Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
V. Các phương trình Hamilton

V. Các phương trình Hamilton

Tải bản đầy đủ - 0trang

H ã y t í n h vi p h â n c ủ a H a m i lt o n i a n



dỉí



=



(tt adÕa



^



H.



T a có



+ Ổad.Tĩa) — dL



a







^ ^



('Radôa



Oadna)



+



^ ^



a



^QQ dQa



■ d'Oa'j ,



+-



a



a



D ù n g hệ th ứ c (3 4 ) v à p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e



dL



d / Ỡ L \ dfta



_



dt



dớa ~



__



V dò a '



.



dt



ta th u được

d iĩ =



Ỵ 2



(òadiĩa -



n a dQa ).



a



H



M ặ t k h á c , th e o đ ịn h n g h ĩa v i p h â n c ủ a m ộ t h à m

chính tắc



9a







7Ta



ta có

/



So



s á n h h a i b iểu





c ủ a c á c b iế n số



th ứ c c ủ a



ỞH

~

Ớ 7 f a



d ỉỉ .



dỉỉ



dH



t a s u y r a hệ p h ư ơ n g trìn h



dH

)



ft a



)



°-



1 )



2 ,



. • • , 5 ,



( 3 6 )



Ơ ơ a



g ọ i là h ệ c á c p h ư ơ n g t r ìn h H a m ilt o n .

X é t m ộ t d ạ i l ư ợ n g v ậ t lý đ ư ợ c d i ễ n t ả d ư ớ i d ạ n g m ộ t

các



t



b iến s ố c h ín h



tắc



ỡa, 7Ta, a — 1 , 2 , . . . ,



s



hàm



F



của



v à c ó t h ể là c ủ a c ả th ờ i g ia n



n ữ a . S ự t h a y đổi c ủ a đ a i l ư ạ n g n à y t h e o th ờ i g i a n đ ư ơ c x á c đ ị n h b(Vi



đ ạ o h à m to àn p h ần



dF _ d F

dt



xr^ (/ d F



1.



d

ỞF

F



.



\



dt



S ừ d ụ n g c á c p h ư ơ n g t r ì n h H a m i l t o n ( 3 6 ) t a c ó t h ể v i ế t lạ i h ệ t h ứ c t r ê n

như sau



d F _ dF_ V - (dF^dH_ _ d F Ở H \

dt ~ dt

V d 6 a dixa

d n a dOa /

19



Với hai h à m



tù y ý



F







G



củ a các



b iến số c h ín h



tắc



ổa ,



7Ttt, a



=



1 , 2 , . . . , 5 t a ký h iệ u



íF .a\ = ^ ' ( Ẽ L Ỉ l ^ Ế L Ẽ £ . \

^



v à gọi { F ,

m ột đại



G}



\ d ớ a



Ỡ 7ra



Ỡ 7ra



là m ó c P o is s o n c ủ a h a i h à m



F



„71



Ổ Ổ 0 /







G.



Đ ể p h â n b iệt v ớ i



lư ợ n g c ù n g tê n t r o n g v ậ t l ý lư ợ n g t ử t a còn g ọ i



đ ịn h t ò i đ ịn h n g h ĩa ( 3 7 )



{F, G }



xác



là m ó c P o is s o n c ổ đ iển . D ù n g k ý h iệ u n à y , t a



có cơ n g th ứ c



f =f +



<38>



G i à s ử H a m i lt o n i a n c ủ a m ộ t h ệ cơ h ọ c c ó c h ứ a m ộ t x u n g lư ợ n g

su y rộng



7TC



n h ư n g lạ i k h ô n g p h ụ t h u ộ c t ọ a đ ộ s u y r ộ n g



dH



dOc



=



9C,



n g h ĩ a là



o



0.



K h i đ ó từ đ ịn h n g h ĩa ( 3 7 ) s u y r a r ằ n g

{ t t c, H



}



= 0.



