Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
II. một số phương pháp chứng minh

II. một số phương pháp chứng minh

Tải bản đầy đủ - 0trang

§Ĩ chøng minh :

>0



A > B ta xÐt hiƯu A – B vµ chøng tá A – B



A < B ta xÐt hiƯu A – B vµ chøng tá A – B <0

1.2. VÝ dơ minh ho¹:

VÝ dơ 1:

Chøng minh: 2(x2 + y2) ≥ (x+y)2

Gi¶i:

XÐt hiƯu hai vÕ: 2(x2 + y2) - (x+y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 – y2 –

2xy=

x2 – 2xy + y2 = (x-y)2 ≥ 0.

VËy 2(x2 + y2) ≥ (x+y)2

VÝ dô 2:

Chøng minh r»ng a và b là các số thực không âm thì

a+b



2



ab dấu bằng xảy ra a=b



Giải:

a+b

2



Xét hiệu

a và b 0.



ab =



a + b − 2 ab

=

2



( a − b)2

≥ 0 đúng với

2



Dấu bằng chỉ xảy ra khi a=b.

1.3. Bài tập tự giải.

Chứng minh bất đẳng thức sau:

1)

x3 + 4x +1 > 3x2 víi x≥ 0.

2) x4 – x >



1

2



2. Phơng pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức

2.1. Phơng pháp:

- Xuất phát từ một bất đẳng thức đã biết rồi vận dụng các tính

chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng

minh.

- Thờng áp dụng những tính chất cơ bản của bất đẳng thức

( đã nêu ở phần trên)

2.2 Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1.

Cho a + b >1. Chøng minh r»ng: a4 + b4 >



1

8



Giải.

Ta có: a+ b >1(1). bình phơng hai vế ta đợc:

(a+b)2 >1 a2 + 2ab + b2 >1(2)

Mặt kh¸c: (a-b)2 ≥ 0 ⇔ a2 – 2ab – b2 ≥ 0 (3)

7



Céng tõng vÕ cđa (2) vµ (3) ta đợc: 2(a2+b2) >1 a2+b2 >

Bình phơng 2 vế của (4) ta đợc: a4 + 2a2b2 + b4 >

Mặt khác (a2-b2)2 ≥ 0 ⇒ a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (6)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc 2(a4 + b4) >



1

(4)

2



1

(5)

4



1

1

⇒ a4 + b4 >

4

8



VÝ dô 2:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

Chứng minh rằng:

Giải:



1

1

1

1

1

1

+

+



+ +

a+bc

b+ca

c+ab

a

b

c



1

1

+

với a+b-c>0, b+c-a>0

a+bc

b+ca

1

4

1

áp dụng bất đẳng thức: + y ≥ x + y

x

1

1

4

2

+



=

a+b−c

b+c−a

2b b

1

1

2

t¬ng tù ta cã:

+



b+c−a

c+a−b

c

1

1

2

+



a+c−b

a+b−c

a



XÐt



Céng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cả 2 vế cho 2 ta đợc:

1

1

1

1

1

1

+

+



+ +

a+bc

b+ca

c+ab

a

b

c



Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

VÝ dô 3: Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z 0 Chứng minh rằng

(x+y)(y+z)(z+x) 8xyz(1)

Giải

Vì hai vế của (1) đều không âm nên để chứng minh (1) ta sÏ

chøng minh :

Ta cã : (x+y)2(y+z)2(z+x)2 ≥ 64x2y2z2

Ta cã

(x+y)2 ≥ 4xy

(y+z)2 ≥ 4yz

(z+x)2 ≥ 4zx

Hai vÕ cña 3 bÊt đẳng thức trên đều không âm nên nhân

từng vế của bất đẳng thức trên với nhau ta đợc

(x+y)2(y+z)2(z+x)2 64x2y2z2

[(x+y)(y+z)(z+x)]2 ≥ [8x2y2z2]2

⇒ (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz . ( v× xyz≥ 0; (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 0)

DÊu b»ng chØ x¶y ra ⇔ x= y= z=0

2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh các sai

lầm sau:

8



a > b

a-c > b-d

c > d

a > b

2.

 ⇒ ac > bd

c > d



1.



