Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc , kí hiệu cos

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc , kí hiệu cos

Tải bản đầy đủ - 0trang

94



Nh vậy các số sin, cos, tan, cot gọi là giá trị lợng giác

của góc .

Các tỉ số lợng giác của góc bất kì đợc định nghĩa trên

nữa đờng tròn đơn vị trong hệ trục Oxy, ở đây có 0 0 ≤ α

≤ 1800 vµ 0 ≤ sinα ≤ 1,-1 cos 1.

Ta thấy sự phát triển trong Lịch sử Toán đã cho thấy từ

việc định nghĩa trong tam giác dẫn tới việc định nghĩa

trong nữa đờng tròn đơn vị, phạm vi góc cũng từ (0 0 ; 900

) cho đến từ [00 ; 1800] và giá trị lợng giác của sin và cosin

cũng có sự mở rộng hơn. Qua đó để áp dụng tỉ số lợng

giác vào việc vận dụng nó cho vấn đề định nghĩa tích

vô hớng:

Tích vô hớng của hai véc tơ a và b là một số đợc kí

hiệu



a.b , đợc xác định nh sau a.b = a . b cos(a; b) ”.



Nh vËy nÕu không có sự mở rộng của tỉ số lợng giác thì

việc dùng định nghĩa tích vô hớng của hai véc tơ hết sức

khó khăn.

Ví dụ 2: Quá trình hình thành và phát triển để đi đến

sự hoàn chỉnh các hệ thức lợng trong tam giác.

1. Các hệ thức lợng trong tam giác vuông



95



ở cấp Trung học cơ sở, học sinh đã làm quen với các hệ thức

lợng trong tam giác vuông. Đó là các hệ thức quen thuộc sau

đây:



A



b 2 = ab' ; c 2 = ac' ;



b

c



a2 = b2 + c2 ;



h



bc = ah = 2 S ∆ABC ;

h 2 = b' c' ;

1

1

1

= 2 + 2;

2

h

b

c



B



c’

b’



C

a



H



b = a sin B = a cos C = c tan B = c cot C ;

c = a sin C = a cos B = b tan C = b cot B.

2. Định lí côsin

ở lớp 10- Trung học phổ thông, học sinh đã làm quen với

các hệ thức lợng trong tam giác thờng, trong đó có cả định

lí cosin, định lí sin và các công thức diện tích tam giác.

Nội dung của định lí cosin là tính độ dài một cạnh của

tam giác theo độ dài hai cạnh còn lại và độ lớn của góc đối

diện với cạnh đang xét. Dựa vào các phép toán véc tơ,

chúng ta cần tập cho học sinh biết đợc cách xác lập công

thức đề phòng trờng hợp học sinh không nhớ chính xác công

B



thức thì vẫn có thể tìm đợc một cách dễ dàng. Chẳng hạn

M



nh cần tính cạnh BC theo AB, AC và gãc A, ta lµm nh sau:

BC = AC − AB ⇒ BC 2 = ( AC − AB) 2

= AC 2 + AB 2 − 2 AB . AC cos A



A

C



96



Vậy a2 = b2 + c2-2bccosA

(a, b, c đợc đo cùng một độ dài).

Từ định lí cosin ta cũng có thể suy ra đợc hệ quả

cos A =



b2 + c2 a 2

.

2bc



áp dụng định lí cosin, ta có thể tính đựơc độ dài đờng trung tuyến ma.

Ta có



a

a

2(b 2 + c 2 ) − a 2

.

ma = c 2 + ( ) 2 − 2c. . cos B =

2

2

4



3. Định lí sin

Để có thể nhớ đợc định lí sin, ta hãy xét tam giác ABC

vuông ở A và nội tiếp trong đờng tròn bán kính R. Đặt

BC=a, CA= b, AB= c, ta cã



sin B =



CA b b

b

= =



= 2 R.

BC a 2 R

sin B

A



AB

c

c

=



= 2 R.

T¬ng tù : sin C =

BC 2 R

sin C



∠A =900 nªn sinA = 1 và

do đó sin A =



a

=1

2R



a

a



= 2 R.

2R

sin A



B



.



O



C



97



Nh vậy đối với tam giác ABC vuông tại A ta luôn có hƯ thøc:

a

b

c

=

=

= 2R .

sin A sin B sin C



§èi víi tam giác ABC bất kì, ta cũng có hệ thức trên và hệ

thức này đợc gọi là định lí sin trong tam giác (trong chơng

trình sách giáo khoa hiện hành đã chứng minh định lí này

cho các trờng hợp tam giác ABC có góc A nhọn và A tù).

