Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Dao động của hệ có nhiều bậc tự do

Dao động của hệ có nhiều bậc tự do

Tải bản đầy đủ - 0trang

trong đó ta lai tính thế năng từ giá tri cực tiểu của nó. V ì các hê số

ỊcaỊ, và kba nằm trong (98) được nhân với cùng một đại lưạng xhx a nên

ta thấy rõ rằng nhửng hệ số đó có thể xem là đối xứng đối với những

chì số của nó

kab — kba •



Còn trong động năng mà trường hợp chung có dạng

.



2



a,6



ta đặt trong các hệ số 6a = 0ao rồi ký hiệu những hằng số aaỊ,(0o) bằng

mat,, ta sẽ được'-động năng dưới dạng một dạng toàn phương xác định

dương

5 ^ 2 r n abx ax b.



(99)



a tb



Những hệ số m ab ta cũng ln ln có thể xem là đối xứng theo các

chỉ số

T ĩĩa b — ^ b a *



Thành thử hàm Lagrange của một hệ thực hiện những dao động nhỏ



L — — ^ ^{p^ab^a^b ~ kabx ax b) •

a ,b



Bây giờ ta hãy thiết lập những phương trình chuyển động. Để

tính những đạo hàm nầm trong các phương trình đó ta hãy viết vi

phân tồn phần của hàm Lagrange

d L — ~ ^ị~^ịĩĩiỊiỊ)XQ(l%b



tyIịxỊịXịịCỈXịi



ÌCqỊjXq(£xị)



k abxbdxa) .



a ,b



V ì dĩ nhiên giá trị của tổng không phụ thuộc vào ký hiệu chỉ số lấy

tổng nên ỏr các số hạng thứ nhất và thứ ba nằm trong các dấu ngoặc

ta đổi a thành 6 và 6 thành a. Chú ý đến tính chất đối xứng của các

hệ số m ab và kab, ta được

dL —



[ĩ7ỉ(iỊỊXị)(ỈXa

a ,b



60



kabXfadx a ) ’



T ừ đó ta thấy rằng

ỞL

di



= 2 _ ^ m abx b,



b



ỞL

dxa



b



V ì vậy phương trình Lagrange là

y



ề r ria b ỉb +



6



^ 2



kabXb =



0,



(101)



6



Chúng lập thành một hệ s (a = 1 ,2 ,. .. ,s ) phương trình vi phân tuyến

tính thuần nhất có hệ số khơng đổi.

Theo quy tắc chung, giải các phương trình đó, ta tìm s hàm số

chưa biết X b { t ) dưới dạng



x b = AbeiuJt



(102)



với Ab là những hằng số nào đó hiện nay chưa xác định. Thay (102)

vào hệ ( 1 0 1 ), sau khi giản ước với eiut ta được một hệ những phương

trình đại số bậc nhất thuần nhất mà những hằng số Ab phải thỏa mãn:

^ ( - w 2mat + kab)Ab = 0.



(103)



b

Để cho hệ đó có một nghiệm khác khơng định thức của nó phầi triệt

tiêu

|fca6 - ư 2m ab\ = 0.

(104)

Phương trình (104) gọi là phưcmg trình đặc trưng; đó là một phương

trình bậc s đối với u 2 . Trường hợp chung phưcmg trình đó có s nghiệm

dương khác nhau uỊ [a - 1 , 2

(trong những trường hợp đặc biệt

một vài giá trị trong số đó có thể trùng nhau). Những lượng U!a xác

đinh như vậy gọi là những tần số riêng của hệ.

Tín h chất thực và dương của nghiệm của phương trình (104) dĩ

nhiên có thể thấy trước được, căn cứ vào những nhận định vật lý. Q

vậy, nếu u có phần ảo thì điều đó sẽ có nghĩa là có s ự phụ thuộc (

)



102

61



của to a đơ x a (và do đó của những toa đô x a) vào thời gian với dang

hàm mũ. Nhưng trong trường hạp này khơng thể già thiết sự có mặt

một thừa số như vậy được, vì điều đó sẽ đưa đến sự biến đổi của năng

lượng toàn phần E = u + T của hệ theo thời gian, trái với định luật

bảo tồn năng lượng.

