Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
III. Chuyển dông trong môt hê quy chiếu không quán tính

III. Chuyển dông trong môt hê quy chiếu không quán tính

Tải bản đầy đủ - 0trang

t a lu ô n lu ô n q u y hệ đó v ề m ộ t hệ q u y ch iế u q u á n t ín h . C h l t r o n g n h ữ n g

h ệ q u y c h iế u q u á n tín h thì h à m L a g r a n g e c ủ a m ộ t h ạ t tr o n g m ộ t n g o ạ i

trư ờ n g c h ẳ n g hạn m ới có d ạ n g



(61)



v à tư ơ n g ứ ng vớ i h à m đ ó là p h ư ơ n g trìn h c h u y ể n đ ộ n g



d\ 0



m ~r~ — — Zdt

dr

(ở đ â y , đ ể d ể p h â n b i ệ t , t a s ẽ g h i t h ê m c h l s ố



0



v à o n h ữ n g đ ạ i lư ợ n g



đ ư ợ c q u y v ề h ệ q u y c h iếu q u á n tín h ).

Bây



giờ t a đề c ậ p



đến v ấ n



đề tìm n h ữ n g p h ư ơ n g trìn h ch u y ể n



đ ộ n g c ủ a m ộ t h ạ t tr o n g m ộ t hệ q u y c h iếu k h ô n g q u á n tín h . X u ấ t p h á t

đ i ể m đ ể g i ả i v ấ n đ ề đ ó c ủ n g lạ i l à n g u y ê n l ý t á c d ụ n g c ự c t r ị m à t a c ó

th ể ứ n g d ụ n g c h o b ấ t k ỳ hệ q u y ch iếu n à o ; đ ồ n g th ờ i vớ i s ự v iệ c đó,

c ả n h ữ n g ph ư ơ n g trìn h L a g r a n g e c ũ n g v ẫ n còn đ ú n g



N h ư n g h à m L a g r a n g e lạ i k h ơ n g c ò n c ó d ạ n g ( 6 1 ) n ữ a , v à đ ể t ì m h à m

n à y c ầ n p h ả i t h ự c h i ệ n p h é p b i ế n đ ổi t ư ơ n g ứ n g c h o h à m

T a t h ự c h iệ n p h é p b iế n đổi đ ó b ằ n g h a i b ư ớ c :

x é t m ộ t hệ q u y ch iế u



Ko

hệ



K'



vớ i m ộ t v ậ n tốc V ( í ) .



Kq







K'



L q.



trư ớ c h ết, t a h ã y



c h u y ể n đ ộ n g tịn h tiến đ ố i v ớ i h ệ q u y c h iế u

N h ữ n g v ậ n tố c



V



o



v à v ' c ủ a h ạ t đối v ớ i c á c



liê n h ệ v ớ i n h a u t h e o h ệ t h ứ c :



V



o



= v' + v (í).



(63)



T h a y b iể u t h ứ c đ ó v à o ( 6 1 ) , t a đ ư ợ c h à m L a g r a n g e t r o n g h ệ



r/



L =

Nhung



v (í)2



m v

——-h m v V



2



K'



u.



—Vrn —2



,„ r

+



2



là m ộ t h à m c h o s ẵ n c ủ a t h ờ i g i a n ; h à m đ ó c ó t h ể b iể u



d iễ n dư ớ i d ạ n g m ộ t đ ạ o h à m to à n p h ầ n th e o



t



củ a m ộ t h à m khác nào



45



đ ó v à v ì v â y số h ạ n g t h ứ b a t r o n g b iể u th ứ c v iế t tr ê n c ó th ể b ổ đ ư ợ c.

M ặ t khác



vớ i r ' là b á n k ín h v e c tơ c ủ a h ạ t tr o n g h ệ tọ a đ ộ



dr'



d



dt



dt



K '\



vì vậy



(ỈV



mV(i)v' = m V ^ = ị(mVr') - m r ' ~ ■

w



'



dt



T h a y b iể u t h ứ c n à y v à o h à m L a g r a n g e , v à m ộ t lầ n n ữ a b ồ đi đ ạ o h à m

to à n p h ầ n th e o th ờ i g ia n , cu ố i c ù n g t a sẽ đư ợ c



L ' = —— - mW(t)r' - u,



(64)



2



vớ i w



K '.