Nh vậy từ công thức hệ thức lợng trong tam giác vuông ®·

häc ë líp 9 ®· cã sù ph¸t triĨn ®Õn hệ thức lợng trong tam

giác thờng. Qua đó học sinh thấy đợc kiến thức lớp dới bao giờ

cũng là sự giới thiệu, để lớp trên giải thích và nghiên cứu sâu

sắc hơn. Đó chính là sự phát triển không ngừng của toán học

trong Lịch sử Toán học.

Ví dụ 3: Sự phát triển có tính kế thừa.

Chẳng hạn ở lớp 7, học sinh đã đợc học về trục số thực và

nắm đợc trên trục số thì mỗi điểm tơng ứng với một số

thực. Và học sinh cũng đã đợc học về mặt phẳng toạ độ và

biết đợc mỗi điểm trên mặt phẳng toạ độ có tơng ứng một

cặp số thực duy nhất. Từ đó dẫn đến sự phát triển có tính

kế thừa của Toán học đã tạo nên sự ra đời của phơng pháp

tọa độ trong mặt phẳng mà cao hơn nữa là trong không

gian. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã tạo nên một cuộc

cách mạng trong Toán học nói chung và Hình học nói riêng.



98



Với công cụ véc tơ, học sinh lớp 10 đợc làm quen với một phơng pháp nghiên cứu mới đó là đã đi nghiên cứu cụ thể vào

phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và đã tạo điều kiện

cho học sinh lớp 10 tiếp cận với các khái niệm của Toán học nh

điểm, đờng, thẳng, đờng tròn, elíp,.v.v..một cách khách

quan, làm quen với một phơng pháp nghiên cứu Hình học mới

mẽ, hiện đại mang tính khái quát cao.

Sự phát triển và có tính kÕ thõa Êy ®· ®Èy nhanh sù vËn

®éng cđa kiÕn thức Toán học trong khoa học bộ môn Toán

cũng nh cc sèng cđa con ngêi.

2.3.4. BiƯn ph¸p 4: Xem xÐt các đối tợng toán học,

các quan hệ giữa chúng trong các mối liên hệ giữa cái

chung và cái riêng.

Mỗi cái riêng có thể đợc chứa đựng trong nhiều cái chung,

cái bao trùm nó theo một số quan hệ nào đó khác nhau và

ngợc lại nhiều cái riêng có thể chứa ®ùng trong cïng mét c¸i

chung theo mét mèi quan hƯ nào đó giữa các đối tợng.

Chẳng hạn, trong dạy học khái niệm toán học thì khái

niệm Toán học đợc hình thành theo hai con đờng quy nạp và

suy diễn. Con đờng quy nạp là xuất phát từ một số trờng hợp

cụ thể (cái riêng) để dẫn dắt học sinh tìm ra các dấu hiệu

đặc trng của một khái niệm thể hiện trong một trờng hợp cụ

thể. Từ đó đi đến khái niệm (cái chung); Con đờng suy

diễn là con đờng thứ hai để hình thành khái niệm cho học



99



sinh, trong đó việc định nghĩa mới khái niệm xuất phát từ

định nghĩa khái niệm mà học sinh đã biết, đó là từ cái

chung đi đến cái riêng. Trong quá trình dạy học khái niệm

Toán học cần rèn luyện cho học sinh đi từ cái riêng đến cái

chung, có nghĩa là khả năng khái quát hoá trong Toán học.

Trong dạy học định lí: cũng nh trong dạy học khái niệm

Toán học cần phải làm cho học sinh hiểu đợc hệ thống kiến

thức. Sau mỗi phần mỗi chơng cần tiến hành hệ thống hoá

các định lí, đặc biệt cần làm rõ mối quan hƯ biƯn chøng

cđa nã trong To¸n häc, mèi quan hƯ đó có thể là giữa cái

chung và cái riêng: một định lí có thể là trờng hợp mở rộng

hoặc là một trờng hợp riêng của một định lí nào đó. Thông

qua đó ngời giáo viên có thể rèn luyện cho học sinh khai thác

và sáng tạo Toán học. Cách nhìn một cái riêng theo nhiều góc

độ khác nhau là cơ hội để tập dợt năng lực giải Toán cũng nh

quá trình sáng tạo bớc đầu Toán học của học sinh.

