Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
6 Bài tập hàm số mũ-hàm số logarit

6 Bài tập hàm số mũ-hàm số logarit

Tải bản đầy đủ - 0trang

Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Ví dụ 22. Tìm tập xác định của hàm số y = log2

Lời giải.



x−2

.

1 − x2



x−2

> 0.

1 − x2



x

−∞

+∞

−1

1

2







+

x−2

0

• Cho x − 2 = 0 ⇔ x = 2



+





0

0

1 − x2

x



2

+



+



0

• Cho 1 − x2 = 0 ⇔ x = ±1

1 − x2



x < −1

x−2



Từ bảng xét dấu

>

0



. Tập xác định là D = (−∞; −1) ∪ (1; 2).

1 − x2

1


Hàm số xác định khi:



Ví dụ 23. Tìm tập xác định hàm số y = log(x−1)



x

.

−x + 2





x

0 < x < 2

>0

Lời giải. Hàm số xác định khi:  −x + 2

⇔

⇔ 1 < x < 2.

0 < x − 1 = 1

1
Tập xác định hàm là D = (1; 2).









Bài 30. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = lg

c) y =









b) y = ln x2 − 4x − 12



x−1

−2x − 3



x+1

d) y = log3 √ 2

x −x−2

x

f) y = logx

4 − x2



x2 + x − 2. log3 (9 − x2 )



e) y = log(2x−1) (x2 − 1)

2.6.2



Dạng 2: Đạo hàm



u

u

(ax ) = ax . ln a

2 (a ) = a . ln a.u

........................................... . ........................................

x

x

u

u

3 (e ) = e

4 (e ) = e .u

........................................... . ........................................

1

u

5 (loga x) =

6 (loga u) =

x. ln a

u. ln a

........................................... . ........................................

1

u

7 (ln x) =

8 (ln u) =

x

u

1



!



Bài 31. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x2 − 2x + 2).ex

2



b) y = (x2 + 2x) e−x





x− 13 x



d) y = e2x+x



e) y = x.e



g) y = 2( x3 + 1)



h) y = 3



3x

j) y = 2

x −x+1



k) y = cos x.ecot x







Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



x2 +1



c) y = e−2x . sin x

f) y =



e2x + ex

e2x − ex



i) y = 2x .ecos x

l) y = 20182018x



Trang 19



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Bài 32. Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = ln(2x2 + x + 3)



b) y = log2 (cos x)



c) y = ex . ln (cos x)



d) y = (2x − 1) ln (3x2 + x)



e) y = log 1 (x3 − cos x)



f) y = log3 (cos x)



ln (2x + 1)

g) y = √

2x + 1



h) y =



2



ln (2x + 1)

x+1



Ä



i) y = ln x +







1 + x2



ä



Bài 33. Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y = 1 − (x2 − 2x + 1)ex



b) y = 3x − (2x + 1)2x



d) y = (x − 4) log x



e) x log2 (x + 1)



ln(x) − 2

x+1



3

f) y = log x2 . ln (3 − x2 )



g) y = (2x2 − 1)e3x





h) y = x3 ex2 + 1



i) y =







j) y = 3x −

m) y =



k) y = ln (x3 + 2x2 − x)



e3x + 1



»

4



ln3 (3x2 + 1)





p) y = 2x −



ex



q) y =



ex + 1

ex − 1



r) y = x ln x + 1



»



t) y = 1 −



v) y = log(x2 + 1) − ln(2x)



w) y = xπ .π x



ex + e−x

ex + e−x



l) y = (x2 + 3) ln(x2 + 2)



o) y = 2 − ex . sin2 x



n) y = 1 − (2x + 3)3x



s) y = 1 + x − 2 ln2 x



2.6.3



c) y =



2 ln x + ln2 x



u) y = log2 x − 3 log3 x

x) y = ex (sin x − cos x)



Dạng 3: Chứng minh hàm số đã cho thỏa hệ thức cho trước



Ví dụ 24. Chứng minh hàm số đã cho thỏa hệ thức được chỉ ra.

x2

y = x.e− 2 . Chứng minh rằng: xy = (1 − x2 ) y

Lời giải.

x2

x2

x2

x2

+ x.e . −

Ta có y = e

= e− 2 + x.e− 2 .(−x) = e− 2 (1 − x2 )

2

2

− x2

Ta có: VT= xy = x.e

(1 − x2 ) = (1 − x2 ) y =VP (đpcm).