(Nhân vế với vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế có

âm hay không)

3. Bình phơng hai vế của một bất đẳng thức mà cha biết hai vế

không âm

a > b a2 >b2

4. Khử mÉu mµ cha biÕt dÊu cđa chóng

a

c

>

⇒ ad > cb

b

d



5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thøc mµ cha

biÕt hai vÕ cïng dÊu :

a>b ⇒



1

1

>

a

b



2.4. Bµi tập tự giải:

Chứng minh bất đẳng thức sau

1/



1

a



+



1

b







4

a+ b



( a>0; b>0)



2/ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 abcd

3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng

3.1. Phơng pháp:

- Để chứng minh bất đẳng thức A B ta biến đổi tơng đơng

(dựa vào các tính chất của bất đẳng thøc)

A ≥ B ⇔ …⇔ C ≥ D

Vµ cuèi cïng đạt đợc bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C

D

Vì các phép biến đổi đều là tơng đơng nên A B

- Để dùng các phép biến đổi tơng đơng ta cần chú ý các hằng

đẳng thức sau:

( A + B)2 = A2 + 2AB +B2

(A+B+C)2 = A2 + B2 + C2 +2AB + 2BC + 2 CA.

3.2. Các ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1:

Chứng minh: x2 –x +1 >0 ∀ x

Gi¶i

Ta cã : x2 –x +1 >0

1

2



1

4



⇔ (x2 –2. .x + ) +

1

2



⇔(x- )2 +



3

>0

4



3

> 0 x (điều phải chứng minh)

4



Ví dụ 2:

CMR với 4 sè bÊt k× a, b, x, y ta cã: (a2+b2)(x2+y2) ≥ (ax+by)2 (1)

9



DÊu b»ng x¶y ra ⇔



b

a

=

y

x



Gi¶i

Ta cã (1) ⇔ a2x2+ a2y2+ b2x2+ b2y2- (ax+by)2 ≥ 0

⇔ a2x2+ a2y2+ b2x2+ b2y2- a2x2- 2axby - b2y2 ≥ 0

⇔ a2y2 – 2abxy+ b2x2 0

(ay-bx)2 0 (2)

Bất đẳng thức (2) đợc chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng.

Dấu = xảy ra ay-bx = 0



b

a

=

y

x



Ví dụ 3:

Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện a+b=1







1  1

a  b

 1  1

Ta cã 1 +  1 +  ≥ 9 (1)

 a  b

a +1 b +1

×



≥ 9

a

b



CMR : 1 +  1 +  ≥ 9



⇔ ab+ a+ b+ 1 ≥ 9ab (v× a > 0, b > 0 => a.b > 0)

⇔ a+b+ 1 ≥ 8ab

⇔ 2 ≥ 8ab (v× a+b =1)

⇔ 1 4ab

(a+b)2 4ab

(a-b)2 0

Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi trên tơng đơng.

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b

3.3. Chú ý:

Sẽ mắc sai lầm trong lời giải trên khi thay các dấu tơng đơng

b»ng c¸c dÊu kÐo theo “⇒”

ThËt vËy nÕu (1) “⇒” (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì cha thể

kết luận đợc bất đẳng thức (1) có đúng hay không.

- Khi sử dụng phép biến đổi tơng đơng, học sinh thờng bỏ các

biến đổi tơng đơng có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ. Vì

vậy cần lu ý các biến đổi tơng đơng có điều kiện.

Chẳng hạn: a2 > b2 ⇔ a >b víi a, b >0

m>n ⇔ am > an , m, nZ, a>1

Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tơng đơng.

3.4. Bài tập tự giải:

Bài 1: So sánh 2 số A= 3 3 -3 và B= 2 2 -1( không dùng máy tính)

Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dơng x, y thoả mãn xy<1

thì :

10



2

1

1

+



1 + xy

1+ x 1+ y



Bài 2: chứng minh r»ng x>1 ta cã:



x

x −1



≥ 2



Bµi 4: víi a, b> 0. Chứng minh bất đẳng thức:

Bài 5: Chứng minh r»ng: ∀ a, b, c ∈ R ta cã:

a) a2+b4 ≥ a3b+ab3

b) a2+ b2 + c2 ≥ ab+ bc +ca



a

b



-



a



b-



b

a



4. Phơng pháp phản chứng:

Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề: A B Phép toán mệnh

đề cho ta: A ⇒ B = A ∩ B =A B = A B

Nh vậy muốn phủ định một luận đề ta ghép tất cả các giả thiết

của luận ®Ị víi phđ ®Þnh kÕt ln cđa nã

Ta thêng dïng 5 hình thức chứng minh phản chứng nh sau:

a.1 Dùng mệnh đề phản đảo B A

a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết.

a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau.

a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái ngợc với điều đúng

a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kÕt ln cđa A B ⇒ B

VÝ dơ 1:

Cho a2 + b2 ≤ 2 CMR a+b ≤ 2

Gi¶i

Gi¶ sư a + b >2 ⇔ (a+b)2 > 4 ( v× hai vế dơng nên bình phơng

hai vế)

a2 + 2ab + b2 >4 (1)