Trong quá trình dạy học Toán cũng tuỳ vào nội dung định

lí cũng nh đối tợng học sinh để chúng ta chọn con đờng dạy

học định lí Toán học phù hợp, thông thờng đó là con đờng

suy diễn và con đờng suy đoán. Trong chơng trình Toán

phổ thông nhiều định lí là khái quát (cái chung) của nhiều

định lí mà học sinh đã đợc học (cái riêng). Vì vậy trong quá

trình dạy học Toán thì dạy học định lí khâu suy đoán có

nhiều cơ hội để học sinh phát triển năng lùc t duy to¸n häc

nh kh¸i qu¸t ho¸, so s¸nh, tơng tự hoá. Do vậy, trong quá



100



trình dạy học Toán giáo viên cần phải biết hớng cho học sinh

biết vận dụng các loại hình t duy trong mối quan hệ biện

chứng giữa cái chung và cái riêng, từ đó tạo cho học sinh phát

hiện và giải quyết vấn đề.

Ví dụ1 : khi dạy học định lí hàm số sin trong trong tam

gi¸c cho häc sinh líp 10: Cho tam gi¸c ABC vuông tại A, BC=a,

CA=b, AB=c.

Theo tính chất tam giác vuông trong tam giác đã học ở lớp 9:

sin B =



a=



c

b

, sin C = ,

a

a



b

c

a

=

=

.

sin B sin C sin A



sin A =



a

.

a



Từ



đó



ta



rút



ra



đợc



Trong trờng hợp tổng quát thì có kết



quả gì? Qua ®ã cã thĨ tiÕp tơc cho häc sinh nhËn xét và

tìm ra cái riêng a. Cái mà trong quá trình dạy học giáo viên

cần đạt đợc ở sự nhận thức cho học sinh đó là ngoài a là độ

dài của cạnh huyền thì trong trờng hợp này a cũng còn là độ

dài đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC, do

vậy mà



b

c

a

=

=

= 2 R (R là bán kính đờng tròn ngoại

sin B sin C sin A



tiếp tam giác). Qua sự nhận thức trên từ cái riêng khi tam giác

đó vuông, ta cũng có quyền hi vọng rằng sù nhËn thøc cđa

häc sinh còng sÏ ®i ®Õn mét quyết định tổng quát rằng

điều đó cũng đúng trong trờng hợp là tam giác tổng quát,

để từ đó đi đến sự hình thành định lí qua việc phân

tích cái riêng để đi đến cái chung.



101



Trong chơng trình Toán phổ thông rất nhiều định lí

đều có dạng nh vậy. Nếu giáo viên biết vận dụng đợc mối

liên hệ giữa cái chung và cái riêng thì sẽ tạo đợc nhiều cơ

hội từ những kiến thức đã có để khai thác ứng dụng, bổ

sung kiến thức mới trong quá trình nhận thức.

Còn trong dạy học Bài tập toán: trong quá trình giải bài

toán thì một phơng pháp tổng quát là tìm cách đa

bài toán cần phải giải về bài toán đơn giản hơn đó

là cách quy lạ về quen. Điều đó có nghĩa là nếu phát

hiện ra đợc các quan hệ cái chung - cái riêng của Bài

toán thì sẽ thuận lợi rất nhiều trong quá trình giải

Toán. Do vậy trong quá trình dạy học Toán cái quan

trọng của ngời giáo viên cần phải định hớng cho học

sinh biết khai thác chuyển từ những bài toán xa lạ,

về những Bài toán quen thuộc. Thế nhng khi có kết

quả bài toán thì dừng ở đó cha đủ, vì Toán học

luôn luôn là sự mở rộng của cái riêng đã biết đến

hay một cái chung trớc đó để nhằm khai thác tìm

tòi cũng cố sâu thêm kiến thức của chơng trình

Toán phổ thông.

Ví dụ 2: từ một bài toán sau đây trong sách giáo khoa hình

học 7



102



Cho tam giác OBC, trên OB, OC lấy lần lợt các điểm B1, C1.



Chứng minh rằng



S OA1B1

S OAB



=



OB1 .OC1

.