2



2



− x2



− x2



Ç



å



Bài 34. Chứng minh hàm số đã cho thỏa hệ thức được chỉ ra.

a) y = (x + 1)ex ; y − y = ex



b) y = e4x + 2e−x ; y + 2y − 12y = 0



c) y = a.e−x + b.e−2x ; y + 3y + 2y = 0



d) y = e−x sin x; y + 2y + 2y = 0



e) y = e−x cos x; y (4) + 4y = 0



f) y = esin x ; y cos x − y sin x − y = 0



g) y = e2x sin 5x; y − 4y + 29y = 0



1

h) y = x2 ex ; y − 2y + y = ex

2



i) y = e4x + 2e−x ; y − 13y − 12 = 0



j) y = x.e− 2 ; xy = (1 − x2 ) y



x2



Bài 35. Chứng minh hàm số đã cho thỏa hệ thức được chỉ ra.

Ç



å



1

a) y = ln

; xy + 1 = ey

1+x



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 20



Hàm số mũ và hàm số logarit



b) y =



Giải tích 12



1

; xy = y (y ln x − 1)

1 + x + ln x



c) y = sin (ln x) + cos (ln x); y + xy + x2 y = 0

d) y =



1 + ln x

; 2x2 y = x2 y 2 + 1

x (1 − ln x)



»



x2 1 √ 2

+ x x + 1 + ln x + x2 + 1; 2y = xy + ln y

2

2

2xy

f) y = (x2 + 1) (ex + 2016); y = 2

+ ex (x2 + 1)

x +1



e) y =



g) y = x [3 cos (ln x) + 4 sin (ln x)]; x2 y − xy + 2y = 0

2.6.4



Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình



Bài 36. Giải các phương trình, bất phương trình

a) f (x) = 2f (x); f (x) = ex (x2 + 3x + 1)

b) f (x) =



1

f (x) = 0; f (x) = x3 ln x

x



c) f (x) > g (x); f (x) = x + ln(x − 5); g(x) = ln(x − 1)

d) f (x) = 0; f (x) = e2x−1 + 2.e1−2x + 7x − 5

1

e) f (x) < g (x); f (x) = .52x+1 ; g(x) = 5x + 4x. ln 5

2

2.6.5



Dạng 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất



Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b].

Tính y

Giải phương trình y = 0 và chỉ nhận những nhiệm x0 ∈ [a; b]

Tính f (a), f (b), f (x0 )



!



Khi đó: min = min {f (a), f (b), f (x0 )} và max = max {f (a), f (b), f (x0 )}

[a;b]



!



[a;b]



Chú ý:



1. Nếu ham số y = f (x) tăng trên [a; b] thì min f (x) = f (a) và max f (x) = f (b)

[a;b]



[a;b]



2. Nếu ham số y = f (x) giảm trên [a; b] thì max f (x) = f (a) và min f (x) = f (b)

[a;b]



[a;b]



3. Nếu bài tốn đặt ẩn phụ thì phải có điều kiện cho ẩn phụ đó.

Ví dụ 25. Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = x2 .ex + 1 trên đoạn [−3; 2].

Lời giải.

Ta có y = 2x.ex + x2 .ex = ex (x2 + 2x).



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 21



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12







y = 0 ⇔ ex (x2 + 2x) = 0 ⇔ x2 + 2x = 0 

f (−3) = 9.e−3 + 1 =



x = 0(loại)

x = −2



9

4

+ 1; f (2) = 4.e2 + 1; f (−2) = 4.e−2 + 1 = 2 + 1

3

e

e



Vậy min f (x) = 9.e−3 + 1; max f (x) = 4.e2 + 1.

