Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng

A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng

Tải bản đầy đủ - 0trang

Dễ dàng thấy hàm số xác định với mọi x

Ta cã: y = x − 1993 + x − 1994

¸p dụng bất đẳng thức a1 a 2 a1 − a 2

y ≥ x − 1993 + 1994 − x = 1 ⇒ y ≥ 1



DÊu b»ng x¶y ra khi (x-1993)(1994-x) 0

1993 x 1994

Do đó ymin=1

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = x + 2 x 1 + x 2 x 1



Giải

Điều kiện để hàm số xác định là: x 1

Lúc đó: y =



(



)



x −1 +1 + 1− x −1



2



x − 1 + 1 + ( x − 1 − 1) 2 =



⇒ y ≥ x − 1 + 1 + 1 − x − 1 =2



(



)(



)



 x −1 +1

x ≥ 1



DÊu b»ng x¶y ra ⇔ 



x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 1 < x 2



Do đó ymin =2

2. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình , hệ phơng

trình tam thức bậc hai thoả mãn điều kiện nào đó.

Bài 1: Cho phơng trình: a x 2 + a x 1 + 2a = 1

Tìm giá trị của tham số a để phơng trình có đúng hai nghiệm

trên tập hợp số nguyên.

Giải;

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

Ta có: a x 2 + a x − 1 + 2a = a x − 2a + 1 − a x +2a2 =A

¸p dụng bất đẳng thức (1) ta đợc:

A a 2 x 2 − 2a 2 + 1 − a 2 x 2 + 2a 2 = 1

DÊu b»ng x¶y ra ⇔ a2x2-2a2; 1-a2x2; 2a2 cïng dÊu. Do ®ã:

2



2



2



2



2



 x 2 − 2 ≥ 0



1 − a 2 x 2 ≥ 0



NÕu a=0 thì công thức vô hạn số nguyên thoả mãn: x 2 ≥ 2

NÕu a ≠ 0 th× 2 ≤ x 2



1

a2



Để phơng trình có đúng hai nghiệm nguyên thì x2 chỉ có thể

nhận một giá trị duy nhất là số chính phơng 4 trong đoạn 2;

Vậy 4



1

1

1

9 ⇔ ≤ a ≤

2

3

2

a



Bµi 2. Cho tam thøc bËc 2: F(a) = ax2+bx +c

20



1

a2



Tho¶ m·n: F (−1) ≤ 1; F (1) ≤ 1

5

4



CMR: F ( x) ≤ khi x ≤ 1

Gi¶i:

F (1) + F (−1)



F(1) = a + b + c 

a=

− F (0)







2

Ta cã: F(-1) = a - b + c ⇒ 



b = F (1) + F (−1) F (0)

F(0) = c





2



Thay vào F(x) ta đợc:

F( 1) + F( −1)



 F( 1) + F( −1)



− F( 0 )  x 2 + 

− F( 0 )  x + F( 0 )

2

2









F

F

F

F

= ( 1) x 2 + ( 1) x − F( 0 ) x 2 + ( 1) x − ( −1) x + F( 0 )

2

2

2

2

F

F

= ( 1) x 2 + x + ( −1) x 2 − x + F( 0 ) 1 x 2

2

2



F(x) =



(



)



(



)



(



)



áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta đợc:

F ( x)



1 2

1

x + x + x2 − x + 1− x2

2

2



Ta xÐt c¸c trêng hỵp sau:

1 2

1

x + x + x 2 − x + 1 − x 2 =1+x+x2(*)

2

2

1

1

+ víi -1≤ x≤ 0: th× F ( x ) ≤ x 2 + x + x 2 − x + 1 − x 2 =1-x+x2(**)

2

2

tõ (*) vµ (**) víi x ≤ 1 ta cã:



+ víi 0≤ x≤ 1: th× : F ( x ) ≤



F( x ) ≤ 1 + x − x 2 =



vËy F( x ) ≤



5

5

2

− ( x − 1)

4

4



5

Điều phải chứng minh.

4



3. Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và hệ phơng

trình:

Bài 1: Giải phơng trình sau:

3x 2 − 12 x + 16 + y 2 − 4 y + 13 = 5



Ta thÊy:



3x 2 − 12 x + 16 = 3( x − 2 ) + 4 ≥ 2

2



y 2 − 4 y + 13 =



( y − 2) 2 + 9 ≥ 3



DÊu b»ng x¶y ra:

 3x 2 − 12 x + 6 = 2

⇔

 y 2 − 4 y + 13 = 3

3x 2 − 12 x + 6 = 4

⇔ 2

 y − 4 y + 13 = 9



x = 2

⇔

y = 2



VËy nghiệm của phơng trình là (x=2, y=2)

21



Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:

x 3 + 2 y 2 4 y + 3 = 0(1)

