Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Dao đông của nhữrig phân tử

Dao đông của nhữrig phân tử

Tải bản đầy đủ - 0trang

4. D a o đ ô n g củ a n h ữ rig p h â n t ử

Nếu chúng ta có một hệ hạt tương tác lẫn nhau nhưng khơng nằm

trong một ngoại trường, thì khơng phải tất cả những bậc tư do của hệ

tự do đó đều có tính chất dao động. Một ví dụ điển hình của những hệ

như thế là những phân tử. Ngoài những chuyển động do những dao

động của những nguyên tử hai bên vi trí cân bằng của chúng trong

phân tử , phân tứ xem như một tồn bộ có thể có một chuyển động

tịnh tiến và một chuyển đông quay. Tưcmg ứng với chuyển động tịnh

tiến là ba bậc tự do. Trong trường hợp chung, chuyển động quay cũng

có số bậc tự do như thế, thành thử trong số 3n bậc tự do của n nguyên

tủ- trong phân từ tương ứng với dao động có tất cả 3n - 6 bậc tự

do. Trường hợp ngoại lệ là trường hợp những phân tủ' trong đó tất

cả những nguyên tử đều nằm dọc theo cùng một đường thẳng. Vì nói

đến chuyển động quay quanh đường thẳng đó là khơng có nghĩa, nên

bậc tự do của chuyển động quay trong trường hợp này bầng hai, thành

thử bậc tự do của dao động bằng 3n —5.

Trong khi giải bài toán cơ học về dao động nhửng phân tử, trước

hết, đề cho hợp lý, nên khử những bậc tự do tịnh tiến và quay. Để khử

chuyển động tịnh tiến, cần phải xem như xung lượng toàn phần của

phân tử bằng khơng. Điều đó có nghĩa là tâm qn tính của phân tử

khơng di động, vì vậy ba tọa độ của tâm quán tính là ba lượng khơng

đổi.

Đăt



(trong đó r a0 là bán kính vectơ của vị trí cân bằng khơng đổi của

ngun tử thứ « , còn u a là vectơ lệch đối với vị trí đó), ta biểu diễn

điều kiện



dưới dạng

(116)

Để khử chuyển động quay của phân tử , cần phải cho mơmen xung

lượng tồn phần của nó bằng khơng. V ì mơmen xung lượng khơng



phải là đao hàm tồn phần theo thời gian của môt hàm nào của toa đô,

nên điều kiện triệt tiêu đó của mơmen xung lượng nói chung khơng thể

biểu diễn dưới dạng hàm đó bằng khơng. Song trường hợp dao động

bé lại chính là một ngoại lệ. Quà vậy, nếu lại đặt r a = r a0 4- u a và

không kể đến những đại lượng bé bậc hai theo u a , thì ta có thể biểu

diễn mơmen xung lưạng của phân tử dưới dạng



Thành thử điều kiện mômen xung lượng đó triệt tiêu, trong mức độ

gần đúng này, có thể biểu diễn dưới dạng

(117)

(ỏf đây gốc tọa độ có thể chọn tùy ý).

Những dao động chính quy của phân tử có thể phân loại theo tính

chất chuyển dộng của những nguyên từ trong các phân tử đó, căn cứ

vào những nhận định liên quan đến tính chất đối xứng của sự phân bố

các nguyên tử (ờ những vị trí cân bằng) trong phân tứ.

Nhẳm mục đích đó có một phương pháp chung, dựa vào sự ứng

dụng thuyết nhóm; phương pháp này được trình bày trong Cơ học

lượng tử. Ở đây chúng ta chỉ xét một vài thí dụ cơ bản.

Nếu tất cả các nguyên tử của phân tử nằm trong cùng một mặt

phẳng thì có thể phân biệt những dao động chính quy khơng dịch hoặc

dịch những ngun tử ra khổi mặt phẳng đó. Cũng dễ xác định số

dao động thuộc hai loại đó. V ì trong chuyển động phầng có tất cả 2n

bậc tự do, trong dó có hai bậc thuộc chuyển động tịnh tiến và một bậc

thuộc dao động quay, nên số dao động chính quy không dịch nguyên tử

khỏi mặt phẳng bằng 2n - 3. Còn (3ra - 6) - (2n - 3) = n - 3 bậc tự

do khác tương ứng với nhửng dao động dịch những nguyên tử ra khỏi

mặt phẳng.