[−3;2]



[−3;2]



Bài 37. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

ln2 x

a) y =

− 1 trên đoạn [1; e2 ]

x



b) y = ln2 x − ln x trên đoạn [1; e2 ]



c) y = (x2 − 3x + 1)ex trên đoạn [−3; 0]



d) y = x ln x − 1 trên đoạn [1; e2 ]



e) y = x2 − ln(1 − 2x) trên đoạn [−2; 0]



f) y = x2 .ex + 1 trên đoạn [−3; 2]



A. PHƯƠNG TRÌNH

2.7



Phương trình mũ



2.7.1



Phương trình mũ cơ bản



Với a > 0, a = 1 thì



b



!



ax = b ⇔ 



>0



x = loga b



Ví dụ 26. Giải phương trình sau 2x−1 = 3



(1)



Lời giải.

Ta có (1) ⇔ x − 1 = log2 3 ⇔ x = 1 + log2 3 ⇔ x = log2 2 + log2 3 = log2 6

Đáp số x = log2 6

!



Chú ý: 1 = loga a do đó: 1 = log2 2



Ví dụ 27. Giải phương trình sau 2x + 2x+1 = 3x + 3x+1

Lời giải.



(2)



Ç åx

x



x



x



x



x



x



Ta có (2) ⇔ 2 + 2.2 = 3 + 3.3 ⇔ 3.2 = 4.3 ⇔



2

3



=



4

4

⇔ x = log 2 .

3 3

3

Đáp số x = log 2

3



4

3



Bài 38. Giải các phương trình sau:

a) 2018x+1 = 2



b) 3x − 3x−1 + 3x−2 = 2x + 2x−1 + 2x−2



c) 3x+1 + 3x+2 = 9.5x + 5x+1 + 5x+2



d) 2.3x+1 − 6.3x−1 − 3x = 9



e) 52x − 7x − 52x .17 + 7x .17 = 0



f) 5.3x + 3.2x−1 = 7.2x − 4.3x



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 22



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



2.7.2



Một số phương pháp giải phương trình mũ



2.7.2.1



Phương pháp đưa về cùng cơ số



Dùng các cơng thức biến đổi phương trình đã cho về dạng: af (x) = ag(x) .

Khi đó: Với a > 0, a = 1 thì af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x)



!



Trường hợp cơ số a chưa biến:





aM = aN ⇔ (a − 1) . (M − N ) = 0 ⇔ 



Ví dụ 28. Giải phương trình 2x



2 −1



a=1

M =N



=8



(1)



Lời giải.

2

2

Ta có (1) ⇔ 2x −1 = 8 ⇔ 2x −1 = 23 ⇔ x2 − 1 = 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2.

Đáp số x = ±2

Ví dụ 29. Giải phương trình 273x−2 = 9x−1



(2)



Lời giải.

4

Ta có (2) ⇔ 33(3x−2) = 32(x−1) ⇔ 3(3x−2) = 2(x−1) ⇔ 9x−6 = 2x−2 ⇔ 7x = 4 ⇔ x = .

7

4

Đáp số x =

7

Ví dụ 30. Giải phương trình 2018x



2 −3x+2



=1



(3)



Lời giải.



x2 −3x+2



Ta có (3) ⇔ 2018



= 20180 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 



x=1

x=2



.

Đáp số x = 1; x = 2



!



Chú ý: 1 = a0 do đó: 1 = 20180 .





Ví dụ 31. Giải phương trình (x + 1)



x−3



=1



(4)



Lời giải.

Điều kiện: x −√3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.

ỵ√

ó



(3) ⇔ (x + 1) x−3 = (x + 2)0 ⇔ [(x + 1) − 1] . x − 3 − 0 = 0 ⇔ x. x − 3 = 0 ⇔





x=0

x = 0(loại)

⇔ √

⇔

.

Đáp số x = 3

x=3

x−3=0

Bài 39. Giải các phương trình sau:



a) (0, 04)x = 625. 3 5







c) 28−x .58−x = 0, 001. (105 )



8

32



2x−1

3x −3x

d) 3

.15 .5

= 39



e) 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x



f) 93x−1 = 38x−2



2



1−x



2



b) 0, 125.161−x =



Ç åx2 −2



g)



1

2



Ç åx+7 Ç å1−2x

4−3x



=2



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



h)



1

2



.



