Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
IV. Tính đồng dang cơ hoc*)

IV. Tính đồng dang cơ hoc*)

Tải bản đầy đủ - 0trang

T a h ã y t h i r c h iê n m ô t p h é p b i ế n đ ổ i t r o n g đ ó t ấ t c ả c á c t o a d ô

b iế n th iên



7



lầ n v à đ ồ n g t h ờ i t h ờ i g i a n c ũ n g b i ế n t h i ê n

ra — ♦



T ấ t c à cá c v â n tốc v ữ



at



2

đ ộ n g n ă n g n h â n lên



/3







~



0



lần :



7 r » ) t — * (3t.



b i ế n t h i ê n — l ầ n t r o n g p h é p b i ế n đ ổi đ ó ,



P



lần , cò n t h ế n ă n g th ì n h â n vớ i



7 fc.



N ế u cho



7



t h ỏ a m ã n hộ th ứ c



ĩ



2 = 1 k'



t h ì vớ i p h é p b iế n đổi đ ó h à m

k h ô n g đổi



n g h ĩ a là



Ị3



=



71







L a g r a n g e h o à n to à n n h ân vớ i th ừ a số



n g h ĩ a là p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g v ẫ n n h ư c ũ .



B i ế n đ ổi t ấ t c ả n h ử n g t ọ a đ ộ c ủ a c á c h ạ t m ộ t s ố l ầ n n h ư n h a u c ó

n g h ĩa là c h u y ể n từ n h ữ n g q u ỹ đ ạ o n à y s a n g n h ữ n g q u ỹ đ ạ o k h á c dồng

d ạ n g h ìn h học vớ i n h ữ n g q u ỹ đ ạ o trư ớ c v à ch ỉ k h á c n h ữ n g q u ỹ đ ạo

n à y ờ n h ữ n g k ích th ư ớ c d à i. N h ư v ậ y t a đi đ ế n k ế t ỉu ậ n r ằ n g n ế u t h ế

n ă n g là m ộ t h à m đ ằ n g c ấ p b ậ c



k



c ủ a c á c tọ a độ (D e sc a rte s) th ì ph ư ơ n g



tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g n h ậ n n h ữ n g q u ỹ đ ạ o h ìn h h ọ c đ ồ n g d ạ n g vớ i n h a u ;







đ â y t ấ t c ả c á c thờ i g ia n c h u y ể n đ ộ n g (g iữ a n h ữ n g đ iểm tư ơ n g ứ n g



c ủ a c á c q u ỹ đ ạ o ) t ỷ lệ v ớ i n h a u n h ư



(2 8 )

với



l 'Ị l



là t ỷ số k ích th ư ớ c d ài c ủ a h a i q u ỹ đ ạ o .



C ũ n g n h ư c á c thờ i



g i a n , g i á trị c ủ a b ấ t k ỳ n h ữ n g đ ạ i lư ợ n g cơ h ọ c n à o tạ i n h ữ n g đ iể m

tu -cm g ứ n g tr ê n c á c q u ỹ đ ạ o v à tạ i n h ữ n g th ờ i đ iể m t ư ơ n g ứ n g c ũ n g là

n h ữ n g lũ y th ừ a c ủ a tỷ số



l'/l



với n h ữ n g số m ũ x á c đ ịn h .



C h ẳ n g hạn



v ớ i v ậ n tố c , n ă n g lư ợ n g v à m ô m e n x u n g lư ợ n g t a có :



(2 9 )



15



Đ ể m i n h h o a t a h ã y lấy v à i t h í d ụ .

N h ư t a s ẽ t h ấ y s a u n à y , c ó t r ư ờ n g h ợ p d a o đ ộ n g gọ i l à d a o đ ộ n g

n h ổ m à t h ế n ă n g l à m ộ t h à m b ậ c h a i c ủ a t ọ a đ ộ (Ả: =



2 ).



Theo



(28),



t a t h ấ y r ằ n g ch u k ỳ c á c d a o đ ộ n g đó k h ô n g p h ụ th u ộ c v à o b iên đ ộ c ủ a

chúng.

T r o n g m ộ t tr ư ờ n g lự c đ ề u , t h ế n ă n g là m ộ t h à m b ậ c n h ấ t c ủ a t ọ a

đ ộ , n g h ĩa là



k



=



1



. T ừ (28 ) t a có



t ừ d ó t a s u y r ằ n g k h i r ơ i t r o n g m ộ t t r ư ờ n g lự c đ ề u b ì n h p h ư ơ n g t h ờ i

g i a n c ủ a s ự r ơ i c á c v ậ t t ỷ lệ v ớ i n h ữ n g đ ộ c a o b a n đ ầ u .

