Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
IV. Không gian bốn chiều Minkowski

IV. Không gian bốn chiều Minkowski

Tải bản đầy đủ - 0trang

Không gian bốn chiều với tenxơ metric g ^ là môt không gian giả

Euclide, gọi là không gian Minkowski. Đặt

X* = g ^ X v,



(32)



nghĩa là

x° = —ct,



X2 = y,



X 1 = X,



X3



= z,



(33)



ta còn viết



(x,x) =



(34)



Cơng thức biến đổi ngược lại (32) biểu diễn các thành phần XMqua các

thành phần xạ là





Rõ ràng rằng

thức



ọ I/



có giá trị giống như



. G iữa hai tenxơ này có hệ



9 ^ g vX =



(36)



Đại lưạng bốn thành phần

gọi là vectơ tọa độ hiệp biến, còn đại

lượng bốn thành phần XMgọi là vectơ tọa độ phản hiệp biến. Biến đổi

Lorentz được viết dưới dạng tổng quát như sau

Xụ,



*



Xp







CLpXy.



(



37)



Mọi đại lưcmg bốn thành phần Ap biến đoi giống như bốn thành phần

của vecta tọa độ hiệp biến, nghĩa là biến đổi như sau



A l l - * A ’lt = a"A„



(38)



trongphép biến đổiLorentz, đều được gọi là một vectơhiệp biến trong

không gian Minkowski.Vectơ phản hiêp biếntirơng ứng là đại lượng

bốn thành phần A^ với

= g^Av.



(39)



Dễ thử lại rằng các công thức biến đổi Lorentz của các vectơ phản hiệp

biến x ụ, A M là

= g ^ a f a v Z 1'

(40)

90



va

A



= g ^ a px gpvA



(41)



\



Cho hai vectơ hiệp biến A p , B Mtrong không gian Minkowski và

ký hiệu hai vectơ phản hiệp biến tương ứng là , f ì Ta định nghĩa

tích vơ hướng của hai vectơ bốn chiều đó như sau

(A, D ) = g ^ A ^ B u =



= g ^ A 'íB \



(42)



A u.



(43)



Đặc biệt là



{A, A) = g ^ A ^ A u =



T rong p h é p biến đổi Lorentz (37) các t h à n h p h ầ n A ụ biến đổi th e o cơng

t h ứ c (38), còn đại lư ợ n g [A, A) th ì b ấ t biến



ự , A ' ) = (A ,A ).



(44)



Cho hai vectơ bốn chiều với các thành phần Aự và Bụ ,, cả hai đều

biến đổi theo công thức (38) trong phép biến đổi Lorentz. Vì rằng

{A, B) = ~[[A + B ,A + B) - {A - B, A - J3)j

cho nên ta suy ra rằng tích vơ hướng ( A , 5 ) bất biến trong phép biến



đổi Lorentz

=



(45)



nghĩa là

g^A^Bl =



g ^ a y uA x B p = gxpA xB p.



Vì rằng các thành phần



A\



và Bp là tùy ý cho nên ta suy ra cơng thức

= gx".



(46)



ĐĨ là điều kiện mà các hệ số

của biến đổi Lorentz (37) phải thỏa

mãn. Dùng tính chất này của các hệ số ta có thể đào ngược lại các



cơng thức (38) và (41) và biểu diễn các thành phần Aịị qua các thành

phần A'n hoặc các thành phần A M qua các thành phần A lfl. T a có

a^Ax = A '^

= a ịg ^A ^



g pẢ \ = a í g ^ A ^ .

T ừ đó suy ra

= gxPaịgvtlA,ll



(47)



hoặc



Ap = ap

uA'ự.



(48)



Biết các công thức biến đổi Lorentz (37) và (40) của các thành

phần của vectơ tọa độ, ta hãy thiết lập các cơng thức biến đổi Lorentz





9







của các tốn tủ' đao hàm riêng -T— và ——- theo các thành phần này.

ƠXM



Ta có



ơ x ^



_ dxv

dx^

dx'p

d



d



d

dxu ’



_ dx^_



dx'p



dx'^



d



dxw



Theo các cơng thức có dạng (47) và (48) đối với x u và xu,



Xu — gupaxg

V



ta có



Do đó



— Qf



/u



5



dxu

—9vpa \ 9

dx’ụ

dxv

d x*



So sánh các hệ thúx (49) hoặc (50) với các hệ thửc (41) hoặc (38) là

cô ng t h ứ c biến đổi c ủ a các t h à n h p h ầ n c ú a moi v e c t ơ h i ê p biến hoặc

ò

p h ả n h i ê p biến , t a k ết lu ận r ằ n g các t o á n t ử —— là c ác t h à n h p h ầ n

ỜXp

Q

c ủ a m ộ t v e c t ơ p h ả n hi ệp bi ến ký h i ệ u là <9^, c ò n c ác t o á n t ử



các t h à n h p h ầ n c ủ a



m ột vectơ



hiệp b i ế n ký hiệu là



a' =



Với các thành phần của vcctơ



a° = l ế t ’



ề -



(51)



toa độ hiệp biến như ta đã lựa chon



d' = L



a2= ẳ '



a3=ẳ -



<52>



T ừ c ác vi p h â n dx, d y , dz, dt c ủ a các t ọ a độ k h ô n g - t h ờ i g i a n c h ú n g

t a đ ã t h i ế t lập đại l ư ợ n g vi p h â n b ấ t b iến



ds — \ J c 2d ứ — d x 2 — d y 2 — d z 2 .