Điều trên đây cũng có thể khẳng định bằng phưcmg pháp toán học

thuần túy. Nhân phương trình (103) với A*a và lấy tổng theo o, ta được

] P ( - W 2m afc + kab)A*aAb = 0 ,

a tb



từ đó

2



_ Ỵ2 kabA aAb

~ E m a 6 ^a^í>



Những dạng tồn phương tại tứ số và mẫu số của biểu thức đó là thực

vì các hệ số kab và m ab là thực và đối xửng. Quả vậy,

tề



^ ^ ^ kab-A-aAb'j

a ,b



= ^ ^ k ab A aAfo — ^ ^ kba-AaAf)

o, b



a ,b



^ ^ k af)Aị)A a .

a ,b



Những dạng đó là dương và vì vậy u 2 cũng dương. Tín h chất xác định

dựomg của dạng toàn phương xây dựng với những hệ số kab là dĩ nhiên

do định nghĩa của các hệ số đó trong (98) với những giá trị thực của

các biến số. Nhưng nếu viết những lượng phức At dưới dạng ãb + ibb

thì ta được (ta lại lợi dụng tính chất đối xứng cda kab)

^ ^ kabA aAb = ^ ] fcab(fla ~ *^a)(ữb +

a ,b



a ,b



— ^ ^fca{,aaa& + ^ ^kaf)babb

a ,b



a ,b



nghĩa là ta được một tổng của hai dạng xác định dương.

Sau khi tính xong những tần số Wo, thay lần lưạt mỗi số đó vào

phương trình (103), ta có thể tìm được những giá trị tương ứng của

các hệ số Ab■ Nếu tất cả những nghiệm wa của phương trình đặc trưng



62



đều khác nhau, thì, như đã biết, các hê số Aị, tỷ lê với những đinh thức

con của (104) trong đó u được thay bằng giá trị tương ứng u a: ta gọi

định thức con đó là Aba- Như thế, nghiệm riêng của hệ phương trình

vi phân ( 1 0 1 ) có dạng

Xị, = A baCae^t

với Ca là một hằng số (phửc) tùy ý. Còn nghiệm tổng qt thì nó là

tổng của cả 5 nghiệm riêng.

Chuyển sang phần thực, ta viết nghiệm đó dưới dạng

x6 = ReỊ



A 6ac aeiw“* } = Y , A 6a0 a,

a

a



(105)



với ký hiệu

0



a = R e Ị C a e 1' ^ } .



(106)



Thành thử sự biến thiên của mỗi tọa độ trong số những tọa độ của

hệ theo thời gian là sự chồng chập của s dao động tuần hồn đơn giản

0 1 ,© 2, . . . , © 3, với pha và biên đơ tùy ý, nhưng có những tần số hồn

tồn xác định.

D ĩ nhiên nảy ra vấn đề có thể chọn được những tọa độ suy rộng

sao cho mỗi một tọa độ đó thực hiện chỉ một dao động đơn giản khơng?

Chính dạng của tích phân tổng quát (105) chỉ đường lối giải bài tốn

đó.

Thực vậy, xem s hệ thức (105) như là một hệ phương trình chứa s

lưạng chưa biết 0 a, ta có thể bằng cách giải hệ đó để biểu diễn những

đại lượng 0 1 , ©2, . . . , ©3 theo những tọa độ Í J , X 2>• • •) x 8- Thành thử

những đại lượng 0 a có thể xem là tọa độ suy rộng mới. Những tọa

độ này gọi là chính quy (hay tọa độ chính), còn những dao động tuần

hồn đơn giản mà chúng thực hiện gọi là dao động chính quy của hệ.

Như ta thấy rõ từ định nghĩa, những tọa độ chính quy thỏa mãn

những phương trình



Ồa + íj2 © a = 0.



