Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Tải bản đầy đủ - 0trang

Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



2.7.2



Một số phương pháp giải phương trình mũ



2.7.2.1



Phương pháp đưa về cùng cơ số



Dùng các cơng thức biến đổi phương trình đã cho về dạng: af (x) = ag(x) .

Khi đó: Với a > 0, a = 1 thì af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x)



!



Trường hợp cơ số a chưa biến:





aM = aN ⇔ (a − 1) . (M − N ) = 0 ⇔ 



Ví dụ 28. Giải phương trình 2x



2 −1



a=1

M =N



=8



(1)



Lời giải.

2

2

Ta có (1) ⇔ 2x −1 = 8 ⇔ 2x −1 = 23 ⇔ x2 − 1 = 3 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2.

Đáp số x = ±2

Ví dụ 29. Giải phương trình 273x−2 = 9x−1



(2)



Lời giải.

4

Ta có (2) ⇔ 33(3x−2) = 32(x−1) ⇔ 3(3x−2) = 2(x−1) ⇔ 9x−6 = 2x−2 ⇔ 7x = 4 ⇔ x = .

7

4

Đáp số x =

7

Ví dụ 30. Giải phương trình 2018x



2 −3x+2



=1



(3)



Lời giải.



x2 −3x+2



Ta có (3) ⇔ 2018



= 20180 ⇔ x2 − 3x + 2 = 0 



x=1

x=2



.

Đáp số x = 1; x = 2



!



Chú ý: 1 = a0 do đó: 1 = 20180 .





Ví dụ 31. Giải phương trình (x + 1)



x−3



=1



(4)



Lời giải.

Điều kiện: x −√3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.

ỵ√

ó



(3) ⇔ (x + 1) x−3 = (x + 2)0 ⇔ [(x + 1) − 1] . x − 3 − 0 = 0 ⇔ x. x − 3 = 0 ⇔





x=0

x = 0(loại)

⇔ √

⇔

.

Đáp số x = 3

x=3

x−3=0

Bài 39. Giải các phương trình sau:



a) (0, 04)x = 625. 3 5







c) 28−x .58−x = 0, 001. (105 )



8

32



2x−1

3x −3x

d) 3

.15 .5

= 39



e) 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x



f) 93x−1 = 38x−2



2



1−x



2



b) 0, 125.161−x =



Ç åx2 −2



g)



1

2



Ç åx+7 Ç å1−2x

4−3x



=2



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



h)



1

2



.



1

2



=2



Trang 23



Hàm số mũ và hàm số logarit



i)



Giải tích 12



√ ä2x



3−2 2

=3+2 2



Ä



5x−7



k) (1, 5)



x2 −5x+6



m) 5



j)



Ä√



5+2



Ç åx+1



2

3



=



äx−1



2x−3



l) (0, 75)



=1



x−1



q) 2.3 − 6.3

Ç åx−2



2.7.2.2



x+1



Ç å5−x



4

3



=



1

7



n)



= 7x+1



p) 3x .2x+1 = 72





x



s)



ä x−1



5−2



Ç åx2 −2x−3



Ä

√ ä



o) 3 − 2 2 63x = 3 + 2 2



3

4



Ä√



=



x



−3 =9



Ç å5



.



4

5



x



2



r) (x − 2x + 2)

Ç



9

=

16



t)



1

25



4−x2



=1



åx+1



= 1252x



Phương pháp logarit hóa



! Phương trình logarit hóa có dạng: a



f (x)



Ví dụ 32. Giải phương trình 2x−1 = 71−x



= bg(x) ⇔ f (x) = g(x). loga b



2



(1)



Lời giải.

Từ (1) ⇔ x − 1 = (1 − x2 ). log2 7 ⇔ x − 1 + (x − 1)(x + 1) log

 27 = 0

x−1=0







(x − 1) [1 + (x + 1). log2 7]

=

0 ⇔

1 + (x + 1). log2 7 = 0



x=1





1

x+1=−

= − log7 2

log2 7





x=1

x=1

⇔

⇔

.

Đáp số x = 1; x = − log7 14

x = −1 − log7 2

x = − log7 14

Bài 40. Giải các phương trình sau:

a) 2x = 3x



x−1



2



b) 5x−1 = 3 x+1



2



x



d) 24−x = 32−x



e) 35 = 53



c) 6x−1 = 5x



x



2 −2x+1



f) 7x = 24x



Bài 41. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)



a) 4x+1 = 3 16.

b) 2x+1 · 32x+3 = 63x+1 .