=



dV

at



— — là g ia tốc c ủ a c h u y ể n đ ô n g tin h tiế n c ủ a h ê q u y ch iếu



D ù n g (64) đ ề lập p h ư ơ n g tr ìn h L a g r a n g e , t a đ ư ợ c



m áT =







(6 5 >



N ế u h iể u th e o n g h ĩa ản h h ư ờ n g đ ế n n h ữ n g p h ư c m g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g ,

th ì t a t h ấ y r ằ n g c h u y ể n đ ộ n g tịn h tiến c ó g ia tố c c ủ a h ệ q u y ch iếu là

t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i s ự x u ấ t h i ệ n m ộ t t r ư ờ n g lự c đ ề u , v à t r o n g t r ư ờ n g

n à y lự c t á c d ụ n g b ằ n g t íc h c ủ a k h ố i lư ợ n g c ủ a h ạ t vớ i g i a tố c w







c ó h ư ớ n g n g ư ợ c vớ i h ư ớ n g c ủ a g ia tố c đó.

B â y g iờ t a đ ư a t h ê m m ộ t h ệ q u y ch iếu



K\



K



n ử a , c ù n g gốc vớ i hệ



n h ư n g lạ i q u a y q u a n h h ệ đ ó v ớ i m ộ t v ậ n t ố c g ó c í l ( í ) ; c ò n đ ố i v ớ i



h ệ q u á n tín h



Ko,



th ì hệ



K



có c ả c h u y ể n đ ộ n g tịn h tiế n , c ả c h u y ể n d ộ n g



quay.

V ậ n tốc v ' c ủ a h ạ t đối vớ i h ệ



K'



g ồ m có v ậ n tố c V đối vớ i h ệ



v à v ậ n t ố c Ịíl A r ] c ủ a c h u y ể n đ ộ n g q u a y c ủ a n ó c ù n g v ớ i h ệ



K



K



:



v ' = V + ị n A r]

(n h ữ n g b á n k ín h v e c tơ r v à r ' c ù a h ạ t tr o n g n h ữ n g hệ



K







K'







t r ù n g n h a u ) . T h a y b iểu th ứ c đ ó v à o h à m L a g r a n g e (6 4 ), t a được



L = r^ ~— f m v ịílA rj + — ịílA r]2 — m W r — u.

46



(66)



Đ ó c h ín h là d a n g tổ n g q u á t c ủ a h à m L a g r a n g e c ủ a m ô t h a t tr o n g m ô t

h ệ q u y ch iếu b ất k ỳ .



T a ch ú ý r ằ n g s ự q u a y c ủ a h ệ q u y ch iếu c ó kết



q u à làl à m x u ấ t h iện t r o n g h à m L a g r a n g e m ộ t s ố h ạ n g

hồn to àn



đặc



có m ột dạng



b iệ t là d ạ n g b ậ c n h ấ t dối vớ i v ậ n t ố c c ủ a h ạ t.



Đ ể tín h n h ữ n g đ ạ o h à m có m ặ t tro n g ph ư ơ n g trìn h L a g r a n g e ta

h ã y v iế t v i p h â n to àn p h ần :



dL = mvdv + mdvịíì Ar] + mvỊn A dr] +

+ mịn A r] [fl A dr] —mWdr —~Q~dr

= m \d\ + md\[tt A r] + mdr[v A Í1Ị+

ỞU



r ,



+ m[[n A r] Ailjdr - mWdr - Q-dr.

G ộ p n h ử n g số h ạ n g ch ứ a



d\







dx



lạ i v ớ i n h a u , t a đ ư ợ c



dL



.



,



—— = mv + m n A r ,

ơv

~ —m[v Aill + m fin A r] Aill —mW —

*

ỡr

L

J

ỡr

T h a y n h ữ n g b iể u th ứ c đó v à o ( 6 2 ) , t a c ó p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g

p h ải tìm



dv



dU



„r



..

+ m[r Aft] +



+ 2m[v l] + m [n A Ịr A n]].

T a th ấ y rằn g



(67)



“ lự c q u á n t í n h ” g â y n ê n b ồ i c h u y ể n đ ộ n g q u a y c ủ a hệ



q u y ch iế u g ồ m có b a p h ần :

L ự c m [ r A ÍĨỊ c ó liê n q u a n đ ế n t í n h c h ấ t k h ô n g đ ề u c ủ a c h u y ể n

đ ộ n g q u a y , cò n h a i số h ạ n g k h á c th ì c h ú n g v ẫ n có m ặ t c ả tr o n g trư ờ n g

hợp q u a y đều.