(107)

63



Điều này có nghĩa là với những tọa độ chính quy những phương trình

chuyển động tách làm 5 phương trình độc lập với nhau. Gia tốc của

mỗi tọa độ chính quy chỉ phụ thuộc vào giá trị của tọa độ đó, và để

hoàn toàn xác định sự phụ thuộc của tọa độ vào thời gian cần phải

biết những giá trị ban đầu của chl tọa độ đó và của vận tốc tương ứng.

Nói cách khác những dao động chính quy của một hệ là hoàn toàn độc

lập với nhau.

T ừ điều nói trên ta thấy rõ rằng hàm Lagrange biểu diễn theo tọa

độ chính quy tách thành một tổng của nhiều biểu thức, mỗi một biểu

thức đó tương ứng với một dao động một chiều có tần số thuộc số các

tần số wa, nghĩa là hàm Lagrange có dạng



i =



E



i ( è ỉ - “M



<108)



a



trong đó m a là những hằng số dương, v ề phương diện tốn học điều

đó có nghĩa là với phép biến đổi (105) cả hai dạng toàn phưcmg - động

năng (99) và thế năng (98), đồng then được quy về dạng chéo.

Thông thường những tọa độ chính quy được chọn sao cho những

hệ số ờ những vận tốc bình phương trong hàm Lagrange bằng đon vị.

Muốn thế chỉ cần xác dịnh những tọa độ chính quy (bây giờ ta ký hiệu

chúng là Qa) bỏ-i những đẳng thức

Qa - yfrna 0 a .



(109)



K h i đó



L



=



( 110)



a



T ấ t cả các điều trình bày ò trên chỉ cần thay đổi dôi chút nếu

trong số những nghiệm của phương trình đặc trimg có những nghiệm

bội. Dạng tổng qt (105), (106) của tích phân phưcmg trình chuyển

động vẫn như cũ (vái cùng số s số hạng), chỉ khácmột điểm là những

hệ số Afca tương ứng với những tần số bội khơngcòn là nhữngtử thức



64



của định thức, những tử thức này, như đã biết, triệt tiêu trong trưòng

hợp đó

ứng với mỗi tần số (hay, như người ta thường nói, với mỗi tần

số suy biến) có một số tọa độ chính quy khác nhau, bằng số bôi, nhưng

cách lựa chọn những tọa độ chính quy đó khơng được duy nhất, vì

trong động năng và thế năng, những tọa độ chính quy (cùng ư a) nằm

trong những tổng

Qị và Y2 Q\ về hình thức biến đổi như nhau, nên

chúng ta có thể tiến hành trên những tọa độ đó bất kỳ phép biến đổi

bậc nhất nào khơng làm thay đổi tổng bình phương.

Việc tìm những tọa độ chính quy cho trường hợp dao động ba

chiều của một chất điểm nằm trong một ngoại trường không đổi rất là

đơn giản. Chon gốc tọa đô Descartes tại điểm cực tiểu của thế năng

U(x, y,z), chúng ta sẽ được biểu thức của năng lirợng đó dưới dạng

tồn phưcmg của những biến số x,y,z. Còn động năng



(m là khối lượng của hạt) thì nó khơng phụ thuộc vào cách lựa chọn

phương các trục tọa độ. V ì vậy, với một phép quay trục tọa độ thích

hợp chi cần thiết để đưa thế nâng về dạng chéo, chúng ta sẽ được



L = ^ ( i 2 + ỹ2 + i

2i



2)



- ^ { k ix 2 + k2y 2 + k2z 2),



(111)



và những dao động dọc theo các true x ,y ,z sẽ là những dao động chính

quy với tần số



Trong trường hợp đặc biệt trường đối xứng cầu {k 1 = kz — &3 = k,

u = kr2/2) ba tần số đó trùng với nhau.

Trong tích phân tổng quát không thể xuất hiện số hạng chứa cả những

thừa số mũ cũng như thừa số dạng lũy thừa của thời gian, dĩ nhiên cũng từ những

nhận định vật lý mà ờ đó loại trừ sự tồn tại của các “tần số” phức: sự có mặt của

những số hạng như thế trái vói định luật bảo tồn năng lượng.