2 +x+5



c) 22x



= 82x+1 .



d) 5x · 8x+1 = 100.



e) 9|3x−1| = 38x−2 .

Ç åx Ç



g)



2

5



25

·

8



f) 2x+1 · 3x−2 · 5x = 200.



åx



=



125

.

64



x



i) 8 x+2 = 36 · 32−x .

x+5



h) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1 .

j) 3x+2 − 3x+1 = 18.



x+17



k) 32 x−7 = 0, 25 · 125 x−3



l) 2 · 3x+1 − 6 · 3x−1 − 3x = 9



Ä

√ ä2x



m) 3 − 2 2

=3+2 2



n)



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Ä√



5+2



äx−1



=



Ä√



ä x−1



5−2



x+1



Trang 24



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



x−1



o) 5x · 8 x = 500

äx−1

Ä√

q)

2x − x2

=1

s) (x2 − x + 1)



x2 −1



u) (x2 + 3)|



x2 −5x+4|











xx = x x

Ä√

äx−2

r)

x − x2

=1



p)







=1



t) (x + 1)



= (x2 + 3)



x−3



=1



x+1



Bài 42. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa)

a) 3x−1 + 3x + 3x+1 = 9477



b) 5x+1 − 5x = 2x+1 + 2x+3



c) 2x−1 − 3x = 3x−1 − 2x+2



d) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 7x + 7x+1 − 7x+2



9



7



e) 22x+5 − 3x+ 2 = 3x+ 2 − 4x+4

3



f) 3 · 4x +



1



1



1



h) 4−x − 3−x− 2 = 3 2 −x − 2−2x−1



g) 9x − 2x+ 2 = 2x+ 2 − 32x−1

1



1



1 x+2

1

·9

= 6 · 4x+2 − · 9x+1

3

2



i) 5x+ 2 − 9x = 32x−2 − 5x− 2



j) 4x+2 − 10 · 3x = 2 · 3x − 11 · 22x



k) x2 − (2x − 3)x + 2(1 − 2x ) = 0



l) x2 · 2x+1 = 2|x−3|+2 = x2 · 2|x−3| + 2x−1



m) 62x+3 = 2x+7 · 33x−1



n) 3x+3 · 7x+3 = 32x · 72x



o) 32x+3 · 52x+3 = 55x · 35x



p) 3x−1 · 22x−2 = 129−x



x



q) 8 x+2 = 36 · 32−x



r) 5x



2 −5x+6



x−1

x



t) 3x



2 −4x



s) 2x · 5



= 10



= 2x−1



= 2x−4



u) 4 · 3x+2 + 5 · 3x − 7 · 3x+1 = 40



v) 22x+6 + 2x+7 − 17 = 0



w) 52x−1 + 5x+1 = 250



x) 5x−1 + 53−x = 26



y) 2x+4 + 2x+2 = 5x+1 + 3 · 5x



z) 5x+1 + 6 · 5x − 3 · 5x−1 = 52



2.7.2.3



Phương pháp đặt ẩn phụ



2.7.2.3.1 Dạng 1:

Ä





t



ä



P af (x) = 0 ⇔ 



= af (x) , t > 0



P (t) = 0



2.7.2.3.2 Dạng 2:



α · a2f (x) + β · (ab)f (x) + λ · b2f (x) = 0



! Chia hai vế cho b



2f (x)



hoặc a2f (x) (chia cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất). Sau đó đặt

t=



Å ãf (x)

a



b



>0



2.7.2.3.3 Dạng 3:



với a · b = 1. Đặt t = af (x) ⇒ bf (x)



af (x) + bf (x) = m

1

=

t



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 25



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Ví dụ 33. Giải phương trình: 9x − 5 · 3x + 6 = 0

Lời giải.

x

(1) ⇔ (32 ) − 5 · 3x + 6 = 0 ⇔ (3x )2 − 5 · 3x + 6 = 0



(1)

(*)





Đặt t = 3x , (t > 0), phương trình (*) trở thành t2 − 5t + 6 = 0 ⇔ 



t = 2 (n)

t = 3 (n)



• Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ x = log3 2

• Với t = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = log3 3 = 1

Đáp số x = log3 2; x = 1

Ví dụ 34. Giải phương trình: 25x + 15x = 2 · 9x

Lời giải.