T h e o p h ư ơ n g trìn h (3 8 ) t a có



nghĩa là xung lượng 7TClà một đại lượng bảo toàn. Vậy nếu Hamiltonian

c h ứ a m ộ t x u n g lư ợ n g s u y rộ n g n à o đ ó n h ư n g k h ô n g c h ứ a tọ a độ s u y

r ộ n g t ư ơ n g ứ n g ( t ọ a đ ộ v ò n g ) t h ì x u n g l ư ợ n g s u y r ộ n g n à y là đ a i lưorng



bảo tồn. Điều đó cũng đã đưạc suy ngay ra từ phương trình Lagrange.

C h ú ý r ằ n g rn ó c P o i s s o n c ủ a h a i h à m



F







G



đồi d ấ u k h i t a h o á n



v ị h a i h à m đó:

=



-{//,&■}.



(39 )



C u ố i c ù n g t a h ã y t ín h m ó c P o is s o n c ủ a h a i b iố n số c h ín h t ắ c t ù y

ý.



D ể t h ử lạ i r ằ n g

{ 0 a , 0 b }



=



{7T a , 7 r 6 }



=



0 ,



7T6> = ~ { n a , 9 b} = 6ab.



N h ữ n g c ô n g th ứ c n à y sẽ đ ư a c



sử



d u n g k h i p h á t b iể u c á c q u y t ắ c lư ơ n g



tử hóa.



S a u n à y n g u y ê n lý t á c d ụ n g c ự c t r ị v à c á c p h ư ơ n g t r ìn h , c á c đ ịn h

lu ật cơ b ả n m à c h ú n g ta trìn h b à y







t r ê n đ ối v ớ i c á c h ệ c ơ h ọ c sẽ đ ư ợ c



m ờ rộn g để áp d ụ n g cho c á c hệ trư ờ n g.

n gh iên cứ u trìn h b à y







N ó i k h á c đ i, p h ư ơ n g p h á p



trê n có t h ể á p d ụ n g ch o m ọ i h ệ v ậ t lý.



Bài tâ p

1.



T ín h n h ữ n g m ó c P o isso n g iữ a c á c t h à n h p h ầ n D e s c a r te s c ủ a v e c tơ



x u n g lư ợ n g p v à v e c t ơ m ô m e n x u n g lư ợ n g M .

2.



T í n h n h ữ n g m ó c P o isso n g iữ a c á c t h à n h p h ầ n D e s c a rte s c ủ a v e c tơ



m ô m e n x u n g lư ợ n g M .

3.



C h ứ n g m in h r ằ n g nếu



ip



là m ộ t h à m v ô hư ớ n g t ù y ý c ủ a tọ a độ



r



v à x u n g lư ợ n g p c ủ a m ộ t h ạ t th ì



{ ^ , M }



=



0.



21



C h ư ơ n g



II



M Ộ T SỐ B À I T O Á N C Ụ T H E C Ủ A

C ơ HỌC*)

I. H ê hai h ạ t với th ế n ă n g tư ơ n g tá c chỉ p h u th u ô c

kho ản g cách

1. Khối lượng th u gon

B â y giờ x é t b à i to á n v ô c ù n g q u a n t r ọ n g v ề c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t

h ệ g ồ m có hai h ạ t tư ơ n g tá c lẫ n n h a u (b ài to á n h a i v ậ t ) .



C ó th ể g iải



h o à n to à n b à i to á n n à y dư ớ i d ạ n g tổ n g q u á t. T r o n g b ư ớ c đ ầ u g iải b à i

t o á n đ ó t a s ẽ n ó i r õ t a c ó t h ể l à m b à i t o á n trỏr n ê n đ c m g i ả n n h ư t h ế

n ào b ầ n g c á c h tá c h ch u yển d ộ n g củ a hệ th à n h ch u yển đ ộ n g c ủ a tâ m

q u á n tín h v à c h u y ể n đ ộ n g c á c đ iể m đối vớ i t â m đ ó .

T h ế n ăn g tư ơ n g tá c hai h ạ t chì p h ụ th u ộ c v à o k h o ản g c á c h g iữ a

h a i h ạ t , n g h ĩa là v à o g iá tr ị t u y ệ t đối c ủ a h iệ u b á n k ín h v e c t ơ c ủ a h a i

h ạ t đó. V ì th ế h à m L a g r a n g e c ủ a m ộ t hệ n h ư v ậ y có d ạ n g



L - = £ + = £ 1 - ơ ( | r , - r 2|).