Trong trưòng họp phân tử một chiều ta có thể phân biệt những

dao động dọc bảo toàn dạng một chiều và những dao động dịch những

nguyên từ ra khỏi đường thẳng đó. V ì tương ứng với tồn bộ chuyển

68



đ ơ n g c ủ a n h a t theo đirờng t h ẳ n g có t ấ t cả là n bâc tir do, tr o n g đó

m ộ t bậc là ứng với chuyển dộng tịnh tiến, nén số d a o dộng không dịch

n h ữ n g nguvên t ử ra khỏi đưcVng t h ầ n g b ằ n g n — 1 . Vì tổng số n h ữ n g

bậc t ự do dao dộng c ù a m ộ t p h â n t ử m ộ t chiều b ằ n g 3 n — 5 n ê n có

2 n - 4 d a o động dịch n h ữ n g p h â n t ử r a khỏi đ ư ờ n g t h ẳ n g . Tuy n hiên

ứ n g với n h ữ n g d a o động đó v ẫ n chỉ có n — 2 t ầ n số khác n h a u , vì mỗi



một trong nhĩrng dao động như vậy có thể thực hiện bằng hai cách độc

lập với nhau - trong hai mặt phẳng thẳng góc với nhau - nhũng mặt

p h ẳ n g này di q u a tr ụ c của p h â n t ử ; căn c ứ trên n h ữ n g n h ậ n đ ịn h về

đối x ử n g , t a t h ấ y dĩ nhiên là mỗi m ộ t cặp của n h ữ n g d a o động chín h



quy như vậy thì có cùng tần sổ.

5. D a o dông tắ t dần

C h o dến nay t a luôn hiểu n g ầ m rằ n g chuyển đ ộ n g c ù a v ậ t th ể xảy

ra t r o n g chân không hay ảnh h ư ờ n g của môi t r ư ờ n g tớ i chuyển động

có t h ể bỏ q u a được. T rong th ự c tế Khi v ậ t t h ể chuyển động tr o n g mơi

t r ư ờ n g th ì mơi t r ư ờ n g này có sức cản làm cho chuyền động c h ậ m lại,



năng lượng của vật chuyển động khi đó cuối cùng biến thành nhiệt,

t h ư ờ n g gọi là n ă n g lượng t h o á t ra.



Quá trình chuyển động trong điều kiện đó khơng còn ỉà một quá

trình cơ học thuần túy, mà việc khảo sát nó đòi hồi phải kể đến chuyển

đ ộ n g c ủ a chính mơi t r ư ờ n g v à t r ạ n g th á i nhiệt bên t r o n g cả môi t r ư ờ n g

v à v ậ t thể. Đ ặc biệt, cũ n g không t h ể k h ầ n g địn h, t r o n g t r ư ờ n g hợp

tổ n g q u á t , r ằ n g gia tốc c ủ a v ậ t th ể chuyên động tại m ộ t thờ i điểm đ ã

c h o ỉà h à m chỉ c ủ a to a độ và vận tốc, tức là khơng t h e có phưcrng tr ìn h

c huyển dộng th e o ý n ghĩa n h ư ớ cơ học. N h ư vậy, bài to á n về chuyển



dộng cùa v ật thể trong môi trư ờ ng khơng còn là m ột bài tốn cơ học.

T u y vậy, có inột loại n h ữ n g t r ư ờ n g h ợ p xác dịn h m à chuyển độ n g tr o n g

môi t r ư ờ n g có t h ể miêu t ả gần đ ú n g bằng n h ữ n g p h i r a n g t r ì n h chuyển



dộng ca học bằng cách dưa vào những số hạng phụ xác (lịnh. Thc

v à o loại đó là nlũrng dao đông với t ầ n số n hồ so với t ầ n số đặc t r ư n g

c ho q u á tr ìn h tiêu t á n bên tro n g c ủ a môi t r ư ờ n g . Khi điều kiện n à y

đ ư ợ c t h ự c hiện, thì có th ể xem n h ư v ậ t th ề chịu tác d ụ n g của “lực m a

s á t ” với một. môi tru-àng đồng ch ất cho t r ư ớ c , chỉ có liên q u a n với vận

tốc c ù a nó. Nếu lại t h ê m vận tốc c ủ a nó k h á nhỏ, t h ì có th ể khai triển



69



lưc ma sát theo những lũy thừa cùa nó. Số hang bâc khơng là bằng

khơng vì khi vật thể đứng im thì khơng có lực ma sát nào tác dụng cả,

và số hạng đầu tiên khơng triệt tiêu thì tỷ lệ với vận tốc.

Như vậy lực ma sát tổng quát Ịms tác dụng vào một hệ thống dao

động nhỏ và một chiều mà tọa độ tổng quát là X có thể viết dưới dạng



ĩma = -OCX,



(118)



trong đó a là một hệ số dương, còn dấu - chứng tò rằng lực tác dụng

ngược vái chiều vận tốc. Thêm lực này vào vế phải của phương trình

chuyển động, ta được

m ỉ = —kx — a i .