(53)



dĩ = -ds.

c



(54)



Đặt



T r o n g t r ư ờ n g h ợ p m ộ t h ạ t c h u y ể n đ ộ n g với v ậ n tốc có g i á trị V t a có



dr = y 1 -



V2



dt.



(55)



T a gọi (ỈT là vi p h â n c ủ a t h ờ i g ian r iê n g c ủ a h ạ t . V ì Xfj, là m ộ t v e c t ơ

h iệp b i ế n , d ĩ là m ộ t đại l ư ợ n g b ấ t b i ế n cho n ê n các đại l ư ợ n g



u



dx

(ÍT



(56)



c ũ n g t ạ o U i à n h m ộ t v e c t ơ hiệp biến, gọi là v e c t ơ v ậ n tốc bố n chiều,

Các th àn h phần của







93



Nhân Up với khối lượng nghỉ m0 của hạt, ta được một vectơ hiệp biến

gọi là vectơ xung lượng bốn chiều của hạt

= m0iíM.



(58)



Các thành phần của vectơ hiệp biến bốn chiều này là



m 0c



E



p 0 = — 7=== , = m c = — ,

V2



c



(59)



m0v



p = - p===



= m v.



‘ - 5



s E

c



s



Vậy xung lượng p cùng với tỷ sổ — họp thành một vectơ hiệp biến

bốn chiều. Các thành phần của vectơ phản hiệp biến tương ứng là p°

và p mà



p° = —mc — —— •

c



(60)



Hệ thức giữa năng lượng và xung lượng được viết dưới dang chứa

vectơ xung lượng bốn chiều như sau

p2 = PmPm = g^PnPv = —rrìịc2.



(61)



Mờ rơng các cơng thức biến đổi Lorentz (38) và (41) của các vectơ

trong không gian Minkowski, bây giờ chúng ta trình bày các cơng thức

biến đổi của các tenxơ. Những đại lượng chứa hai chỉ số CịịV là những

thành phần của một tenxơ hiệp biến hạng hai nếu trong phép biến đổi

Lorentz các đại lượng này biến đổi giống như các tích

của các

thành phần của hai vectơ hiệp biến Ap và B^:

c v -



= a y uCXp.



(62)



Tương tự như vậy, những đại lượng chứa hai chỉ số c ^ u là những

thành phần của một tenxơ phản hiệp biến hạng hai nếu tr o n g phép



94



biến dổi Lorentz các đai lương này biến đổi giống như các tích A ^ B 1'

của các thành phần của hai vectơ phản hiệp biến Ap và



C*"



c"“ = g ^ a íg ^ a ịg t.c ^ ,



(63)



Còn những đại lượng chứa hai chỉ số

là những thành phần cùa một

tenxơ hỗn hợp hiệp biến hạng một và phản hiệp biến hạng một nếu

các đại lượng này biến đổi giống như tích Af1B u của hai vectơ Aft, và

B

(64)



Hãy thử lại rằng vết C£ là một đại lượng bất biến. Theo cơng thức

(46) ta có

c ? = S ^a ịa ís^C ị =



rA

= í ị c ị = c A•



Dễ dàng mồ rộng các cơng thức biến đổi nói trên để định nghĩa các

tenxơ hạng cao trong không gian Minkowski.

Theo Tiên đề 2 của lý thuyết tương đối tất cả các định của vật

lý học đều không phụ thuộc vào sư lựa chon hệ quy chiếu qn tính.

Ngơn ngử tenxơ trong khơng gian Minkovski bốn chiều cho ta cơng cụ

tốn học để diễn đạt Tiên đề đó: Mỗi định luật của Vật lý học đều có

dạng một phương trình mà tất cả các số hạng đều có cùng một tính

chất tenxcr trong khơng gian Minkovski và do đó tất cà các phương

trình diễn tả các định luật của Vật lý học đều phải bất biến đối với

phép biến đổi Lorentz.