(1)



T a đ ư a v à o ve ctơ k h o ản g c á c h tư ơ n g hỗ g iữ a h ai h ạt



r = ĩ! - r 2

v à đ ặ t g ố c t ọ a đ ộ t ạ i t â m q u á n t ín h , n g h ĩa là



miTi + m2r 2 = 0.



Trích t ừ cuốn C ơ học trong bộ sách V ật lý lý th u y ế t của L. D. L a n d a u v à

E. M. Lifshitz, do Hoàng P h ư ơ n g , P h ạ m Công Dũng v à Đ o à n N h ư ợ n g dịch, N hà

x u ấ t bản Giáo dục, Hà Nội, 1961



22



T ừ h a i đ ẳ n g t h ứ c cuối c ù n g n à y t a đ ư ơ c



rriị



2



m

r ! =



m~\ +, m~2 T'



r2



=



- — — —



m j + m 2r



-



T h a y c á c b iề u th ứ c đó v à o ( 1 ), t a dư ợ c



L = ^ f - U(r)

s ■ ì / 1 »A

với ký hiệu



m

Lượng



m



(3)



m \ni 2



=



---------------- -n il + m 2



g ọ i là k h ố i l ư ợ n g t h u g ọ n .



H àm



(3) v ề h ìn h th ứ c tr ù n g v ó i



h à m L a g r a n g e c ủ a m ộ t c h ấ t đ iể m c ó k h ố i lư ợ n g

m ộ t n go ại trư ờ n g



ư (r )



m,



ch u yển độn g tron g



đối x ứ n g đối vớ i gốc t ọ a đ ộ cố đ ịn h .



T h à n h th ử b à i to án c h u y ể n d ộ n g c ủ a h a i c h ấ t đ iể m tư ơ n g tá c vớ i

n h a u q u y v ề b à i to á n c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t đ iể m t r o n g m ộ t n g o ạ i tr ư ờ n g



u(r).

r



2



=



T h e o n g h i ệ m r = r ( ỉ ) c ủ a b à i t o á n đ ó c á c q u ỹ đ ạ o I*! =

r



2 (í)



c ủ a từ n g h ạt



m1



và m



2



Ti(í) v à



(đ ố i vớ i t â m q u á n tín h c h u n g ) đ ư ợ c



t í n h t h e o c á c c ô n g t h ứ c ( 2 ).



2.



Chuyển



đ ộn g tro n g trư ờ n g x u y ê n



tầm



Q u y b ài to á n ch u yển đ ộ n g c ủ a h ai v ậ t th ể về b ài to á n ch u y ể n đ ộn g

c ủ a m ộ t v ậ t , t a đ ã đề c ậ p đ ế n v ấ n đ ề x á c đ ịn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t h ạ t

tr o n g m ộ t n goại trư ờ n g có th ế n ă n g chì p h ụ th u ộ c v à o k h o ản g cá c h r

đ ế n m ộ t đ iể m cố đ ịn h n à o đó. M ộ t tr ư ờ n g n h ư t h ế gọi là tr ư ờ n g x u y ê n

tâm . Lự c





dx



dư r

dr r



t á c d ụ n g lê n h ạ t c ó g i á t r ị t u y ệ t đ ố i c ũ n g c h ỉ p h ụ t h u ộ c v à o r v à t ạ i

m ỗ i đ iể m h ư ớ n g d ọ c th eo b á n k ín h v e c tơ c ủ a đ iể m đó.

N h ư đ ã c h ứ n g m in h t r o n g C h ư ơ n g I, k h i c h u y ể n d ộ n g t r o n g m ộ t

trư ờ n g x u y ê n



tâm



m ô m e n x u n g lư ợ n g đối vớ i t â m



c ủ a trư ờ n g bảo



t o à n . V ớ i m ộ t h ạ t đ ó là



M = [rAp].

23



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

V. Các phương trình Hamilton

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×