Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
III. Cơ học tương đối tính

III. Cơ học tương đối tính

Tải bản đầy đủ - 0trang

quán tính. Hãy áp dụng Tiên đề này vào trường hợp hệ gồm một chất

điểm tự do. Phiếm hàm tác dụng là một tích phân đường mà yếu tố

độ dài là vi phân bậc một được biểu diễn qua các vi phân dx,dy,dz,dt

của các tọa độ không gian và thời gian. Phiếm hàm tác dụng phài bất

biến Lorentz cho nên yếu tố độ dài trong tích phân tác dụng cũng phải

là đại lượng bất biến. T ừ các vi phân tọa dộ và thời gian ta chì có thể

thiết lập được vi phân cấp một bất biến Lorentz dưới dạng tý lệ với



ds — yjc2dt2 —dx 2 —dy2 — dz 2 = c y 1 - — dt,

trong đó V là giá trị vận tốc của hạt



dx2 + dy 2 + dz2

dt2



,



V — -----



Phiếm hàm tác dụng phải là một tích phân đường bất biến và đo đó

có dạng



b



s Ị



is.



a



T a chọn hệ số tý lệ là —moc,



b



s=



—moc í ds,



(20)



và sau đây sẽ làm sáng tổ ý nghĩa vật lý của m0. Để tìm hàm Lagrange

của hệ ta viết s dưới dạng



s = - m 0c2 Ị \ Jl - ~dt



(2 1 )



ti

và có ngay biểu thửc của hàm Lagrange



L(v) =



86







(2 2 )



Trong trường hơp vân tốc của hat có giá tri rất bé so với giá tri vân

tốc ánh sáng, V
L (v ) = - m 0c2ị ì -



= —m0c2 +



m 0v 2



2



Hằng số —m0c2khơng đóng vai trò nào cả, còn số hangthứ hai



— —



chính là động năng của hạt khơng tương đối tính.T a đốn nhận

khối lưcmg của hạt khơng tưcmg đối tính.



rao







Bây giờ ta quay trờ lại biểu thức chính xác của L(v) và tính xung

lượng của hạt

dL

m0

. ,

»> = £



= 7



=



r



v-



<23>



Ta viết

p = mv



(24)



với m là khối lượng của hạt đang chuyển động với vận tốc có giá trị V

m0



m =



(25)

1



c2



Khối lượng m tăng khi V tăng và có giá trị cực tiểu khi V = 0. Hằng

số mo là khối lượng nghỉ. Tín h năng lượng của hạt theo cơng thức



dL

E = V - ---- L = v p - L ,

ơv



ta thu đirợc



e



m 0v 2



= J £ Ể =

1



,



/



V2



m 0c2



+ m o c v/ i - ĩ ĩ = - p í = ,

V 1 " ,?



- c2



nghĩa là

E = m c 2.



(26)

87



Đây là công thức nổi tiếng của Albert Einstein về sư tỷ lê giữa năng

lượng và khối lượng. Theo công thức này một vật với khối lương nghỉ

h ữ u hạn có năng lượng khác khơng ngay cả khi vật đó đứng n và



khơng chịu tác dụng của một trường lực nào: năng lượng được tiềm

tàng ngay trong mọi vật. Khi khối lượng của một vật bị giảm di trong

một q trình vật lý nào đó thì phần bị giảm đi của dạng năng lượng

tiềm tàng trong vật biến thành dạng năng lượng khác.

Dễ thử lại rằng giữa E , p và mo có cơng thức

jp2

&

2 2

— - p2 = _

mịc

c*



hay là

E 2 = c2p 2 + rriịc4.



(27)



Chú ý rằng nếu hạt có khối lượng nghỉ khác khơng mo Ỷ 0 thì m —>oo,

E —

*• oo khi V —►c. Hạt có khối lượng nghỉ khác khơng chỉ có thể có

vận tốc với giá trị gần bằng giá trị vận tốc ánhsáng, nhưng khơng bao

già có vận tốc với giá trị bằng giá trị vận tốc ánh sáng. Trái lại, mọi

hạt có khối lượng nghi bằng khơng (và năng lượng hửu hạn) đều phải

chuyển động với vận tốc có giá trị bằng giá trị vận tốc ánh sáng trong

mọi hệ quy chiếu. Trong trường hợp đặc biệt này giữa năng lượng và

xung lượng có hệ thức

E =



cp.