Mặt khác ta có: 2ab a2 + b2 ⇒ a2 + b2 +2ab ≤ 2(a2+b2)

Mµ: 2(a2+b2) 4 (giả thiết) do đó a2 + b2 +2ab ≤ 4 (2)

Ta thÊy (2) m©u thn víi (1) vËy phải có: a +b 2

* Cách giải khác: ta có a2 + b2 2(1)

Mặt khác 2ab a2+ b2 nªn 2ab ≤ a2 + b2 ≤ 2 (2)

Céng (1) với (2) ta đợc a2 +2ab +b2 4

(a + b)2 ≤ 4 ⇒ -2≤ a+b ≤ 2

VÝ dơ 2:

Cho a, b, x,y liªn hƯ bëi a+b= 2xy

CMR: ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là ®óng: x 2 >a; y2

>b

Gi¶i

Gi¶ sư x2
⇔ x2 + y2 –2xy<0

⇔ (x-y)2 < 0. V« lý

VËy Ýt nhÊt mét trong hai bất đẳng thức: x2 >a; y2 >b là đúng

11



4.3 Chú ý

Với những bài toán bất đẳng thức có dạng nh trên ta nên sử dụng

phơng pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phơng pháp này

cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng

thức để biến đổi, lập luận.

4.4 Bài tập tự giải:

1. Cho a>b >0 và



1 + ab

<1

a+b



CMR: không thể có a<1; b<1

5. Phơng pháp quy nạp toán học:

5.1 Phơng pháp:

Nội dung của phơng pháp này là tiền đề của phơng pháp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n. Nếu:

+ mệnh đề đúng với n+1

+ Từ giả thiết ®óng víi n=k(k∈ N) suy ra ®ỵc mƯnh ®Ị còng ®óng

víi n=k+1. ThÕ th× mƯnh ®Ị còng ®óng víi mäi số nguyên dơng.

Nh vậy để chứng minh mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dơng

bằng phơng pháp qui nạp toán học ta phải tiến hành 3 bớc

+ B1: Chứng minh T(1) ®óng ( kiĨm tra mƯnh ®Ị ®óng víi

n=1)

+ B2: Giả sử mệnh đề T(k) đúng

ta chứng minh mệnh ®Ị T(k+1) còng ®óng

+ B3: KÕt ln mƯnh ®Ị ®óng với mọi số nguyên dơng

5.2 Một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

CMR với x>-1 thì (1+x)n 1+nx. Trong đó n là số nguyên dơng

bất kỳ.

Giải

+ Với n=1 ta có bất đẳng thức đúng 1+x 1+x

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k tức là (1+x) k (1+kx)

ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n=k+1. Tức là

phải chứng minh :

(1+x)k+1 1+(k+1)x

Thật vậy theo giả thiÕt x>-1 ⇒ x+1>0

Ta cã (1+x)k(1+x) ≥ (1+kx)(1+x)

⇔ (1+x)k+1≥ 1+(k+1)x+kx2

mµ kx2>0 nên 1+(k+1)x+kx2 1+(k+1)x

Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=0

VÝ dơ 2:

12



n



an + bn

a+b

Cho a, b lµ 2 sè dơng. Chứng minh rằng:



n 2

2

2



Giải



a2 + b2

a+b

+ Với n=2 ta dễ dàng chứng minh đợc





2

2



2



k



ak + bk

a+b

+ Giả sử bài toán đúng víi n=k ta cã:

≥ 

 (1)

2

 2 

k +1



a k +1 + b k +1

a+b

≥ 

 (2)

2

 2 

a+b

 ta đợc

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với

2 



Ta ph¶i chøng minh



a+b a+b

 a + b  ak + bk

≥ 









 2 

 2  2 

2



k



 a + b  ak + bk

a k +1 + b k +1



Để có (2) ta phải chứng minh



(3)

2 

2

2



⇔ ak+1+bk+1≥ abk+akb

ThËt vËy ta cã: ak+1+ bk+1-abk+akb = ak(a-b)-bk(a-b) = (a-b)(ak-bk)

=(a-b)2(ak-1+ak-2b+…+ abk-2+bk-1) (v× a, b > 0)

 a + b ak + bk

a+b



Bất đẳng thức (3) đúng, mà 

≥ 



 2 

2

 2 

a k +1 + b k +1

a+b







2

2



k +1



k +1



. Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.