1

2



=2



Trang 23



Hàm số mũ và hàm số logarit



i)



Giải tích 12



√ ä2x



3−2 2

=3+2 2



Ä



5x−7



k) (1, 5)



x2 −5x+6



m) 5



j)



Ä√



5+2



Ç åx+1



2

3



=



äx−1



2x−3



l) (0, 75)



=1



x−1



q) 2.3 − 6.3

Ç åx−2



2.7.2.2



x+1



Ç å5−x



4

3



=



1

7



n)



= 7x+1



p) 3x .2x+1 = 72





x



s)



ä x−1



5−2



Ç åx2 −2x−3



Ä

√ ä



o) 3 − 2 2 63x = 3 + 2 2



3

4



Ä√



=



x



−3 =9



Ç å5



.



4

5



x



2



r) (x − 2x + 2)

Ç



9

=

16



t)



1

25



4−x2



=1



åx+1



= 1252x



Phương pháp logarit hóa



! Phương trình logarit hóa có dạng: a



f (x)



Ví dụ 32. Giải phương trình 2x−1 = 71−x



= bg(x) ⇔ f (x) = g(x). loga b



2



(1)



Lời giải.

Từ (1) ⇔ x − 1 = (1 − x2 ). log2 7 ⇔ x − 1 + (x − 1)(x + 1) log

 27 = 0

x−1=0







(x − 1) [1 + (x + 1). log2 7]

=

0 ⇔

1 + (x + 1). log2 7 = 0



x=1





1

x+1=−

= − log7 2

log2 7





x=1

x=1

⇔

⇔

.

Đáp số x = 1; x = − log7 14

x = −1 − log7 2

x = − log7 14

Bài 40. Giải các phương trình sau:

a) 2x = 3x



x−1



2



b) 5x−1 = 3 x+1



2



x



d) 24−x = 32−x



e) 35 = 53



c) 6x−1 = 5x



x



2 −2x+1



f) 7x = 24x



Bài 41. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)



a) 4x+1 = 3 16.

b) 2x+1 · 32x+3 = 63x+1 .

2 +x+5



c) 22x



= 82x+1 .



d) 5x · 8x+1 = 100.



e) 9|3x−1| = 38x−2 .

Ç åx Ç



g)



2

5



25

·

8



f) 2x+1 · 3x−2 · 5x = 200.



åx



=



125

.

64



x



i) 8 x+2 = 36 · 32−x .

x+5



h) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 .

j) 3x+2 − 3x+1 = 18.



x+17



k) 32 x−7 = 0, 25 · 125 x−3



l) 2 · 3x+1 − 6 · 3x−1 − 3x = 9



Ä

√ ä2x



m) 3 − 2 2

=3+2 2



n)



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Ä√



5+2



äx−1



=



Ä√



ä x−1



5−2



x+1



Trang 24



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



x−1



o) 5x · 8 x = 500

äx−1

Ä√

q)

2x − x2

=1

s) (x2 − x + 1)



x2 −1



u) (x2 + 3)|



x2 −5x+4|











xx = x x

Ä√

äx−2

r)

x − x2

=1



p)







=1



t) (x + 1)



= (x2 + 3)



x−3



=1



x+1



Bài 42. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)