95



D Á P



s ó



C Á C



B À I T Ậ P



C hương I



11.1. L = - (m i + m ^ í ị ò l + \ m i i \ 0 \ + m 2 Ỉ.\Í 2 cos(0i - Ớ2)Ớ1 Ớ2





£*



+ ( m i 4- m 2 )<7 ^i COS0\ + ni2gỉ.2COS 02-



11.2. L = - (m + f i) i2 4- |m (£ 2ớ2 + 2£cos 6x6) + m g lc OS 9.

2



11.3. a) L = - m i 2ề2 - m R i u 2 sin(wí - 6) + m g t COS6.

b) í, = ị m í 2ỏ2 + m a t ư 2 COS u t sin ớ + m g l COS 0.

c) L — - m í 2ỏ2 + m a l u 2 COS ư t COS 6 + m a t COS ổ.

'

2

11.4.



L = - m i £ 2 (ớ 2 + r ĩ 2 s i n 2 ớ) + 2 m 2 Í 2 s i n 2 2 4- ( m i + ĩ m ì ị g i c o s 8.

2



11.5. L = ^ m (i2 + P2 + p2 +
p z = m z = Fz ,



Pp = rap = mp(p2 + Fp,

Pv> = M z = 0, M z = m p 2ip.

II.6 I/ = - m ( f 2 + r 202 + r 2 sin2 ổ<£>2) - ỉi( r ) .

2



Pr — m ĩ = m r ( ớ 2 + s i n 2 0<£>2) + F r ,



— Mz = 0, M z — m r2 sin2 6
III.l.



Toa

• đơ• tru:



M x = m sin
My



= mcos<£>(;zp —pi) —mzp sin <£><£>,

= m p 2ipì



M 2 = rrí1[pz - zp)2 + m 2p2(p2 + z2)
96



Toa

đôĩ cầu:

*



Mx



—m r2 s i n




=



My — m r 2 cos tpd — m r2 sin 0 COS 0 sin Ipip,

Mz = m r2 sin2 0
M 2 = m 2r4ỏ2 + m 2r4 sin2 9
I I I . 2. a) pz , p y, M z .



b)



M*.



c) p z .



d) M z .

e) Py.



g)



M z.



h) M z .

i) ^ P z + M z .

Z7T

v .l.



{ p i , M j } - ZijkPk-



V.2.



{ M ,, M j } = S i j k M k .

C h ư ơ n g II



E > 0, A/ — 2ma > 0,



1.2.



1

/

2rnE



r

r ~ V A f * —2ma COS V V



2m a \

A/2 j



E > 0, M 2 — 2mft < 0,

1



r



_



/







V 2m a — M 2

E1 <



1

r



2



0



/

V



, M



2



l2ma



/

H



w



—2 m a <



2m\E\



2mữ —M 2



/



0



\

-



1)



,



l2ma



\



E > 0,

,



fm



1



I



t = ± E \ J 2 \ Er



2



^



+ “ + co" r t -



E < 0,

=



-L

fc Jw

E \ 2 \



- —

2 m



11.3. 2 . Ơ = 7 T ^

11 .3 .3 .



d ii



I I .3 .4 .



Ơ = 7 rJ? 2



III.l.



Lệch về hướng đông, ồr v ĩ tuyến A độ lệch là

xl/2 /i\3 /2

, = -jn c o sA Í(^ j

,



\



/ 1



III.2.



y = — ỵ - \ ^ V Ũ2n x - VQxn z J .







IV .1 .1 . « = ý * ẫ + 0 )



I V . 1 .2 .



^



I V . 1 .3 .



w =



u/



=



‘8 í> = ^



\/ m \ m 2 m 1 + m 2



.:



^







V m



98



.



£r



IV.1.5. Phương trình thơng sổ

I = £ ĩ (í+ sin f)’

"



=



- c o s í>-



IV . 1.6. Mặt phẳng dao động quay với vận tốc góc - f i

IV .2.1. a)



—^ - r



X =



(l



— COS U ) t ) .



mw3



IV .2.2. a)



1



Fn



a



uT



= 2 - ~--- r sin ——

mTu)3

2



F0 sin — •

b a _= o2 —-X



1.1







mu2



c) a =

d) a =





,v .3 .1



Fọ_

———

m(Tu

Tuđ

FqTĨ



2



1/2






mư2



X +



0 . - ^







y



X — y



.



Wi = \/CƯQ - a ,



w 2 = v / wổ + a -



IV .3.2. w2 = - — 7 7 ( ( m i + m 2) ( í i + í 2 )

Z m icit2 ^

+



IV .3 .3 .



m2) [(mi



+ m 2) ự l +



Ể2 ) 2



-



4m1£1£2] Ị



- 2 ^ c o s ố = sin2<5.

C h ư ơ n g III



I I I . 1. M 2 — m \ + rriị + 2



2



i r2 ’



1



c2

99



V



m

=



1



V



I



I



TTT o



F



IIL2- E l



M '



+



V*



m ị - m ị



---------------------- 2 M ----



F. = M 2 + m 2 - m i r 2

E2



---------2 u ---------- c ■

M



2



III.5 . a) -Emin = ( 2 -------m )c 2\ m

/



b) -Emin = M e2.



100



*•



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

IV. Không gian bốn chiều Minkowski

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×