Chia hai vế cho 25x , ta được: đÇ å ô

Ç åx

3

15x

9x

3 x 2



+1=0

(2) ⇔ 1 + x = 2 · x ⇔ 2 ·

25

25

5

5



(2)



(*)





t = 1 (nhận)

> 0, phương trình (*) trở thành 2t − t − 1 = 0 ⇔

Đặt t =

1

t = − (loại)

2

Ç åx

3

Với t = 1 ⇒

=1⇔x=0

5

Đáp số x = 0

Ç åx



3

5



2









Ä

√ äx Ä

√ äx

Ví dụ 35. Giải phương trình: 2 + 3 + 2 − 3 = 4

Lời giải. Ä

ỵÄ

√ ä Ä

√ ä

√ ä Ä

√ äóx

Nhận xét: 2 + 3 · 2 − 3 = 1 ⇔ 2 + 3 · 2 − 3

=1⇔

Ä

√ äx Ä

√ äx

⇔ 2+ 3 · 2− 3 =1

Ä

Ä

√ äx 1

√ äx

Đặt 2 + 3 = t > 0 ⇒ 2 − 3 =

t





t

=

2

+

3 > 0 (nhận)

1



Phương trình (3) trở thành: t + = 4 ⇔ t2 − 4t + 1 = 0 ⇔ 

t

t = 2 − 3 > 0 (nhận)

Ä



√ äx



• Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3 = 2 + 3 ⇔ x = 1

Ä



√ äx





• Với t = 2 − 3 ⇒ 2 + 3 = 2 − 3 = (2 + 3)−1 ⇔ x = −1



(3)



Đáp số x = 1; x = −1

Bài 43. Giải các phương trình sau:

a) 21+2x + 15 · 2x − 8 = 0





c) 5



x



− 51−







x



+4



e) 5x + 251−x = 6

g) 9sin



2



x



2



+ 9cos



x



=6



b) 5x+1 − 52−x = 124

d) 32−2x − 2 · 32−x − 27 = 0

Ä

√ äx Ä

√ äx

f) 7 + 4 3 + 2 + 3 = 6

h) 4x + 2x+1 − 8 = 0



i) 4x+1 − 6 · 2x+1 + 8 = 0



j) 34x+8 − 4 · 32x+5 + 27 = 0



k) 16x − 17 · 4x + 16 = 0



l) 49x + 7x+1 − 8 = 0



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 26



Hàm số mũ và hàm số logarit



2 −x



m) 2x



Giải tích 12



2



Ä

√ äx Ä

√ äx

n) 7 + 4 3 + 2 + 3 = 6



=3



p) 32x+5 − 36 · 3x+1 + 9 = 0



− 22+x−x = 3



o) 4cos 2x + 4cos

2 +2



2



x



2 +2



q) 4x



+ 9 · 2x



2 +2x+1



+8=0



r) 32x



s) 3 · 52x−1 − 2 · 5x−1 = 0, 2



t) 2sin









x−2



+ 16 = 10 · 2



u) 4

w)



8

2x−1



+







x−2



v) 5



2



x



x



− 28 · 3x

2



+ 4 · 2cos



− 51−







x



x



2 +x



+9=0



=6



+4=0



2x

18

= x−1

x

2+2

2

+ 21−x + 2



Bài 44. Giải các phương trình sau:

a) 9x − 5 · 3x + 6 = 0



b) 2x+2 − 22−x − 15 = 0



c) e2x − 4 · e−2x = 3



d) 9x







x−2



+ 16 = 10 · 2



e) 4



x−2



2



x



2



+ 81cos



x



− 36 · 3x



2 −3



+3=0



f) 4x+1 + 2x+2 − 3 = 0



g) e6x − 3 · e3x + 2 = 0

i) 81sin



2 −1



h) −8x + 2 · 4x + 2x − 2 = 0

j) 9x − 25 · 3x + 7 = 0



= 30



k) 25x − 23 · 5x − 5 = 0



l) 25x − 6 · 5x+1 + 53 = 0



m) 132x − 6 · 13x + 5 = 0



n) 3 · 52x−1 − 2 · 5x−1 =



o)