a) 3x−1 + 3x + 3x+1 = 9477



b) 5x+1 − 5x = 2x+1 + 2x+3



c) 2x−1 − 3x = 3x−1 − 2x+2



d) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 7x + 7x+1 − 7x+2



9



7



e) 22x+5 − 3x+ 2 = 3x+ 2 − 4x+4

3



f) 3 · 4x +



1



1



1



h) 4−x − 3−x− 2 = 3 2 −x − 2−2x−1



g) 9x − 2x+ 2 = 2x+ 2 − 32x−1

1



1



1 x+2

1

·9

= 6 · 4x+2 − · 9x+1

3

2



i) 5x+ 2 − 9x = 32x−2 − 5x− 2



j) 4x+2 − 10 · 3x = 2 · 3x − 11 · 22x



k) x2 − (2x − 3)x + 2(1 − 2x ) = 0



l) x2 · 2x+1 = 2|x−3|+2 = x2 · 2|x−3| + 2x−1



m) 62x+3 = 2x+7 · 33x−1



n) 3x+3 · 7x+3 = 32x · 72x



o) 32x+3 · 52x+3 = 55x · 35x



p) 3x−1 · 22x−2 = 129−x



x



q) 8 x+2 = 36 · 32−x



r) 5x



2 −5x+6



x−1

x



t) 3x



2 −4x



s) 2x · 5



= 10



= 2x−1



= 2x−4



u) 4 · 3x+2 + 5 · 3x − 7 · 3x+1 = 40



v) 22x+6 + 2x+7 − 17 = 0



w) 52x−1 + 5x+1 = 250



x) 5x−1 + 53−x = 26



y) 2x+4 + 2x+2 = 5x+1 + 3 · 5x



z) 5x+1 + 6 · 5x − 3 · 5x−1 = 52



2.7.2.3



Phương pháp đặt ẩn phụ



2.7.2.3.1 Dạng 1:

Ä





t



ä



P af (x) = 0 ⇔ 



= af (x) , t > 0



P (t) = 0



2.7.2.3.2 Dạng 2:



α · a2f (x) + β · (ab)f (x) + λ · b2f (x) = 0



! Chia hai vế cho b



2f (x)



hoặc a2f (x) (chia cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất). Sau đó đặt

t=



Å ãf (x)

a



b



>0



2.7.2.3.3 Dạng 3:



với a · b = 1. Đặt t = af (x) ⇒ bf (x)



af (x) + bf (x) = m

1

=

t



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 25



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Ví dụ 33. Giải phương trình: 9x − 5 · 3x + 6 = 0

Lời giải.

x

(1) ⇔ (32 ) − 5 · 3x + 6 = 0 ⇔ (3x )2 − 5 · 3x + 6 = 0



(1)

(*)





Đặt t = 3x , (t > 0), phương trình (*) trở thành t2 − 5t + 6 = 0 ⇔ 



t = 2 (n)

t = 3 (n)



• Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ x = log3 2

• Với t = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = log3 3 = 1

Đáp số x = log3 2; x = 1

Ví dụ 34. Giải phương trình: 25x + 15x = 2 · 9x

Lời giải.

Chia hai vế cho 25x , ta được: đÇ å ô

Ç åx

3

15x

9x

3 x 2



+1=0

(2) ⇔ 1 + x = 2 · x ⇔ 2 ·

25

25

5

5



(2)



(*)





t = 1 (nhận)

> 0, phương trình (*) trở thành 2t − t − 1 = 0 ⇔

Đặt t =

1

t = − (loại)

2

Ç åx

3

Với t = 1 ⇒

=1⇔x=0

5

Đáp số x = 0

Ç åx



3

5



2









Ä

√ äx Ä

√ äx

Ví dụ 35. Giải phương trình: 2 + 3 + 2 − 3 = 4

Lời giải. Ä

ỵÄ

√ ä Ä

√ ä

√ ä Ä

√ äóx

Nhận xét: 2 + 3 · 2 − 3 = 1 ⇔ 2 + 3 · 2 − 3

=1⇔

Ä

√ äx Ä

√ äx

⇔ 2+ 3 · 2− 3 =1

Ä

Ä

√ äx 1

√ äx

Đặt 2 + 3 = t > 0 ⇒ 2 − 3 =

t





t

=

2

+

3 > 0 (nhận)

1



Phương trình (3) trở thành: t + = 4 ⇔ t2 − 4t + 1 = 0 ⇔ 

t

t = 2 − 3 > 0 (nhận)

Ä



√ äx



• Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3 = 2 + 3 ⇔ x = 1

Ä



√ äx





• Với t = 2 − 3 ⇒ 2 + 3 = 2 − 3 = (2 + 3)−1 ⇔ x = −1



(3)



Đáp số x = 1; x = −1

Bài 43. Giải các phương trình sau:

a) 21+2x + 15 · 2x − 8 = 0





c) 5



x



− 51−







x



+4



e) 5x + 251−x = 6

g) 9sin



2



x



2



+ 9cos



x



=6



b) 5x+1 − 52−x = 124

d) 32−2x − 2 · 32−x − 27 = 0

Ä

√ äx Ä

√ äx

f) 7 + 4 3 + 2 + 3 = 6

h) 4x + 2x+1 − 8 = 0



i) 4x+1 − 6 · 2x+1 + 8 = 0



j) 34x+8 − 4 · 32x+5 + 27 = 0



k) 16x − 17 · 4x + 16 = 0



l) 49x + 7x+1 − 8 = 0



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 26



Hàm số mũ và hàm số logarit



2 −x



m) 2x



Giải tích 12



2



Ä

√ äx Ä

√ äx

n) 7 + 4 3 + 2 + 3 = 6



=3



p) 32x+5 − 36 · 3x+1 + 9 = 0



− 22+x−x = 3



o) 4cos 2x + 4cos

2 +2



2



x



2 +2



q) 4x



+ 9 · 2x



2 +2x+1



+8=0



r) 32x



s) 3 · 52x−1 − 2 · 5x−1 = 0, 2



t) 2sin









x−2



+ 16 = 10 · 2



u) 4

w)