 2

 x + x 2 y 2 − 2 y = 0( 2)



gi¶i

Tõ (1) suy ra x3=-1-2(y-1)2

V× (y-1)2≥ 0 = -1-2(y-1)2 ≤ -1 ⇒ x3 -1 x -1

2y

1+ y2

2y

Mặt khác y2+1 2y x2=

≤ 1 ⇒ x2 ≤ 1⇔ -1≤ x≤ 1(**)

1+ y2



Tõ (2) ⇒ x2(1+y2)=2y ⇒ x2=



Tõ (*)(**) ⇒ x=-1

Thay x=-1 vµo (2) ta có: y=1

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x=-1, y=1)

Phần thứ hai: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong hình học



I. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình

học:

1. Một số kí hiệu đợc dùng để chỉ các yếu tố của tam giác:

1.1. a, b, c tơng ứng với độ dài 3 c¹nh BC, AC, AB cđa ∆ ABC

1.2. α, β, γ tơng ứng độ lớn của các góc tại ba đỉnh A, B, C cđa ∆

ABC

1.3. ma, mb, mc t¬ng øng với độ dài các đờng trung tuyến dựng từ

các đỉnh A, B, C cđa ∆ ABC

1.4. ha, hb, hc t¬ng ứng với độ dài các đờng cao dựng từ các ®Ønh

A, B, C cđa ∆ ABC

1.5. la, lb, lc t¬ng ứng với độ dài các đờng phân giác dựng từ các

đỉnh A, B, C của ABC

1.6. R,r tơng ứng độ dài các bán kính đờng tròn ngoại tiếp và nội

tiếp tam giác ABC

1.7. SABC là diện tích tam giác ABC

1.8. ra, rb, rc tơng ứng là các bán kính đờng tròn bàng tiếp trong

góc A,B,C của tam giác ABC

1.9. Gãc kÝ hiƯu: “∠”

VÝ dơ: gãc ABC kÝ hiƯu lµ ABC

2. Một số kiến thức cơ bản cần dùng.

2.1 Với ba điểm bất kì A B C ta luôn có: AB BC+CA

Dấu bằng xảy ra khi điểm C nằm giữa hai điểm A B

2.2. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn

hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

A





AB CD C B

22



B

C

2.3. Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông

CA>CB>BC



A

B



C



2.4. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ

nhất.

2.5. Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm

A

đến một đờng thẳng nào đó có hình

chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại

B

H

C

2.6. Trong tam giác ABC có:

AB-AC < BC < AB+AC

AB-BC < AC < AB+BC

AC-BC < AB < AC+BC

2.7. Trong một đờng tròn hoặc hai đờng tròn bằng nhau:

+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng cung lớn hơn.

+ Đờng kính là dây cung lớn nhất

CD AB 2R

2.8. SABC ≤



1

1

1

BC.AC; SABC ≤ BC.AB; SABC ≤ AB.AC;

2

2

2



2.9. BÊt đẳng thức côsi:

2

Với mọi số x 0; y 0 ta cã ( x + y ) ≥ 0 ⇔ x + y 2 xy

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y

Đặc biệt:

+ Nếu x+y=k(không đổi) thì xy



k2

dấu bằng xảy ra khi

4



x=y=1/2

+ Nếu xy= k (không đổi) thì x+y 2k

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=2k

II. Một số cách chứng minh bất đẳng thức:



1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác:

Bài tập: chứng minh rằng trong một tam giác bất kì ta có:

b+ca

b+c

< ma <

2

2



Giải:

Xét tam gi¸c

XÐt ∆ ABM cã: AM> AB-BM

XÐt ∆ ACM cã: AM> AC-CM



A



ma



C

M



23



Cộng từng bất đẳng thức trên ta đợc:

2AM> AB+AC-(BM+CM)



c

B



D



2AM > AB+AC-BC

ma >



b+ca

(1)

2



Trên tia đối của tia MA lấy ®iÓm D sao cho MA=MD

⇒ ∆ ABM =∆ DCM (c.g.c) ⇒ AB=CD

XÐt tam gi¸c ADC cã AD< AC+BC⇒ ma <

Tõ (1)(2)



b+ca

b+c


2

2



b+c

( 2)

2



2. Sử dụng bất đẳng thức Côsi

Bài 1. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của

tam giác ABC, K là chân đờng cao vẽ từ A của tam giác ABC.

BC 2

Chứng minh rằng: KH.KA

2



A



Giải:

Xét AKB và CKH có:



H

B



K



C



AKB = CKH =90

AK là đờng cao

BAK = HCK (hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

AKB đồng dạng ∆ CKH (g.g)

0







KA KC

=

⇒ KA.KH = KB.KC

KB KH

2



BC 2

 KB + KC

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: KB.KC

=

2

2





2

BC

Vậy: KA.KH

2



Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: KB=KC hay K là trung điểm của

BC ABC cân tại A

Bài 2. Cho tứ giác ABCD, gọi M,N là trung điểm các cạnh BC và CD.