3



= 4x−4 − 7



23−x



1

5



p) 32(x+1) − 82 · 3x + 9 = 0

2 −1



r) 9x



s) 3x+2 + 9x+1 = 4

Ä √ äx Ä √ äx−10

u) 3 3 + 10 3

− 84 = 0



t) 4x+



v) 42x + 23x+1 + 2x+2 − 16 = 0



w) 8x − 3 · 4x − 3 · 2x+1 + 8 = 0



x) 32+x + 32−x = 30



y) 4x + 23−4x = 6



z) 3







− 3x



2 +1



q) 3x+2 + 9x+1 = 4





x2 −2



x



−6=0





− 5 · 2x−1+



− 31−







x



x2 −2



=6



+4=0



Bài 45. Giải các phương trình sau:

2x−3



a) 5



=



2

5x−1



Ç åx−2



+ 15



Ç åx−3



1

6



c)



= 65−2x − 12

2



d)



2





x2 −2x−x



i)







−7·3



32x

= 2 · (0, 3)x + 3

100x

2



f) 51+x − 51−x = 24



x2 −2x−x−1



=2



h) 5 · 23|x−1| − 3 · 25−3x + 7 = 0



x



9

2x−2





k) 8 · 3



10 + 4 2

=

4



x+ 4 x



+9





4



j) 3 · 2

x+1







=9



x



m) 43+2 cos x − 7 · 41+cos x − 2 = 0

2



= 25−x + 9



2



e) 101+x − 101−x = 99

g) 9



1

4



b)



o) 8 x − 2



3x+3

x



l) 4x+



x−1



x+1





x2 −2







−8·2



x−1

2



+4=0





− 5 · 2x−1+



x2 −2



−6=0

Ä

√ äx

√ äx

n) 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0

Ä



+ 12 = 0



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 27



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Bài 46. Giải các phương trình mũ sau:

a) 9x+1 − 13 · 6x + 4x+1 = 0

1



1



b) 49x − 2 · 35x − 7 · 52x+1 = 0



1



c) 2 · 4 x + 6 x = 9 x



d) 8x + 18x = 2 · 27x



e) 4 · 9x + 12x − 3 · 16x



f) 8 · 4x + 9x = 6x+1



2 −1



g) 9x



− 36 · 3x



2 −3



h) 125x + 50x = 23x+1



+3=0



x



i) 6 · 9x − 13 · 6x + 6 · 4x



j) 4 · 3x − 9 · 2x = 5 · 6 2



k) 4x − 2 · 6x = 3 · 9x



l) 64 · 9x − 84 · 12x + 27 · 16x



1



1



1



m) 4− x + 6− x = 9− x



n) 3 · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x



o) 25x + 10x + 22x+1



p) 27x + 12x = 2 · 8x



1



1



1



q) 6 · 9 x − 13 · 6 x + 6 · 4 x



r) 6 · 32x − 13 · 6x + 6 · 22x



s) 3 · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x



t) 8 · 4x + 9x = 6x+1



2 −1



u) 9x



− 36 · 3x



2 −3



v) 125x + 50x = 23x+1



+3=0



w) 27x + 12x = 2 · 8x

Bài 47. Giải các phương trình mũ sau:

Ä

√ äx2 Ä

√ äx2

a) 2 + 3 + 2 − 3

=4



5+2 6



c)



»



e)



»







g)



»



4−







i)



»



2+



k)



3



3+







x



+

x



+



8



x



15 +

x



3



+





5−2 6



»

»

3



3−











»







2−



= 10



b)



d) 6 ·



x



=6



8



»



4+



x



x



15



Ä √ äx

= 2 2



f)



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)





7 + 48



Ä√



5+1



x



äx



+



»



−2·



7−



Ä√





48

äx



5−1



x



= 14

= 2x+2



√ ätan x Ä

√ ätan x

8+3 7

+ 8−3 7

= 16



Ä

Ä



h) 2 −



x



3 =4

√ x

√ x

7+3 5

7−3 5

+7·

=8

2

2



»



√ äx Ä

√ äx

3 + 2 + 3 = 14



Ä

√ äx

√ äx

7+4 3 −3· 2− 3 +2=0



j)



Ä



l)



Ä



3+



Ä

√ äx

√ äx

5 + 16 · 3 − 5 = 2x+3



Trang 28



Hàm số mũ và hàm số logarit



2.7.2.4



Giải tích 12



Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Xét hàm số: f (x) = g(x) (1)



Đoán x0 là một nghiệm của phương trình (1) (thơng thường là lân cận của số 0)

Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f (x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm

duy nhất:

• f (x) đồng biến và g(x) nghịch biến

• f (x) đơn điệu và g(x) = c (hằng số)



!