5.4 Bài tập tự giải

1/ CMR: n≥ 3 ta cã: 2n > 2n+1

2/ CMR: 2n > n3 số tự nhiến 10

6. Phơng pháp đổi biến:

6.1. Phơng pháp.

B1. Đặt biến mới dựa theo biến cũ

B2. Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất

đẳng thức với biến mới

B3. Kết luận và trả về biÕn cò

6.2. VÝ dơ minh ho¹

VÝ dơ 1:

Chøng minh bÊt đẳng thức sau: abc (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

Với a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Giải

Đặt: b+c-a = x, a+c-b=y, a+b-c=z

13



y+z

x+z

x+ y

; b=

; c=

2

2

2

y+z x+z x+ y

Ta ph¶i chøng minh

.

.

≥ xyz

2

2

2



⇒ a=



⇔ (y+z)2(x+z)2(x+y)2 ≥ 64 x2y2z2 ( v× hai vế không âm)

Ta có:

(x+y)2 4xy

(y+z)2 4yz

(z+x)2 4zx

Vì hai vế của bất đẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế

các bất đẳng thức trên ta đợc: (y+z)2(x+z)2(x+y)2 64 x2y2z2

Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi vµ chØ khi x=y=z⇔ a=b=c

VÝ dơ 2:

Cho a+b+c=1; chứng minh rằng: a2+b2+ c2 1

Giải

Đặt a=



1

1

1

+x, b= +y, c= +z

3

3

3



Do a+b+c =1 nªn x+y+z = 0

1

3



1

1

3

3

1 2

1 2

1 2

1 2

2

2

2

=  + x + x  +  + y + y  +  + z + z  = + (x+y+z)+x2+y2+z2

3 3

9 3

 9 3

 9 3



1

1

= + x2+y2+z2

3

3

1

Xảy ra đẳng thức x=y=z a=b=c=

3



Ta cã: a2+b2+ c2 = ( +x)2+( +y)2( +z)2



6.3. Chó ý

Khi dùng phơng pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức

cần chú ý:

+ Đặt biến mới theo hệ điều kiƯn cđa biÕn cò, kÌm theo ®iỊu

kiƯn cđa biÕn míi.

+ Nắm đợc các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen

thuộc dễ áp dụng.

+ Đổi về biến cũ.

6.4. Bài tập tự giải:

1/ Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam gi¸c

a

b

c

+

+

≥ 3

b+c−a a+c−b a+b−c

2/ Cho x,y ≥ 0 tho¶ m·n: x2 x + y2



CMR:



y =x



CMR: x+y ≤ 1+ xy

3/ Cho a, b, c ≥ 0

CMR:



a4

b4

c4

a2 + b2 + c2

+

+



2

b2 + c2

a2 + c2

a2 + b2

14



x +y



y



7. Phơng pháp dùng các bất đẳng thức đã biết:

7.1. Phơng pháp:

Trong nhiều bài toán để chứng minh một bất đẳng thức đợc gọn,

ta có thể sử dụng các bất đẳng thức đã đợc chứng minh, nhất là

các bất đẳng thức kinh điển nh bất đẳng thức: Côsi, Bunhia

Côpski

7.2. Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1:

CMR:



a b

+ 2 với ab>0

b a



Giải:

a b

, đều là dơng nên áp dụng bất đẳng thức côsi ta ®ỵc:

b a

2

a b

a b

 + 

 + 

a

b

a b

b a ≥

. =1 ⇒  b a  ≥ 1 hay + ≥ 2

b a

b a

 2 

 2 

















a b

DÊu bằng xảy ra khi và chỉ khi = hay a=b

b a







(Tích không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau)

Ví dụ 2:

Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với a R+ ; 1< q Q thì

(1+a)q >1+qa

Giải

Do q Q và q>1 nên q=



m

, trong đó m>n, m,n N

n



áp dụng bất đẳng thức côsi cho m số:

n số hạng

mn sè h¹ng

           



(1 + qa ) + ... + (1 + qa ) + 1... + 1 ≥

n



m



(1 + qa ) n .1mn



(không xảy ra dấu bằng vì (1+qa)>1)

n

Hay n(1+qa) + (m-n).1 ≥ n (1 + qa ) m

⇔ n+ nqa + m – n > n (1 + qa



)



n

m



n

n

qa+1 > 1 + qa m

m

1

1

n

Nhng = vËy ta cã: .qa +1 > 1 + qa

q

q

m







(



)



(



⇔ a +1 > (1 + qa ) q

⇔ ( a + 1) q > 1+qa

1



15



)



n

m



7.3. Chú ý: Khi sử dụng phơng pháp này cần chú ý: Sử dụng các

bất đẳng thức đã đợc chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có

bất đẳng thức cần áp dụng, nếu không sẽ dẫn đến sai lầm thiếu

sót.