L ự c 2 m [ v A i l ] g ọ i là lự c C o r io l is ; k h á c v ớ i t ấ t c ả n h ữ n g lự c n g h iê n

c ử u t ừ t r ư ớ c đ ế n n a y , lự c đ ó p h ụ t h u ộ c v à o v ậ n t ố c c ủ a h ạ t .



Lực



m ịíìA



[ r A í l ] ] g ọ i l à l ự c l y t â m , lự c n à y n ằ m t r o n g m ặ t p h ẳ n g



đi q u a r v à n v à th ẳ n g gó c vớ i trụ c q u a y (n g h ĩa là với v e c tơ n ) hư ớ ng

t ừ tr ụ c q u a y r a p h ía n g o à i; lự c iy t â m c ó đ ộ lá n b ằ n g

k h oản g cách c ủ a h ạt đến trụ c quay.



m p íl 2



vớ i



p







Đ ặ c b iệt t a h ã y x é t tr ư ờ n g h ợ p



h ệ t ọ a đ ộ q u a y đ ề u v à k h ô n g c ó c h u y ể n đ ộ n g t ị n h t i ế n . T r o n g ( 66 ) v à

(6 7) đ ặ t ft =



const v à w



L= —



ít



0,



=



ta đư ạc hàm Lagran ge



+ m v[Q A r]+ -ỊnA rỊ2 - Ư

ù



(68)



v à p h ư cm g trìn h ch u y ể n đ ộ n g



at



+ 2m[v Afi] + m ín A |r Afill.



dr



(69)



T r o n g t r ư ờ n g h ợ p n à y t a h ã y t ín h n ă n g lư ợ n g c ủ a h ạ t . T h a y



p =

vào



E —p



V —



Lo,



ơv



= mv -Ị- mill A r]



(70)



ta được



E = ^ _ n i [íìAr]2 + U '



{71)



T a h ã y c h ú ý đ ế n s ư k iện là t r o n g n ă n g lư ợ n g k h ơ n g có số h ạ n g b ậ c

n h ấ t th e o v ậ n tố c. Á n h h ư ờ n g c ủ a c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ q u y ch iếu đ ư a

đ ế n k ế t q u ả là t r o n g n à n g lư ợ n g c ó x u ấ t h iệ n t h ê m m ộ t s ố h ạ n g chỉ

p h ụ t h u ộ c v à o t ọ a đ ộ c ủ a h ạ t v à t ỷ lệ v ớ i b ì n h p h ư ơ n g v ậ n t ố c g ó c .

T h ế n ăn g p h ụ th êm n à y —- ^ [ n A r



]2



g ọ i là t h ế n ă n g ly t â m .



Vận tốc V của hạt đối vối hệ quy chiếu quay đều liên hệ với vận

tốc v



0



c ủ a n ó đối vớ i hệ q u y ch iếu q u á n tín h b & i h ệ th ứ c:



v 0 = v + ỊftAr).

V ì v ậ y , x u n g lư ợ n g p c ủ a h ạ t t r o n g h ệ

m v



0



tro n g hệ



K q.



t r ù n g v ớ i x u n g lư ợ n g P o =



Đ ồ n g th ờ i n h ữ n g m ô m e n x u n g lư ợ n g



M o = [r A Po]

48



K







(72)



M = Ịr A pị



cũ n g trù n g nhau.



N h ư n g n h ữ n g n ă n g lư ơ n g c ủ a h ạ t t r o n g c á c hệ



K



v à K q thì khác nhau. Thay V từ (72) vào (71), ta được

2



E —



— m v o [ 0 A r]



4- u



iu



mvồ

r

= —

ịp- + uTr - m[r

A v 0]n.

Eo



H a i số h ạ n g đ ầ u là n â n g lư ợ n g



tron g hệ



K q.



Đ ư a m ôm en xung



lư ợ n g v à o tr o n g số h ạ n g cu ố i c ù n g , t a có



E = Eo - M n.