Nếu f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) ⇔ u = v

Lưu ý

• Hàm số bậc nhất: y = ax + b, (a = 0)

– Đồng biến khi: a > 0

– Nghịch biến khi: a < 0

• Hàm số mũ: y = ax

– Đồng biến khi: a > 1

– Nghịch biến khi: 0 < a < 1



Ví dụ 36. Giải phương trình: 3x = 5 − 2x

Lời giải.

Đặt f (x) = 3x đồng biến trên R (vì a = 3 > 1)

g(x) = 5 − 2x nghịch biến trên R (vì a = −2 < 0)

Ta có: f (1) = g(1) ⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (4).



(4)



Ví dụ 37. Giải phương trình: (x + 4) · 9x − (x + 5) · 3x + 1 = 0

Lời giải.

Đặt 3x = t > 0, phương trình (4) trở thành: (x + 4)t2 − (x + 5)t + 0 = 0



x+5+x+3

=1

t =

2(x + 4)



2

2

2

∆ = (x + 5) − 4(x + 4) = x + 6x + 9 = (x + 3) ⇒ 



x+5−x−3

1

t=

=

2(x + 4)

x+4



(5)



• Với t = 1 ⇒ 3x = 1 ⇔ x = 0





 x > −4

1

• Với t =

>0⇔ x

x+4

3 · (x + 4) = 1 (∗∗)



Xét hàm số f (x) = 3x · (x + 4), ∀x ∈ (−4; +∞)

Ta có f (x) = 3x · (x + 4) · ln 3 + 3x = 3x · [(x + 3) · ln 3 + 1] > 0, ∀x ∈ (−4; +∞)

⇒ f (x) đồng biến ∀x ∈ (−4; +∞) và g(x) = 1 là hàm không đổi.

Ta thấy f (−1) = g(−1) ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (**).

Vậy phương trình (5) có hai nghiệm x = 0; x = −1

Đáp số x = 0; x = −1

Bài 48. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đồng biến và nghịch biến)



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 29



Hàm số mũ và hàm số logarit



Ç åx



1

2



a)



Giải tích 12



Ç åx



1

=x−

2



b)



1

3



=x+1



d) 2x = 3 2 + 1



=−



Ç åx



1

3



c)



3

x



x



e) 2x = x + 2



f) 76−x = x + 2



g) 3x = x + 2



h) 2x = 3 2 + 1



i) 3x = 11 − x



j) 2−x + 3x + 10 = 0



k) 3x = 5 − 2x



l) 2x+1 − 4x = x − 1



m) 4x + 7x = 9x + 2



n) 6x + 2x = 5x + 3x



Ç åx



3

5



o)



+



x



7

= 2x

5



p) 2x + 5x = 7x



q) 9x + 2(x − 2) · 3x + 2x − 5 = 0

Ä

√ äx Ä

√ äx

s) 3 + 2 2 + 3 − 2 2 = 6x



3−x



u) 2



r)



Ä√



3−



√ äx Ä√

√ äx Ä√ äx

2 + 3+ 2 =

5



t) 2x−1 − 2x



= −x2 + 8x − 14



2 −x



= (x − 1)2



v) 3 · 4x + (3x − 10) · 2x + 3 − x = 0



Bài 49. Giải các phương trình sau:

a) 3 · 16x−2 − (3x − 10) · 4x−2 + 3 − x = 0

2



2



b) 8 − x · 2x + 23−x − x = 0



c) 9x + (x2 − 3) · 3x + 2 (1 − x2 ) = 0



d) 32x + 2 (x − 2) · 3x + 2x − 9 = 0



e) 32x−3 − (3x − 10) · 3x−2 + 3 − x



f) 4 x + 2x · 2 x − 6x = 9



g) 25x − 2(3 − x) · 5x + 2x − 7 = 0



h) 3 · 25x−2 + (3x − 10) · 5x−2 + 3 − x = 0



i) 3 · 4x + (3x − 10) · 2x + 3 − x = 0



j) 9x + 2(x − 2) · 3x + 2x − 5 = 0



k) 4x + (x − 8) · 2x + 12 − 2x = 0



l) (x + 4) · 9x − (x + 5) · 3x + 1 = 0



2.7.2.5



1



1



Phương trình tích





Phương trình tích: A · B = 0 ⇔ 



A=0

B=0



Nghiệm phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0, (a = 0)



!