(119)

Chia cho m và đưa vào các ký hiệu

- = 2A,



-= w ỗ ,



771



(120 )



m



CƯQ là tần số của dao động tự do khi khơng có ma sát, còn À gọi là lũy

thừa tắt dần. V ậy thì ta có phương trình

X +



2Ax



+ W qX =



0.



(121)



Theo quy tắc giải phương trình tuyến tính với hệ số hằng số, đặt

X = ert, ta tìm được phương trình đặc trưng đối với r:

r 2 + 2 Xr +

từ đó



= 0,

_______



r 1 ,2 = -A ± \J\* -



Nghiệm tổng quát của phương trình ( 120) là



X = Cier,í + C 2t T%t.

Ờ đây, cần phân biệt



70



2trường hợp



.



Nếu A < w0 thì ta có 2 giá tri phức liên hơp của T. Nghiêm tổng

quát của phưcmg trình chuyển động trong trường hợp này có thể viết

X — R e { / 4 e x p ( —Àí —



trong đó A



— A2 í)}



là một hằng số phức tùy ,ý. Cóthể viết một

X —



ae~Xt cos(to t



UI =



+



cách khác



a ),



— A2 ,



(122)



trong đó a và a là những hằng số thực. Chuyển động biểu thị bời cơng

thức này gọi là dao động tắt dần. Nó có thể xem như dao động điều

hòa với biên độ là một hàm mũ giảm. Độ giảm của biên độ xác định

bời số mũ và tần số u>0 của dao động tự do không ma sát. K hi A
hiệu của U) và Uo là vô cùng bé bậc hai. Sự giảm của tần số do ma sát

có thể dự đốn trước, vì ma sát nói chung làm chuyển, động chậm lại.

2



tt



Nếu A0 thì trong một chu kỳ —



biên độ dao động tắt dần



hầu như không đổi, Trong trường hạp này khi khảo sát những giá trị

trung bình (trong một chu kỳ) của bình phương tọa độ và vận tốc, thì

việc bò qua sự biến thiên của th ừ a số e~ xt trong việc tính trung bình

là cónghĩa.

Những bình phương trung bình đó rõ ràng là tý lệ với

e- 2At> Ị)o

năng lượng của hệ thống về trung bình giảmtheo quy

luật

Ẽ = E o e ~ 2Xt,



(123)



trong đó E0 là giá trị ban đầu của năng lượng.

Bây giờ giả sử A > u 0. Khi đó cả hai giá trị của r là thực và âm.

Dạng tổng quát của nghiệm là

X = c i e - ( * V A2 - “ ẵ)‘ + c 2 e - ( À+ \ / A2 - “ Ỗ)í.



(124)



Ta thấy rằng trong trường hợp này, với ma sát khá lớn, chuyển động

diễn tả bởi một hàm giảm đơn điệu, tức là tiệm cận tới vị trí cân bằng



71



(khi t —>oo) khơng dao động. Loại chuyển động này goi là chuyển đông

tắt dần không chu kỳ.

Cuối cùng, trong trường hạp đặc biệt, khi A —>w0 phương trinh

đặc trưng chỉ có một nghiệm (kép) r = —À. Như đã biết nghiệm tổng

quát của phương trình vi phân trong trưcmg hợp này có dạng



X — (ci + C2 t)e~Xt.



(125)



Đó là một trường hợp đặc biệt của dao động, dù không nhất thiết là

đcm điệu.

Với hệ thống có nhiều bậc tự do, lực ma sát tổng quát tương ứng

với tọa độ Xn là hàm bậc nhất của vận tốc

c



*



=



- Y ,< * a b ib .



(126)



b



Việc nhận xét thuần túy cơ học không cho ta kết luận gì về tính đối

xứng của các hệ số a ab theo chỉ số a và b. Còn với phương pháp của

V ật lý thống kê, có thể chứng minh được rằng ta ln có

0


& b ci’



Do dó biểu thức (126) có thể viết dưới dạng một đạo hàm



dF



ÍT‘ = -§ 7 -



(128)



F = ị Ỵ ^ a abi ax b

2 a,b



(129)



của dạng toàn phương



gọi là hàm tiêu tán. Lực (128) phải được thêm vào vế phải cùa phircmg

trình Lagrange

d dL

dL

dF

..