(73)



C ô n g t h ứ c đ ó x á c đ ịn h s ự b iế n đổi c ủ a n ă n g lư ợ n g k h i c h u y ể n s a n g

h ệ t ọ a đ ộ q u a y đ ều . M ặ c d ầ u t a đ ã th iế t lậ p c ô n g th ứ c b iến đổi d ó ch ỉ

c h o m ộ t h ạ t , n h ư n g d ĩ n h iên có th ể s u y r ộ n g tr ự c t iế p ch o tr ư ờ n g h ợ p

m ộ t hệ h ạ t t ù y ý v à c ũ n g sẽ đ ư a đến c ù n g m ộ t c ô n g th ứ c ( 7 3 ) .

B à i tập

1.



M ộ t v ậ t rơ i t ự d o t ừ đ ộ c a o



tu yến



a°.



T ìm



k



tạ i m ộ t đ ịa đ iểm n ằ m trê n đ ư ờ n g v ĩ



đ ộ lệch r a k h ỏ i đ ư ờ n g t h ẳ n g đ ứ n g g â y n ê n b ồ i c h u y ể n



đ ộ n g q u a y c ủ a T r á i đ ấ t ( v ậ n tố c g ó c n c ủ a T r á i đ ấ t đ ư ợ c x e m là đ ạ i

lư ợ n g r ấ t b é ).

2.



N g ư ờ i t a n ém m ộ t v ậ t từ m ặ t đ ấ t vớ i v ậ n tốc



V



o



.



T ì m đ ộ lệch c ủ a



m ặ t p h ẳ n g q u ỹ đ ạo c ủ a v ậ t so vớ i m ặ t p h ằ n g th ẳ n g đ ứ n g c h ứ a Vo g â y

r a bỏ"i c h u y ể n đ ộ n g q u a y c ủ a T r á i đ ấ t v ớ i v ậ n t ố c g ó c n đ ư ợ c x e m l à

r ấ t bé.



IV . N h ữ n g dao dông nhổ

1 . D a o đ ô n g t ư d o m ô t ch iề u

M ộ t lo ạ i c h u y ể n đ ộ n g r ấ t p h ổ b iế n c ủ a c ơ h ệ là n h ữ n g c h u y ể n đ ộ n g

g o i là d a o đ ộ n g n h ỏ m à c ơ hệ t h ự c h iện x u n g q u a n h v ị t r í c â n b ằ n g

b ền c ủ a nó. V ớ i n h ữ n g ch u yể n đ ộn g đó t a b ắ t đ ầ u t ừ trư ờ n g hợp đơn

g iản n h ấ t k h i hệ chỉ có m ộ t b ậc tự do.



49



Tương ứng với cân bằng bền là vị trí của hê mà tại đó thế năng

ư(0) của nó có một cực tiểu; sự lệch ra khỏi vị trí đó sinh ra một lực

—dư/do, có xu hưấng kéo hệ ngược trờ lại. Ta gọi giá trị tưcmg ứng

của tọa độ suy rộng tại vị trí cân bằng bền là Oq. Với nhửng độ lệch

nhổ ra khỏi vị trí cân bằng, trong các khai triển của hiệu U(9) — ư(60)

theo các lũy th ừ a của 6 — 6 chỉ cần giữ lại số hang dầu tiên không triệt

tiêu là đủ. Trường hợp chung số hạng như vậy là bậc hai:



0



U ( 0 ) - ư ( 6 o ) ^ ( ớ - ớ c)2

và k là một hệ số dương (k là giá trị của đạo hàm cấp hai U''(6) tại

6 — 6o), T ừ n a y về s a u ta sẽ tính t h ế năng từ g iá trị c ự c tiểu c ủ a nó

(nghĩa là đặt U(9o) = 0) và dùng ký hiệu



(74)



x = d -e c



để chỉ độ lệch của tọa đô đối với giá trị của nó tại vị trí cân bằng. Như

thế



U(x) =



ỈCT^



— .



(75)



Động năng của hệ với một bậc tự do trong trường hợp tổng quát

có dạng



ịa{0)ồ2 = ịa[0)x2.

Cùng vớisự gần đúng như trên, ta có thể thay a[0) bằng giá trị của

nó tại B —6q.Để được gọn ta ký hiệu

a(ỡ0) = m.

Ta chú ý rằng lượng m chỉ trùng với khối lượng khi X là tọa độ Descartes

của hạt mà thôi.

Cuối cùng ta được biểu thức sau đây cho hàm Lagrange của một

hệ thực hiện những dao động nhổ một chiều



£ = ^

50



- k4



-



(76)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

III. Chuyển dông trong môt hê quy chiếu không quán tính

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×