OB.OC



Có thể phát triển bài toán này theo nhiều hớng khác nhau

đến những cái chung, cái tổng quát khác nhau, chẳng hạn

theo hớng 1 sau:

Hớng 1: Xem cạnh BC là suy biến của một tam giác ABC có

đỉnh A nằm trên cạnh BC, khi đó B 1C1 cũng là một tam giác

suy biến với đỉnh A nằm trên cạnh B 1C1trong không gian 3

chiều. Từ đó ta có thể mở rộng bài toán cho không gian ba

chiều với bài toán sau:

Cho hình chóp tứ giác OABC, trên OA, OB, OC lấy lần lợt các

điểm A1, B1, C1. Chứng minh rằng



dtOA1 B1C1 OA1 .OB1 .OC1

=

.

dtOABC

OA.OB.OC



Ví dụ 3: xem xét các đối tợng, các quan hệ, các tính chất từ

nhiều trờng hợp riêng của một cái chung; Từ đó sử dụng các

thao tác t duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá,

tổng quát hoá để đề xuất bài toán mới, bài toán tổng quát.

Chẳng hạn xét ví dụ sau: Cho O là trung điểm của

đoạn thẳng AB.

Chứng minh



OA + OB = O (1).



Xem ví dụ trên là bài toán gốc để nhìn nhận đối tợng,

các tính chất từ nhiều trờng hợp riêng của một cái chung, để



103



từ đó dự đoán tìm tòi khai thác các điều kiện đã cho trong

cái riêng và trong cái chung tạo ra bài toán mới nh sau.

Sau khi hớng dẫn xong ví dụ trên giáo viên có thể hớng

dẫn và khai thác từ điểm O (cái riêng) bằng hệ thống câu hỏi

cho học sinh xem có bao nhiêu điểm O thoả mãn (1)

Từ (1) ta có - AO + AB − AO = O ⇒ 2 AO = AB AO =



1

AB

2



Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm O

chính là trung điểm của AB. Giáo viên có thể gợi ý:



Với 3



điểm A, B, C bất kỳ có tìm đợc điểm O sao cho v =

OA + OB + OC = O hay không ?

Ta gọi N là trung điểm của BC, ta cã: OB + OC = 2ON do ®ã



v = OA + 2ON

Dùng ®iĨm A' sao cho OA' = 2ON , ta cã v = OA + OA' = O

O là trung điểm của AA'. Vậy điểm O tồn tại và duy nhất.



Từ đó ta có

Bài toán 1:



Cho 3 điểm A, B, C bất kỳ luôn tồn tại duy nhÊt



®iĨm O

sao cho OA + OB + OC = O

NhËn xÐt : Víi ®iĨm M bÊt kú ta cã OA + OB + OC = O

⇔ 3OM + MA + MB + MC = O ⇒ MO =



1

(MA + MB + MC)

3



Điểm O gọi là trọng tâm 3 điểm A, B, C.

Từ đó HS có thể phát biểu giả thuyết.



104



Bài toán 2: Cho n điểm phân biệt A1, A2,...,An ( n > 2) luôn

tồn tại duy nhất điểm G tho¶ m·n GA1 + GA 2 + ...+ GA n = O .

NhËn xÐt: Víi ®iĨm M bÊt kú ta cã:

GA1 + GA 2 + ...+ GA n = O ⇔ nGM + MA 1 + MA 2 + ...+ MA n = O

1

n



⇒MG = (MA 1 + MA 2 + ...+ MA n ) .

G gọi là trọng tâm hệ n điểm A1, A2,...,An.

Hớng 2: Sau khi có các bài toán trên GV có thể hớng

dẫn HS nhìn nhận ví dụ trên theo hớng khác nh sau:

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm trên đoạn thẳng

AB, N nằm trên đờng thẳng AB nhng không nằm trên đoạn

AB. Khi ®ã ta cã MA .MB vµ MB.MA cïng ®é dµi và ngợc hớng.

Nên MA .MB + MBMA = O . Hai véc tơ NA.NB, NB.NA cùng độ dài và

cùng hớng nên ta có: NA NB = NBNA .

Từ đó ta có bài toán sau:

Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB, M nằm trên đoạn thẳng AB,

N nằm trên đờng thẳng chứa AB nhng không nằm trên đoạn

thẳng AB. Chứng minh r»ng:

a. MA .MB + MB.MA = O

b. NA.NB − NB.NA = O

NhËn xÐt:

Tõ MA .MB + MB.MA = O ⇔ MA (OB − OM) + MB(OA − OM) = O

⇔ MA .OB + MB.OA = (MA + MB)OM



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc , kí hiệu cos

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×