K h i h a i kh ố i lư ợ n g h ú t n h a u th e o đ ịn h lu ật N e w t o n h a y k h i h ai

đ iệ n tíc h tư ơ n g t á c lẫ n n h a u th e o đ ịn h lu ậ t C o u l o m b th ì t h ế n ă n g t ỷ

lệ n g ư ợ c v ớ i k h o ả n g c á c h c á c h ạ t , n g h ĩ a l à t h ế n ă n g l à m ộ t h à m đ ẳ n g

cấp bậc



k



=



— 1 . T r o n g n h ữ n g tr ư ờ n g hợ p đó



í - ( í\

t ~ \l)



3/2



v à t a có t h ể k h ẳ n g đ ịn h c h ẳ n g h ạ n r ằ n g b ìn h p h ư ơ n g th ờ i g ia n q u a y

t h e o q u ỷ đ ạ o t ỷ lệ v ớ i l ậ p p h ư c m g k í c h t h ư ớ c c á c q u ỹ đ ạ o đ ó ( đ ó l à

đ ịn h lu ậ t K e p le r th ử b a ).

N ế u c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ v ớ i t h ế n ă n g là m ộ t h à m đ ẳ n g c ấ p c ủ a

t ọ a đô x ả y r a tr o n g m ộ t p h ạ m v i h ữ u h ạ n c ủ a k h ô n g g ia n , th ì có m ộ t

h ệ t h ứ c r ấ t đ ơ n g ià n g i ữ a n h ữ n g t r u n g b ìn h th e o th ờ i g ia n c ủ a đ ộ n g

n ả n g v à t h ế n ă n g . H ệ t h ứ c đ ó , n h ư đ ã b i ế t , g ọ i l à đ ị n h lý v i r i e l .

V ì động năng



T



l à m ộ t h à m b ậ c h a i c ủ a v ậ n t ố c , n ê n t h e o đ ị n h lý



E u le r về h à m đ ẳn g cấ p ta có



dT



h a y đ ư a v à o x u n g lư ơ n g



"



dva



=



Pc*>



2 r = ^ p avQ =



Ot

16



- ^ r a p Q.



Ot



a



(30)



T a lấ y t r u n g bì nh đ ẳ n g th ứ c đ ó th e o th ờ i g ia n . G i á tri t r u n g b ìn h c ủ a

bcất k ỳ h à m



f(t)



n à o c ủ a t h ờ i g i a n !à l ư ợ n g

r



7



=



lim

r —->00



[ f(t)dt

J





T



0



D ễ th ấ y rằn g nếu



f(t)



c ủ a m ộ t h à m g iớ i n ộ i



là m ộ t đ ạo h à m



F(t)



th eo th ờ i g ia n / ( í )



=



— —-



(n g h ĩa là k h ô n g lấ y n h ữ n g g iá trị v ô c ự c ) ,



thì g iá trị t r u n g b ìn h c ủ a nó b ằ n g k h ô n g , Q u ả v ậ y



1:

l im



/



t



1

-



—00 T



ỉ dF J

-7 -dt —

J at

/



F ( t) - F { 0 )

----------- ------------ =



lim

r —



»00



0.



T



0



T a g i ả th iế t r ằ n g hệ c h u y ể n đ ộ n g tr o n g m ộ t m iề n h ữ u h ạ n c ủ a k h ô n g

g ia n vớ i v ậ n tố c c ũ n g h ữ u h ạ n . T h ế th ì lư ợ n g



P a r a l à g iớ i n ộ i , v à

Ot



g iá trị t r u n g b ìn h c ủ a số h ạ n g t h ứ n h ấ t





du

d r Ct



Còn



ỉ/ v ế



p h ải c ủ a (30 ) b ằ n g kh ôn g.



số h ạ n g th ứ hai th ì th eo p h ư ơ n g trìn h N e w t o n t a t h a y



ỷa



bằng



^

; .......

v à ta được





dr„



2T = ỵ :

(b iểu t h ứ c







(3 1 )



v ế p h ải c ủ a ( 3 1 ) đôi lú c gọi là virie l c ủ a h ệ ). N ế u t h ế n ă n g



là m ộ t h à m đ ầ n g c ấ p b ậ c



k



c ủ a tấ t c ả c á c b á n k ín h v e c tơ r a th ì theo



đ ị n h lý E u ì e r đ ẳ n g t h ứ c ( 3 1 ) b i ế n t h à n h h ệ t h ứ c p h ả i t ì m



2 T = kư.





T



+



u



=



E



=



E,



(3 2 )



nên hệ th ứ c ( 3 2 ) có th ể v iế t dưới n h ữ n g d ạ n g



tư crng đ ư c m g n h ư s a u



ư =



(3 3 )



.



k + 2* .



.





I



T



í- -



-ì*. ■ ' •



1L



.



.•.



t C:



Ị S Ổ

L C /£ 5 9

______ _____



! ỉ ; 'ỉ.l

__



V



17



u



b iểu d iễ n







T



th e o n ă n g lư ợ n g to à n p h ầ n c ủ a h ê.



Đ ặ c b iệ t vớ i n h ữ n g d a o đ ộ n g n h ỏ



(k = 2 )



ta có



T = Ũ,

n g h ĩa là n h ữ n g g iá trị t r u n g



b ìn h c ủ a đ ộ n g n ă n g v à t h ế n ă n g t r ù n g



n h au . V ớ i tư ơ n g tá c N e w to n



(k



=



-



1)



2T = - u .