8

2x−1



+







x−2



v) 5



2



x



x



− 28 · 3x

2



+ 4 · 2cos



− 51−







x



x



2 +x



+9=0



=6



+4=0



2x

18

= x−1

x

2+2

2

+ 21−x + 2



Bài 44. Giải các phương trình sau:

a) 9x − 5 · 3x + 6 = 0



b) 2x+2 − 22−x − 15 = 0



c) e2x − 4 · e−2x = 3



d) 9x







x−2



+ 16 = 10 · 2



e) 4



x−2



2



x



2



+ 81cos



x



− 36 · 3x



2 −3



+3=0



f) 4x+1 + 2x+2 − 3 = 0



g) e6x − 3 · e3x + 2 = 0

i) 81sin



2 −1



h) −8x + 2 · 4x + 2x − 2 = 0

j) 9x − 25 · 3x + 7 = 0



= 30



k) 25x − 23 · 5x − 5 = 0



l) 25x − 6 · 5x+1 + 53 = 0



m) 132x − 6 · 13x + 5 = 0



n) 3 · 52x−1 − 2 · 5x−1 =



o)



3



= 4x−4 − 7



23−x



1

5



p) 32(x+1) − 82 · 3x + 9 = 0

2 −1



r) 9x



s) 3x+2 + 9x+1 = 4

Ä √ äx Ä √ äx−10

u) 3 3 + 10 3

− 84 = 0



t) 4x+



v) 42x + 23x+1 + 2x+2 − 16 = 0



w) 8x − 3 · 4x − 3 · 2x+1 + 8 = 0



x) 32+x + 32−x = 30



y) 4x + 23−4x = 6



z) 3







− 3x



2 +1



q) 3x+2 + 9x+1 = 4





x2 −2



x



−6=0





− 5 · 2x−1+



− 31−







x



x2 −2



=6



+4=0



Bài 45. Giải các phương trình sau:

2x−3



a) 5



=



2

5x−1



Ç åx−2



+ 15



Ç åx−3



1

6



c)



= 65−2x − 12

2



d)



2





x2 −2x−x



i)







−7·3



32x

= 2 · (0, 3)x + 3

100x

2



f) 51+x − 51−x = 24



x2 −2x−x−1



=2



h) 5 · 23|x−1| − 3 · 25−3x + 7 = 0



x



9

2x−2





k) 8 · 3



10 + 4 2

=

4



x+ 4 x



+9





4



j) 3 · 2

x+1







=9



x



m) 43+2 cos x − 7 · 41+cos x − 2 = 0

2



= 25−x + 9



2



e) 101+x − 101−x = 99

g) 9



1

4



b)



o) 8 x − 2



3x+3

x



l) 4x+



x−1



x+1





x2 −2







−8·2



x−1

2



+4=0





− 5 · 2x−1+



x2 −2



−6=0

Ä

√ äx

√ äx

n) 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0

Ä



+ 12 = 0



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 27



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Bài 46. Giải các phương trình mũ sau:

a) 9x+1 − 13 · 6x + 4x+1 = 0

1



1



b) 49x − 2 · 35x − 7 · 52x+1 = 0



1



c) 2 · 4 x + 6 x = 9 x



d) 8x + 18x = 2 · 27x



e) 4 · 9x + 12x − 3 · 16x



f) 8 · 4x + 9x = 6x+1



2 −1



g) 9x



− 36 · 3x



2 −3



h) 125x + 50x = 23x+1



+3=0



x



i) 6 · 9x − 13 · 6x + 6 · 4x



j) 4 · 3x − 9 · 2x = 5 · 6 2



k) 4x − 2 · 6x = 3 · 9x



l) 64 · 9x − 84 · 12x + 27 · 16x



1



1



1



m) 4− x + 6− x = 9− x



n) 3 · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x



o) 25x + 10x + 22x+1



p) 27x + 12x = 2 · 8x



1



1



1



q) 6 · 9 x − 13 · 6 x + 6 · 4 x



r) 6 · 32x − 13 · 6x + 6 · 22x



s) 3 · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x



t) 8 · 4x + 9x = 6x+1



2 −1



u) 9x



− 36 · 3x



2 −3



v) 125x + 50x = 23x+1



+3=0



w) 27x + 12x = 2 · 8x

Bài 47. Giải các phương trình mũ sau:

Ä

√ äx2 Ä

√ äx2

a) 2 + 3 + 2 − 3

=4



5+2 6



c)



»



e)



»







g)



»



4−







i)



»



2+



k)



3



3+







x



+

x



+



8



x



15 +

x



3



+





5−2 6



»

»

3



3−











»







2−



= 10



b)



d) 6 ·



x



=6



8



»



4+



x



x



15



Ä √ äx

= 2 2



f)



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)





7 + 48



Ä√



5+1



x



äx



+



»



−2·



7−



Ä√





48

äx



5−1



x



= 14

= 2x+2



√ ätan x Ä

√ ätan x

8+3 7

+ 8−3 7

= 16



Ä

Ä



h) 2 −



x



3 =4

√ x

√ x

7+3 5

7−3 5

+7·

=8

2

2



»



√ äx Ä

√ äx

3 + 2 + 3 = 14



Ä

√ äx

√ äx

7+4 3 −3· 2− 3 +2=0



j)



Ä



l)



Ä



3+



Ä

√ äx

√ äx

5 + 16 · 3 − 5 = 2x+3



Trang 28



Hàm số mũ và hàm số logarit



2.7.2.4



Giải tích 12



Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét hàm số: f (x) = g(x) (1)



Đoán x0 là một nghiệm của phương trình (1) (thơng thường là lân cận của số 0)

Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f (x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm

duy nhất:

• f (x) đồng biến và g(x) nghịch biến

• f (x) đơn điệu và g(x) = c (hằng số)



!



Nếu f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v

Lưu ý

• Hàm số bậc nhất: y = ax + b, (a = 0)

– Đồng biến khi: a > 0

– Nghịch biến khi: a < 0

• Hàm số mũ: y = ax

– Đồng biến khi: a > 1

– Nghịch biến khi: 0 < a < 1



Ví dụ 36. Giải phương trình: 3x = 5 − 2x

Lời giải.

Đặt f (x) = 3x đồng biến trên R (vì a = 3 > 1)

g(x) = 5 − 2x nghịch biến trên R (vì a = −2 < 0)

Ta có: f (1) = g(1) ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (4).



(4)



Ví dụ 37. Giải phương trình: (x + 4) · 9x − (x + 5) · 3x + 1 = 0

Lời giải.

Đặt 3x = t > 0, phương trình (4) trở thành: (x + 4)t2 − (x + 5)t + 0 = 0



x+5+x+3

=1

t =

2(x + 4)



2

2

2

∆ = (x + 5) − 4(x + 4) = x + 6x + 9 = (x + 3) ⇒ 



x+5−x−3

1

t=

=

2(x + 4)

x+4



(5)



• Với t = 1 ⇒ 3x = 1 ⇔ x = 0





 x > −4

1

• Với t =

>0⇔ x

x+4

3 · (x + 4) = 1 (∗∗)



Xét hàm số f (x) = 3x · (x + 4), ∀x ∈ (−4; +∞)

Ta có f (x) = 3x · (x + 4) · ln 3 + 3x = 3x · [(x + 3) · ln 3 + 1] > 0, ∀x ∈ (−4; +∞)

⇒ f (x) đồng biến ∀x ∈ (−4; +∞) và g(x) = 1 là hàm không đổi.

Ta thấy f (−1) = g(−1) ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (**).

Vậy phương trình (5) có hai nghiệm x = 0; x = −1

Đáp số x = 0; x = −1

Bài 48. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến)



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 29



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

6 Bài tập hàm số mũ-hàm số logarit

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×