(28)



B ài tầ p

1. Một hạt có khối lượng m i và vận tốc V va chạm với một hạt đứng

yên có khối lượng m , sau đó hai hạt hợp lại thành một hạt có khối



2



lượng M chuyển động với vận tốc V . Tìm M và V .

2 . Một hạt có khối lượng M đang đứng yên bị rã thành hai hạt có

khối lượng mi và m 2- Xác định năng lượng E \ và E 2 của hai hạt, sinh

ra sau khi rã.

3. Chứng minh rằng điện từ tự do không thể hấp thụ photon cũng như

không thể phát ra photon (khối lượng nghỉ của photon bằng không).



Điều này có mâu thuẫn với hiệu ứng quang diện hay khơng?

88



4. Positron e* và electron e~ là hai hat có cùng mơt khối lưong m

và có điện tích trái dấu. Khi e+ va chạm với e~ có thể xẩy ra sự hủy

cặp e+e~ thành các photon. Chứng minh rằng hai hạt e+ và e~ tự do

không thể hùy cặp để biến thành một photon, nhưng có thể hủy cặp

để biến thành hai hay nhiều photon.

5. T ìm năng lượng tối thiểu E mịn mà positron e+ phải có để khi hủy

cặp electron e~ thì sinh ra hai hạt có khối lượng bằng nhau M lớn hơn

khối lượng m của e + và e~ rất nhiều lần trong hai trường hợp:

a) E lectro n e~ b a n đầu đ ứ n g yên.



b) Electron e~ chuyển động ngược chiều với positron e+ và có

năng lượng bằng năng lượng của positron e+ (trong các máy gia tốc

có hai chùm giao nhau).



IV . K h ô n g g ia n b ố n c h iề u M in k o w s k i



Trong thuyết tương đối không gian và thời gian liên hệ mật thiết

với nhau và cùng phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Ta xem như không gian

và thời gian tạo thành một không gian bốn chiều mà vectơ tọa độ có

bốn thành phần

x 0 = ct,



X\ = X,



x 2 = y,



x3 = z.



(29)



Khác vái không gian Euclide ba chiều mà chiều dài của mọi vectơ



là một đại lượng bất biến đối với phép quay, đại lượng bất biến đối

với biến đổi Lorentz là tổ họp song tuyến tính



x\ + xị + x ị x ị = xỊ + x\ + x ị —c2t 2

mà ta ký hiệu là



(z,x) = gl“'x llx^,



(30)



với tenxo- metric ợ**" có các thành phần



(31)



89



Khơng gian bốn chiều với tenxơ metric g ^ là môt không gian giả

Euclide, gọi là không gian Minkowski. Đặt

X* = g ^ X v,



(32)



nghĩa là

x° = —ct,



X2 = y,



X 1 = X,



X3



= z,



(33)



ta còn viết



(x,x) =



(34)



Cơng thức biến đổi ngược lại (32) biểu diễn các thành phần XMqua các

thành phần xạ là





Rõ ràng rằng

thức



ọ I/



có giá trị giống như



. G iữa hai tenxơ này có hệ



9 ^ g vX =



(36)



Đại lưạng bốn thành phần

gọi là vectơ tọa độ hiệp biến, còn đại

lượng bốn thành phần XMgọi là vectơ tọa độ phản hiệp biến. Biến đổi

Lorentz được viết dưới dạng tổng quát như sau

Xụ,



*



Xp







CLpXy.



(



37)



Mọi đại lưcmg bốn thành phần Ap biến đoi giống như bốn thành phần

của vecta tọa độ hiệp biến, nghĩa là biến đổi như sau



A l l - * A ’lt = a"A„



(38)



trongphép biến đổiLorentz, đều được gọi là một vectơhiệp biến trong

không gian Minkowski.Vectơ phản hiêp biếntirơng ứng là đại lượng

bốn thành phần A^ với

= g^Av.



(39)



Dễ thử lại rằng các công thức biến đổi Lorentz của các vectơ phản hiệp

biến x ụ, A M là

= g ^ a f a v Z 1'

(40)

90



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

III. Cơ học tương đối tính

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×