• ∆ = b2 − 4ac





−b + ∆

x =



2a√

• Nghiệm là 





−b − ∆

x=

2a





Ví dụ 38. Giải phương trình: 25 · 2x − 10x + 5x = 25

(1)

Lời giải.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

(1)⇔

 25 · 2 − 25 − 2 · 5 + 5 = 0 ⇔ 25 (2 − 1) − 5 (2 − 1) = 0 ⇔ (2 − 1) (25 − 5 ) = 0

2x − 1 = 0

2x = 1

x=0



⇔



⇔

x

x

25 − 5 = 0

5 = 25

x=2



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 30



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



Đáp số x = 0; x = 2

Ví dụ 39. Giải phương trình: 2 (x2 − 3x+1 ) = 3x (1 − 4 · 3x ) − 1

Lời giải 1. Nghiệm phương trình bâc 2 (theo biến x)

(1)⇔ 2x2 − 3(1 − 4 · 3x ) · x − 6 · 3x + 1 = 0

∆ = 9(1 − 8 · 3x + 16 · 9x ) − 8(−6 · 3x + 1) = 144 · 9x − 24 · 3x + 1 = (12 · 3x − 1)2





1

3 − 12 · 3x + 12 · 3x − 1

x=

x

=





4

2

⇔

⇒





1 x

3 − 12 · 3x − 12 · 3x + 1

3x = − (∗)

x=

6 6

4

1 x

x

Xét phương trình (**) 3 = − . Đặt

6 6

1 x

f (x) = 3x ; g(x) = −

6 6



(2)



• Hàm số f (x) = 3x đồng biến trên R (vì a = 3 > 1)

• Hàm số g(x) =



1

1 x

− nghịch biến trên R (vì a = − < 0)

6 6

6



Ta nhận thấy f (−1) = g(−1) ⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

1

Vậy nghiệm phương trình đã cho là x = ; x = −1

2

Lời giải 2. Đưa về phương trình tích

å

Ç

1

2

x

+ 6 · 3x · (2x − 1) = 0

(2)⇔ 2x − 3x + 1 + 6 · 3 · (2x − 1) = 0 ⇔ 2(x − 1) x −

2



1

x=



2

⇔ (2x − 1)(x − 1 + 6 · 3x ) = 0 ⇔ 



1 x

x

3 = − (giải như ở trên)

6 6

Bài 50. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích)

a) 25 · 2x − 10x + 5x = 25



b) −8x + 2 · 4x + 2x − 2 = 0



c) 3 · 8x + 4 · 12x − 18x − 2 · 27x



d) x2 · 3x−1 + x(3x − 2x ) = 2(2x − 3x−1 )



e) 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 0



f) 8 − x · 2x + 23−x − x = 0



g) 2x + 3x = 1 + 6x



h) 4x



2.7.3



2 −3x+2



2 +6x+5



+ 4x



= 42x



2 +3x+7



+1



Bài tốn liên quan tham số m



Bài 51. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9x + 3x + m = 0



b) 9x + m · 3x − 1 = 0



c) 4x − 2x+1 = m



d) 2x + (m + 1) · 2−x + m = 0



e) 25x − 2 · 5x − m − 2 = 0



f) 16x − (m − 1) · 22x + m − 1 = 0



g) 25x + m · 5x + 1 − 2m = 0



h) 34−2x − 2 · 32−x = 2m − 3 = 0







i) 9x+



1−x2







− 8 · 3x+



1−x2



2







+4=m



j) 91+



1−x2



2







−(m+2)·31+



1−x2



+2m+1 = 0



Bài 52. Tìm tham số m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất.