Ví dô:

a b

a2

b2

Cho a, b ≠ 0. CMR: 2 + 2 -3  +  +4 ≥ 0 (1)

b a

b

a



Cã mét häc sinh gi¶i nh sau:



 a 2

b2   a b  9 1



 − 3 +  +  - ≥ 0

+

2

+

Ta cã (1) ⇔  2

2 

b

a

  b a  4 4



a b

 a b 

⇔  + − 2  + − 1 ≥ 0 (2)

b a

 b a 

a b

V×  +  ≥ 2 (2) luôn đúng a,b 0

b a



Vậy (1) luôn đúng a,b 0 Điều phải chứng minh

a b

Bài toán đã sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức + 2 với điều

b



kiện a,b không đúng.

Lời giải đúng:



a



a b

a b

a b

Đặt x= + x = + = +

2

b



a



b



a



b



a



a

b



x 2 hoặc x -2

b

a

a2

b2

Khi đó 2 + 2 =x2-2

b

a







Bất đẳng thức (1) x2-3x+2 0

t 2



Xét bất phơng trình: t2-3t+2 ≥ 0 ⇔ (t-2)(t-1) ≥ 0 ⇔

t ≤1

Tõ x ≥ 2 hc x ≤ -2 ⇒ x n»m trong miỊn nghiệm của bất phơng

trình đã xét .

Vậy x phải thoả mãn t2-3t+2 0 tức là x2-3x+2 0 đúng

Mà (1) ⇔ x2-3x+2≥ 0 ⇒ (1) ®óng.

VËy ta cã:



a b

a2

b2

+

-3  + +4 0

2

2

b a

b

a



7.4. Bài tập tự giải:

1/ CMR nếu các số dơng a, b, c có tổng a+b+c =1 th×

1



1



2



2/ Cho x < 1 , y < 1 CMR: 1 − x 2 + 1 − y 2 ≥ 1 − xy

3/ Cho x,y ∈ ; x,y ≥ 0 vµ x2+y2=1

16



1 1 1

+ + ≥9

a b c



CMR:



1

2



≤ x2 + y2 ≤ 1







1 

a 



1 

b 



1

c



4/ CMR: 1 + 1 + 1 +  ≥ 64 víi a,b,c >0 vµ a+b+c=1

5/ cho a≥ 1, b≥ 1; CMR: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab

8. Phơng pháp dùng tam thức bậc 2:

8.1. Phơng pháp

Ta có thể dùng định lý về dấu của tam thức bËc 2, dÊu cđa

nghiƯm cđa tam thøc bËc 2 … ®Ĩ chøng minh bÊt ®¼ng thøc.

Cho tam thøc bËc 2: F(x) = ax2+bx+c

∆=b2-4ac

+ NÕu ∆ <0 th× a.F(x) >0 víi ∀x∈R

+ NÕu ∆ =0 th× a. F(x) >0 víi ∀ x ≠



−b

a



⇒ F(x) cïng dÊu víi a

+ NÕu ∆ >0 thì x1, x2; x2>x1

x nằm ngoài khoảng hai nghiƯm: xx2 ⇔ a.F(x)<0

x n»m trong kho¶ng hai nghiƯm (x1
8.2. VÝ dơ minh ho¹

VÝ dơ 1:

Cho -1 a 2; -1 b 2 và a+b+c=0

CMR: a2+b2+c2 6

Giải:

Theo tÝnh chÊt vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai :

-1≤ a≤ 2 ⇔ (a-2)(a-1) ≤ 0 (1)

T¬ng tù ta cã: (b-2)(b-1) ≤ 0 (1)

(c-2)(c-1) ≤ 0

(1)

Céng tõng vÕ cña (1)(2)(3) ta đợc: a2-a-2+b+b2-b-2+c2-c-2 0

a2+b2+c2 (a+b+c) 6

vì a+b+c=0 a2+b2+c2 ≤ 6

VÝ dơ 2:

Cho c¸c sè a, b, c, d tho¶ m·n a+d=c+b

CMR: nÕu lÊy sè m sao cho : 2m > ac − bd th× víi mäi x∈R ta luôn

có :

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 0 (1)

Giải:

Dựa vào giả thiết a+d=c+b nên ta cã:

(1) ⇔ [ x 2 − ( a + d ) x + ad ][ x 2 − ( b + c ) x + bc ] + m 2 0

Vì a+c=b+d nên ta đặt y= x2-(a+d)x= x2+(b+c)x

Bất đẳng thức tơng đơng với: (y+ad)(y+bc)+m2 0

y2+(ad+bc)y+abcd+m2 0

17



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

II. một số phương pháp chứng minh

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×