

G có chu trình Euler quy nạp theo số cạnh m của G.

 m = 1: Vì G liên thơng và mọi đỉnh bậc chẵn nên G chỉ có 1 đỉnh và 1

khun. Khun đó cũng tạo thành chu trình Euler.



 Giả sử G có m cạnh, số đỉnh n > 0 và mọi đồ thị liên thơng có số cạnh nhỏ hơn

m với mọi đỉnh bậc chẵn đều có chu trình euler.

+ Trường hợp n = 1 hoặc 2 thì hiển nhiên tồn tại chu trình Euler .

+ Trường hợp n > 2. Vì bậc của các đỉnh chẵn  2, bao giờ cũng chọn được 3

đỉnh a, b, c với các cạnh x=(a,b), y=(a,c).

-



Giả sử G chứa cạnh z=(b,c).

Xét đồ thị G’ thu được từ G bằng cách loại bỏ ba cạnh x,y,z. Sẽ xảy



ra 1 trong ba khả năng sau:

. G’ liên thơng. Vì số cạnh của G’ nhỏ hơn m và các đỉnh vẫn có bậc

chẵn nên theo giả thiết quy nạp tồn tại chu trình Euler C’ của G’. Nối

chu trình con (x,y,z) với C’ ta thu được chu trình Euler C của G.

. G’ có 2 thành phần liên thơng G1 và G2. Khơng mất tính tổng quát

giả sử G1 chứa a, G2 chứa b và c. G1 có chu trình Euler C1, G2 có chu

trình Euler C2. Ta xây dựng chu trình Euler C của G như sau. Xuất phát

từ đỉnh a đi theo chu trình C1 quay về a, sau đó đi theo cạnh x=(a,b) đến

Nhóm thực hiện: Nhóm 2



13



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Cho đồ thị G = (V, E).

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×