Ở đây,



E = —T,



đ i ề u n à y t ư ơ n g ứ n g v ớ i s ự k i ệ n l à v ớ i m ộ t s ự tư orng



t á c n h ư v ậ y t h ì c h u y ể n đ ộ n g c ó t h ể x ả y r a t r o n g m ộ t p h ạ m v i g iớ i n ộ i

c ủ a k h ô n g g ia n ch ỉ t r o n g t r ư ờ n g h ợ p n ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n là â m .



V. Các p h ư ơ n g tr ìn h H am ilto n

t



đã



c h o đ ư ợ c x á c đ ịn h h o à n t o à n b ồ i c á c g i á trị c ủ a c á c t ọ a độ s u y r ộ n g



ôa



T r ạ n g th á i c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t h ệ cơ h ọ c tạ i m ộ t thờ i đ iể m



v à c á c v ậ n tốc s u y rộ n g

m ỗ i tọ a độ s u y rộng



ỡa, a = 1 , 2 , . . . , s,



6a t a

ira =



tạ ị th ờ i đ iể m đó.



ứ n g với



c ó m ộ t x u n g l ư ợ n g s u y r ộ n g 7Ta liê n h ợ p v ớ i



T



,



a =



dỏa



1,2



(34)



C á c p h ư ơ n g tr ìn h n à y c h o p h é p b iểu d iễ n m ỗ i v ậ n tố c s u y r ộ n g dư ớ i

d ạ n g m ộ t h à m c ủ a c á c x u n g lư ợ n g s u y rộ n g v à c á c t ọ a đ ộ s u y rộ n g .

T h a y c h o t ậ p h ợ p c á c đ ạ i lư ợ n g

h ợ p c á c đ ạ i lư ợ n g

cơ học











ỡa , 9a



ta hồn to à n có th ể d ù n g tậ p



7Ta đ ể đ ặ c t r ư n g t r ạ n g t h á i c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ



m ỗ i thờ i đ iểm .



M ọ i đ ạ i lvrợ n g v ậ t lý đ ề u c ó t h ổ b i ể u d i ễ n



dưới d ạ n g m ộ t h à m c ủ a các tọ a độ su y rộn g

rộn g



na, a



=



1 , 2, . . . , 5



6a v à



c á c x u n g lư ợ n g s u y



( v à c ò n có th ể c ủ a th ờ i g ia n í ) . C á c t ọ a đ ộ s u y



r ộ n g v à x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g đư ợ c gọi là c á c b iế n sổ c h ín h t ắ c c ủ a hệ

c ơ h ọ c. N ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n c ủ a hệ cơ h ọc v iế t dư ới d ạ n g m ộ t h à m

c ủ a c á c b i ế n s ố c h í n h t ắ c đ ư ợ c g ọ i là h à m H a m i l t o n h o ặ c H a m i l t o n i a n

c ủ a hệ v à k ý h iệ u là



H:

(3 5 )

a



18



H ã y t í n h vi p h â n c ủ a H a m i lt o n i a n



dỉí



=



(tt adÕa



^



H.



T a có



+ Ổad.Tĩa) — dL



a







^ ^



('Radơa



Oadna)



+



^ ^



a



^QQ dQa



■ d'Oa'j ,



+-



a



a



D ù n g hệ th ứ c (3 4 ) v à p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e



dL



d / Ỡ L \ dfta



_



dt



dớa ~



__



V dò a '



.



dt



ta th u được

d iĩ =



Ỵ 2



(òadiĩa -



n a dQa ).



a



H



M ặ t k h á c , th e o đ ịn h n g h ĩa v i p h â n c ủ a m ộ t h à m

chính tắc



9a







7Ta



ta có

/



So



s á n h h a i b iểu





c ủ a c á c b iế n số



th ứ c c ủ a



ỞH

~

Ớ 7 f a



d ỉỉ .



dỉỉ



dH



t a s u y r a hệ p h ư ơ n g trìn h



dH

)



ft a



)



°-



1 )



2 ,



. • • , 5 ,



( 3 6 )



Ơ ơ a



g ọ i là h ệ c á c p h ư ơ n g t r ìn h H a m ilt o n .

X é t m ộ t d ạ i l ư ợ n g v ậ t lý đ ư ợ c d i ễ n t ả d ư ớ i d ạ n g m ộ t

các



t



b iến s ố c h ín h



tắc



ỡa, 7Ta, a — 1 , 2 , . . . ,



s



hàm



F



của



v à c ó t h ể là c ủ a c ả th ờ i g ia n



n ữ a . S ự t h a y đổi c ủ a đ a i l ư ạ n g n à y t h e o th ờ i g i a n đ ư ơ c x á c đ ị n h b(Vi



đ ạ o h à m to àn p h ần



dF _ d F

dt



xr^ (/ d F



1.



d

ỞF

F



.



\



dt



S ừ d ụ n g c á c p h ư ơ n g t r ì n h H a m i l t o n ( 3 6 ) t a c ó t h ể v i ế t lạ i h ệ t h ứ c t r ê n

như sau



d F _ dF_ V - (dF^dH_ _ d F Ở H \

dt ~ dt

V d 6 a dixa

d n a dOa /

19



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

IV. Tính đồng dang cơ hoc*)

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×