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 31



Hàm số mũ và hàm số logarit



Giải tích 12



a) m · 2x + 2−x − 5 = 0

Ä√

äx

Ä√

äx

c)

5 + 1 + m · 5 − 1 = 2x



b) m · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x

d) 4x − 2x+3 + 3 = m



Bài 53. Tìm tham số m để các phương trình mũ sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu

a) 49x + (m − 1) · 7x + m − 2m2 = 0



b) (m+1)·4x +(3m−2)·2x+1 −3m+1 = 0



c) 9x + 3(m − 1) · 3x − 5m + 2 = 0



d) (m + 3) · 16x + (2m − 1) · 4x + m + 1 = 0



Bài 54. Tìm tham số m để các phương trình:

a) m · 16x + 2 · 81x = 5 · 36x có hai nghiệm dương phân biệt.

b) 16x − m · 8x + (2m − 1) · 4x = m · 2x có ba nghiệm phân biệt

2



c) 4X − 2x

2



2 +2



+ 6 = m có ba nghiệm phân biệt.



2



d) 9x − 4 · 3x + 8 = m có ba nhiệm phân biệt.

2.8



Phương trình logarit



2.8.1



Phương trình logarit cơ bản



Với a > 0, a = 1:

loga x = b ⇔ x = ab

!



Chú ý: Khi giải phương trình logarit ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.

Các cơng thức logarit thường sử dùng

Ç å

b

CT.2 loga b − loga c = loga

CT.1 loga b + loga c = loga (b · c)

c



 β · log b nếu β lẻ

1

a

CT.3 loga bβ = 

CT.4 logaβ b = · loga b

β

β · loga |b| nếu β chẳn

1

loga c

CT.5 loga b =

CT.6 logb c =

logb a

loga b



2.8.2



Một số phương pháp giải phương trình logarit



2.8.2.1



Phương pháp đưa về cùng cơ số



Với a > 0, a = 1:



 f (x)



loga f (x) = loga g(x) ⇔ 

2.8.2.2



> 0 (g(x) > 0)



f (x) = g(x)



Phương pháp mũ hóa



Với a > 0, a = 1:

loga f (x) = g(x) ⇔ f (x) = ag(x)

Ví dụ 40. Giải phương trình: log3 (2x − 1) = −2

Lời giải.

1

Điều kiện: 2x − 1 > 0 ⇔ x >

2



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



(1)



Trang 32



Hàm số mũ và hàm số logarit



(1)⇔ log2 (2x − 1) = log2 2−2 ⇔ 2x − 1 =



Giải tích 12



1

5

⇔ x=

(nhận).

4

8



Ví dụ 41. Giải phương trình: log2 (9 − 2x ) = 3 − x

Lời giải.

Điều kiện: 9 − 2x > 0 ⇔ 2x < 9 (*)

(1)⇔ log2 (9 − 2x ) = log2 23−x ⇔ 9 − 2x = 23−x ⇔ 2x +



(2)



8

− 9 = 0 (**)

2x







t=1

8

Đặt 2x = t > 0, phương trình (**) trở thành t + − 9 = 0 ⇔ t2 − 9t + 8 = 0 ⇔ 

t

t=8

• Với t = 1 ⇒ 2x = 1 ⇔ x = 0 thay vào điều kiện (*) thỏa.

• Với t = 8 ⇒ 2x = 8 ⇔ x = 3 thay vào điều kiện (*) thỏa.

Nghiệm phương trình đã cho là x = 0; x = 3

2.8.2.3



Phương pháp đặt ẩn phụ



Đặt điều kiện cho phương trình:



!



Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

[α · loga f (x)]2 + β · loga f (x) + c = 0 (∗)

Đặt loga f (x) = t

Phương trình (*) trở thành: α · t2 + β · t + c = 0 (**)

Giải phương trình (**), tìm được nghiệm t ⇒ nghiệm x.



Ví dụ 42. Giải phương trình: log22 x − 4 · log2 x + 3 = 0

Lời giải.

Điều kiện: x > 0



(3)







Đặt log2 x = t, phương trình (3) trở thành t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ 



t=1

t=3



• Với t = 1 ⇒ log2 x = 1 ⇔ x = 2

• Với t = 3 ⇒ log2 x = 3 ⇔ x = 8

Nghiệm phương trình đã cho là x = 2; x = 8



Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm và biên soạn)



Trang 33



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

PHẦN 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×