130



dt d i a



72



dxa



d ia



Hàm tiêu tán tư nó có mơt ý nghĩa vât lý quan trong là nó xác

định cường độ tiêu tán năng lượng của hệ - có thề xác minh điều đó

bằng cách tính đạo hàm theo thài gian của ca năng cùa hệ. Ta có



lị— .



dE



d, Ị



dt



dt V^

=Y x

^a



ỞL



\



adxa



)



( ị ịị-



a\dt dxa



-



— )

dxa)



=T i

a



— ■



adxa



V ì F là dạng tồn phương của các vận tốc, nên theo định lý Euler về

hàm thuần nhất thì tổng ờ vế phải của đẳng thức đó là 2F. Vậy ta có



f = -2f'



<131>



tức là, tốc độ biến thiên của năng lượng của hệ bằng hailần hàm tiêu

tán. Vì quá trình tiêu tán dẫn tới sự giảm năng lượngnên phải có

F > 0, tức là dạng tồn phương (129) chắc chắn là dưong.

Phương trình của những dao động nhỏ có ma sátthu được bằng

cách thêm lực (126) vào vế phải của phương trình ( 102)

y TYlabXf) "t" ^ ^ kab^b —^



^

6



6



^ Otab^b-



6



Trong những phưcmg trình này hãy đặt

Xb = AbCrt,



rồi ước lưạc cho e r t , ta được hệ phưcmg trình đại số bậc nhất cho các

hằng số Ab

Ỵ 2 { m abr2 + a abĩ + k ab)Ab = 0.

b



(133)



Đ ặt dinh thức các hệ số bằng khơng, ta có phương trình đặc trưng xác •

định giá trị của r:

\rriabr2 +


+ k ab\ = 0.



(134)

73



Đó là phưcmg trình bâc 25 đối với r. V ì moi hê số của nó đều thirc

nên nghiệm hoặc là thực hoặc là những cặp số phức liên hợp. Nghiệm

thực buộc phải âm, và nghiệm phức có phần thực âm, vì trong trường

hợp ngược lại tọa độ và vận tốc và do đó cả năng lượng của hệ tăng

với thời gian theo hàm mũ, trong khi sự có mặt của lực tiêu tán phải

đưa tới sự giảm nàng lượng.



74



C h ư cm g III

C ơ



SỜ



C Ủ A



T H U Y Ế T



T Ư Ơ N G



D ối



I. P h é p b i ế n dổi L o r e n t z



Xét hai hệ quy chiếu quán tính K và K ' , K ' chuyển động đối với

K với vận tốc V hướng theo trục Ox. Trong cơ học Newton thời gian

t



là tuyệt đối, nghĩa là không phụ thuộc hệ quy chiếu. Nếu (x,y, z) và



(x', y', z') là tọa độ của cùng một điểm M trong hai hệ quy chiếu qn

tính K và K' thì chúng liên hệ bỏ-i công thức biến đổi Galileo

X — x' + V t,



z — z'.



suy ra rằng vận tốc của điểm M trong hai hệ K và K'

dx

d t’

dx'

dt




:ỉ

II



Từ đó



y = y',



dy



,

dy'

< = dt ’



dz

V z = dt

.

dz'

z = dt



liên hệ với nhau b


vx = v'x + V,



Vy = v'y,



vz = v'z.



(1)



Theo cơng thức này thì ánh sáng phát ra từ một nguồn sáng phải

có những vận tốc khác nhau trong những hệ quy chiếu khác nhau. T h í

nghiệm Michelson-Morley chứng tỏ điều ngược lại: Trong mọi hệ quy

chiếu quán tính ánh sáng truyền đi trong chân không với cùng một vận

tốc c. Khẳng định kết quả thí nghiệm của Michelson-Morley, Albert

Einstein đã đề xuất giả thuyết sau đây gọi là Tiên đề 1 của thuyết

tương đối: Trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính vận tốc ánh sáng

trong chân khơng có cùng một giá trị c.

Tiên đề đó trái ngược với cơng thức cộng vận tốc trong cơ học

Newton, mà công thức này lại là hệ quả của quan điểm về thời gian

tuyệt đối. Vậy trong thuyết tưcmg đối thời gian phải phụ thuộc hệ quy



75



chiếu và là tương đối: Nếu trong hê quy chiếu qn tính



K



mơt biến



cố x ả y r a t ạ i đ i ể m có t ọ a đ ộ ( x , y , z ) v à ò t h ờ i đ i ể m í t h ì t r o n g hệ quy

c h iế u q u á n t í n h K ' b i ế n cố đó x ả y r a tại đ i ể m có t ọ a độ ( x ' , y ' , z r) v à



ở thời điểm t'. Các đại lượng x',y',z',t' là các hàm của x ,y ,z ,t. Mở



rộng các công thức biến dổi Galileo, ta thừa nhận rằng đó là các hàm

tuyến tính đẳng cấp. Vì bây giờ thời gian gắn liền với hệ quy chiếu,

giống như các tọa độ không gian, cho nên các tọa độ không gian cùng

với thời gian hợp thành các tọa độ trong không-thời gian bốn chiều

(x ,y ,z ,t).