65



Cách dùng những tọa độ chính quy cho phép ta có thể quy bài

toán dao động cưỡng bức của m ột hệ nhiều bậc tự do về nhiều bài

toán dao động cưỡng bức một chiều. Hàm Lagrange củahệ, trong đó

có kể cả những ngoại lực thay đổi tác dụng vàocơ hệ, sẽ có

dạng



L - Lo+



Fb(t)xb.



(112)



b



với L0 là hàm Lagrange của những dao động tự do. Thay những tọa

độ Xb bằng những tọ a độ chính quy, chúng ta được

i - = ị ỵ , ( Q ì - “ ì Q i ) + ỵ , ỉ Á ‘)Q*-



a



(113)



a



trong đó đã dùng ký hiệu

/.(<) = £



V



AM %



Vs







(114)



Mỗi một trong những phưcmg trình chuyển động tưcmg ứng



Q a+ U 2aQa = f a{t)



(115)



chỉ còn chửa một hàm chưa biết Qa(t) mà thơi.

B ài tâ p

1. Xác định dao động của một hệ có hai bậc tự đo mà hàm Lagrange

có dạng



£ = ị { i 2 + ỳ2) -



~-(z2+ ĩ/2) -+ axy-



2. Xác định những dao động nhổ của một con lắc kép phẩng gồm hai

chất điểm có khối lượng m j, m2 treo trên hai sợi dây khơng dàn hồi có

chiều dài i\, t-2ỉ chất điểm mi là điểm treo cùa COI1 lắc có chiều dài Ể23.



tâm



66



Xác định quỹ đạo chuyển động c ủ a m ộ t h ạ t tro n g t n r ờ n g xuyên



4. D a o đ ô n g củ a n h ữ rig p h â n t ử

Nếu chúng ta có một hệ hạt tương tác lẫn nhau nhưng khơng nằm

trong một ngoại trường, thì khơng phải tất cả những bậc tư do của hệ

tự do đó đều có tính chất dao động. Một ví dụ điển hình của những hệ

như thế là những phân tử. Ngoài những chuyển động do những dao

động của những nguyên tử hai bên vi trí cân bằng của chúng trong

phân tử , phân tứ xem như một tồn bộ có thể có một chuyển động

tịnh tiến và một chuyển đông quay. Tưcmg ứng với chuyển động tịnh

tiến là ba bậc tự do. Trong trường hợp chung, chuyển động quay cũng

có số bậc tự do như thế, thành thử trong số 3n bậc tự do của n nguyên

tủ- trong phân từ tương ứng với dao động có tất cả 3n - 6 bậc tự

do. Trường hợp ngoại lệ là trường hợp những phân tủ' trong đó tất

cả những nguyên tử đều nằm dọc theo cùng một đường thẳng. Vì nói

đến chuyển động quay quanh đường thẳng đó là khơng có nghĩa, nên

bậc tự do của chuyển động quay trong trường hợp này bầng hai, thành

thử bậc tự do của dao động bằng 3n —5.

Trong khi giải bài toán cơ học về dao động nhửng phân tử, trước

hết, đề cho hợp lý, nên khử những bậc tự do tịnh tiến và quay. Để khử

chuyển động tịnh tiến, cần phải xem như xung lượng toàn phần của

phân tử bằng khơng. Điều đó có nghĩa là tâm qn tính của phân tử

khơng di động, vì vậy ba tọa độ của tâm qn tính là ba lượng khơng

đổi.

Đăt



(trong đó r a0 là bán kính vectơ của vị trí cân bằng khơng đổi của

ngun tử thứ « , còn u a là vectơ lệch đối với vị trí đó), ta biểu diễn

điều kiện



dưới dạng

(116)

Để khử chuyển động quay của phân tử , cần phải cho mơmen xung

lượng tồn phần của nó bằng khơng. V ì mơmen xung lượng khơng



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Dao động của hệ có nhiều bậc tự do

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×