Gọi P là trung điểm của AB, chứng minh rằng:

1

2

1

2) PN ( AD + BC ) DÊu b»ng x¶y ra khi nào

2

2

1) S ABCD ( AM + AN )



C

Giải:

1) gọi I là giao điểm của AM và BD. Ta có:

N

SABCD=SABC+SADC

24



B



M



I

P



Mà ∆ AMB vµ ∆ AMC cã : BM=MC(gt)

D

⇒ SAMB=SAMC⇒ SABC=2SAMC

Mµ ∆ AMB vµ ∆ AMC cã CN=ND(gt)

⇒ SANC=SAND⇒ SABC=2SAMC

⇒ SABCD=2(SACD+SANC)=2SAMNC=2(SAMN+SMNC)



A



Ta lại có: MN là đờng trung bình của tam giác SBD MN//BD

MNC và MIN có đờng cao bằng nhau SIMN=S MCN

SABCD=2(SAMN+SIMN)

Mặt khác: SIMN SAMN SABCD≤ 2(SAMN+SIMN)=4SAMN

≤ 4.1/2.AM.AN

⇒ SABCD≤ 2AM.AN≤



1

( AM + AN ) 2

2



2) Gọi O là trung điểm của AC. Ta có:

PN PO+ON =BC/2 +AD/2 =1/2(AD+BC)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AD//BC; tứ giác ABCD là hình

thang.

3. Sử dụng phép đối xứng giải toán bất đẳng thức trong

hình học:

Bài tập: Cho ∆ ABC bÊt kú, chøng minh r»ng:

ha ≤



p( p − a )



víi p lµ nưa chu vi cđa ∆ ABC, ha là đờng cao từ A

Giải

Qua A kẻ Ax//BC

Thực hiện phÐp ®èi xøng trơc Ax ta cã:

B’

SAxB→ B’

C→ C’

A

Ta cã: AB+AC =AC+AB> BC

c ha

Xét tam giác vuông CCB ta có:

B

C

CB= C ' C 2 + C ' B 2

b + c ≥ 4ha2 + a 2

⇔ ( b + c ) ≥ 4ha2 + a 2

1

1

2

⇔ ha2 ≤ ( b + c ) − a 2 = ( b + c − a )( b + c + a ) = p ( p − a )

4

4

2

⇔ ha ≤ p( p − a )

2



[



⇔ ha ≤



]



p ( p − a ) điều phải chứng minh



25



C

x

a



C.kết luận

Điều làm tôi hài lòng nhất khi áp dụng kinh nghiệm trên vào

giảng dạy là có nhiều học sinh thốt lên bài toán bất đẳng thức

cũng không quá khó nh em nghĩ. Tôi đã giúp học sinh của mình

có đủ tự tin khi gặp bài toán bất đẳng thức, xoá bỏ đợc nỗi sợ hãi

trong các em. Hơn thế nữa, với những học sinh khá giỏi, tôi đã gieo

vào các em niềm say mê giải toán bất đẳng thức. Mỗi ngày, các

em một hăng say, tự tìm tòi các bất đẳng thức mới, tự chứng

minh và áp dụng.

26



Tuy nhiên, đây chỉ là một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi đã

tích luỹ đợc qua thời gian công tác cha nhiều của mình. Chắc

chắn những điều trên cha thể gọi là tổng quát và cũng không

tránh khỏi trong nội dung còn nhiều khuyết điểm. Tôi rất mong đợc sự trao đổi, góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, sự chỉ bảo

của các thầy cô đi trớc để tôi giảng dạy đạt kết quả cao hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2012

Ngời viết



Nguyễn Minh Thắm



d. tài liệu tham khảo

1/ Phơng pháp giải toán hình học

2/ Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9- Nguyễn Ngọc Đạm,

Vũ Dơng Thuỵ.



27



3/ 255 bài toán hình học chọn lọc- Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ Dơng

Thuỵ.

4/ Toán bồi dỡng học sinh lớp 9- Vũ Hữu Bình, Tôn Thân

5/ 400 bài toán đại số chọn lọc- Vũ Dơng Thuỵ, Trơng Công Thành

6/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp- Ngyễn Văn Vĩnh,

Nguyễn Đức Đồng

7/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán Đại số- Ngyễn Văn Vĩnh,

Nguyễn Đức Đồng

8/ Tuyển chọn những bài toán hay dùng cho lớp chuyên chọn- Lê Hải

Châu

9/ Giúp học tốt hình häc 9- Ngun B¸ Kim, Ngun TiÕn Quang



28



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

A. Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×