X é t h ai b i ế n cố



Z i,ti)



v à [x 2 , y 2, Z2 J 2 ) t r o n g hệ q u y c h iế u



và giả sử các tọa đô không-thời gian của hai biến cố này trong hộ

quy chiếu K ' là { x \ , y [ , z [ , t \ ) và [x'2 , y r2 , z'2 ,t'2 ). Ta đặt

K



i i - * a = A f,



x i - x 2 = A z,



yi - y2 = A y ,



t\ - t'2 = A t',



x\ - x'2 - A x ',



y[ - y'2 = A y ',



- z2 - A 2 ,



z\ - z'2 = A z'



và định nghĩa

$12 = c2A í 2 - A x 2 - A y 2 - A z 2,



s i = c2A í'2 - A x '2 - A y '2 - A z*



(2)



là khoảng giữa hai biến cố trong hệ quy chiếu tương ứng. Vì A t 1, Ax',

Ay', Az ' là những hàm tuyến tính đẳng cấp của các biến số Aí, Ai,

A y , A z cũng như At, Ax, A y , A z là những hàm tuyến tính đẳng cấp



của các biến số A t ',



A x ', A y ',



Az \ cho nên cả Sj2 lẫn



đều là những



đa thức đẳng cấp cấp hai của cùng mơt biến số A í, A x , A y , A 2 hoặc

A t ', A x ' , A y ' ,



Az ' . Vì vận tốc ánh sáng có cùng một giá trị c trong c.ả



hai hệ quy chiếu cho nên s



\2và Sy 2phải đồng thời cùng bằng không



hoặc cùng khác không trong cả hai hệ quy chiếu. Để đảm hảo điều đó

ta chọn các cơng thức biến đổi tuyến tính đẳng cấp giữa các biến số



thuộc các tập hợp A t , A x , Ay, Az và A t ', Ax', A y ' , A z ' thế nào để

Sj2 và 5j22 tỷ lệ với nhau, với hệ số tỷ lệ có thổ phụ thuộc vào giá trị

V của vận tốc tương đối của hai hệ quy chiếu, thí dụ như

5 12 — a (^/ )5 1 2 -



76



Đổi chỗ các hê K và K \ ta có



s 212 _— a ( V ) s \ \

T ừ đó suy ra



a[V)2 = 1,



a (y ) = ± 1 .



V ì a (K ) là hàm liên tục của V và có giá trị bằng 1 khi V — 0, cho nên

ta phải lấy dấu +, nghĩa là phải chọn a (l') = 1. Vậy

/2 _

ỖÌ2 —



.2

12



(3)



í



nghĩa là khoảng S j2 phái khơng thay đổi khi ta chuyển từ một hệ quy

chiếu quán tính sang một hệ quy chiếu quán tính khác, s ử dụng tính

bất biến này ta hãy thiết lập cơng thức biến đổi giữa các tọa độ không

- thời gian trong hai hệ quy chiếu quán tính.

Để cho đơn giản ta xét trường hợp hệ quy chiếu K' chuyển động

đối với hệ quy chiếu K với vận tốc hướng theo trục Ox và có giá trị

V . T a chọn các trục Ox', Oy'. Oz' song song với các trục Ox, Oy , Oz

và có

A y' = A y , A z' = A z.

(4)

Điều kiện bất biến của khoảng giữa hai biến cố trò thành

c2A í



/2



— A x'2 =



c2A í



2



— A x 2.



(5)



Các hàm c A í, A x đẳng cấp tuyến tính của c A í', A x' thỏa mãn phưomg

trình (5) có dạng tổng qt sau đây

Aa: = Ax'ch ĩp + cAt'shtp,

c A í = Ax'ship + cAưchỉp,



(6 )



trong đó tị) là một tham số thực phụ thuộc V . T a giả sử rằng ồr một

thải điểm ban đầu nào đó gốc tọa độ của hai hệ quy chiếu trùng nhau,

chọn (2^2 iV2 i z 2 ì^ĩ)ì (^25

là hai biến cố bao gồm tọa độ của

các gốc tọa độ ò thời điểm ban đầu này,

x 2 = y2 = z2 = t2 = 0,

x 2 = Vĩ ~ z 2 ~



^2



=



77



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Dao đông của nhữrig phân tử

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×