Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
I . Phép biến dổi Lorentz

I . Phép biến dổi Lorentz

Tải bản đầy đủ - 0trang

chiếu và là tương đối: Nếu trong hê quy chiếu qn tính



K



mơt biến



cố x ả y r a t ạ i đ i ể m có t ọ a đ ộ ( x , y , z ) v à ò t h ờ i đ i ể m í t h ì t r o n g hệ quy

c h iế u q u á n t í n h K ' b i ế n cố đó x ả y r a tại đ i ể m có t ọ a độ ( x ' , y ' , z r) v à



ở thời điểm t'. Các đại lượng x',y',z',t' là các hàm của x ,y ,z ,t. Mở



rộng các công thức biến dổi Galileo, ta thừa nhận rằng đó là các hàm

tuyến tính đẳng cấp. Vì bây giờ thời gian gắn liền với hệ quy chiếu,

giống như các tọa độ không gian, cho nên các tọa độ không gian cùng

với thời gian hợp thành các tọa độ trong không-thời gian bốn chiều

(x ,y ,z ,t).

X é t h ai b i ế n cố



Z i,ti)



v à [x 2 , y 2, Z2 J 2 ) t r o n g hệ q u y c h iế u



và giả sử các tọa đô không-thời gian của hai biến cố này trong hộ

quy chiếu K ' là { x \ , y [ , z [ , t \ ) và [x'2 , y r2 , z'2 ,t'2 ). Ta đặt

K



i i - * a = A f,



x i - x 2 = A z,



yi - y2 = A y ,



t\ - t'2 = A t',



x\ - x'2 - A x ',



y[ - y'2 = A y ',



- z2 - A 2 ,



z\ - z'2 = A z'



và định nghĩa

$12 = c2A í 2 - A x 2 - A y 2 - A z 2,



s i = c2A í'2 - A x '2 - A y '2 - A z*



(2)



là khoảng giữa hai biến cố trong hệ quy chiếu tương ứng. Vì A t 1, Ax',

Ay', Az ' là những hàm tuyến tính đẳng cấp của các biến số Aí, Ai,

A y , A z cũng như At, Ax, A y , A z là những hàm tuyến tính đẳng cấp



của các biến số A t ',



A x ', A y ',



Az \ cho nên cả Sj2 lẫn



đều là những



đa thức đẳng cấp cấp hai của cùng mơt biến số A í, A x , A y , A 2 hoặc

A t ', A x ' , A y ' ,



Az ' . Vì vận tốc ánh sáng có cùng một giá trị c trong c.ả



hai hệ quy chiếu cho nên s



\2và Sy 2phải đồng thời cùng bằng không



hoặc cùng khác không trong cả hai hệ quy chiếu. Để đảm hảo điều đó

ta chọn các cơng thức biến đổi tuyến tính đẳng cấp giữa các biến số



thuộc các tập hợp A t , A x , Ay, Az và A t ', Ax', A y ' , A z ' thế nào để

Sj2 và 5j22 tỷ lệ với nhau, với hệ số tỷ lệ có thổ phụ thuộc vào giá trị

V của vận tốc tương đối của hai hệ quy chiếu, thí dụ như

5 12 — a (^/ )5 1 2 -



76



Đổi chỗ các hê K và K \ ta có



s 212 _— a ( V ) s \ \

T ừ đó suy ra



a[V)2 = 1,



a (y ) = ± 1 .



V ì a (K ) là hàm liên tục của V và có giá trị bằng 1 khi V — 0, cho nên

ta phải lấy dấu +, nghĩa là phải chọn a (l') = 1. Vậy

/2 _

ỖÌ2 —



.2

12



(3)



í



nghĩa là khoảng S j2 phái khơng thay đổi khi ta chuyển từ một hệ quy

chiếu quán tính sang một hệ quy chiếu quán tính khác, s ử dụng tính

bất biến này ta hãy thiết lập cơng thức biến đổi giữa các tọa độ không

- thời gian trong hai hệ quy chiếu quán tính.

Để cho đơn giản ta xét trường hợp hệ quy chiếu K' chuyển động

đối với hệ quy chiếu K với vận tốc hướng theo trục Ox và có giá trị

V . T a chọn các trục Ox', Oy'. Oz' song song với các trục Ox, Oy , Oz

và có

A y' = A y , A z' = A z.

(4)

Điều kiện bất biến của khoảng giữa hai biến cố trò thành

c2A í



/2



— A x'2 =



c2A í



2



— A x 2.



(5)



Các hàm c A í, A x đẳng cấp tuyến tính của c A í', A x' thỏa mãn phưomg

trình (5) có dạng tổng qt sau đây

Aa: = Ax'ch ĩp + cAt'shtp,

c A í = Ax'ship + cAưchỉp,



(6 )



trong đó tị) là một tham số thực phụ thuộc V . T a giả sử rằng ồr một

thải điểm ban đầu nào đó gốc tọa độ của hai hệ quy chiếu trùng nhau,

chọn (2^2 iV2 i z 2 ì^ĩ)ì (^25

là hai biến cố bao gồm tọa độ của

các gốc tọa độ ò thời điểm ban đầu này,

x 2 = y2 = z2 = t2 = 0,

x 2 = Vĩ ~ z 2 ~



^2



=



77



và ký hiệu {xu y u z u ti), {x \,y \,z [,t\) là (x,y,z,t), ( x ',y ',z ',í' ) theo

thứ tự. Đó là các tọa độ không - thời gian của cùng một biến cố trong

hai hệ tọa độ đang xét. Các công thức (4) và (6) bây giờ tr& thành

X =



x 'c h ip + c t'sh ip ,



*2 =: í2 : ,



(T)



ct = x'ship + ct'chip.



Gốc tọa độ của hệ quy chiếu K' là diểm



X = 0, y' — 0, z' — 0.

Nó có các tọa độ không-thời gian sau đây trong hệ quy chiếu K:

X — ct'ship ,



y



= 0,



2



=



0



,



ct = ct'chip



và do đó

— = thrị).



ct



V ì rằng gốc tọa độ của hệ quy chiếu K ' chuyển động với vận tốc hướng

theo trục Ox và có giá trị V cho nên X = Vt. Ta suy ra

thV> = —



(8 )



c



và do đó



V

ahl/ỉ =



7

V1“ T



^



= 7 = ^ 7 •

V



Vậy ta thu được các công thức biến đoi Lorentz



(9)



II. C á c h ê q u à c ủ a p h é p b iế n dổi L o r e n t z



a)

Cho một đoạn thẳng nằm cố định trong hệ quy chiếu K doc

theo trục Ox với dộ dài

^0 = Xị — x 2.

Độ dài của đoạn này trong hệ quy chiếu K' là

i = Xị — x 2,



mà hai tọa độ x\,x'2 được đo ờ cùng một thời điểm t' trong hệ quy

chiếu K'. Do đó



x\ + Vt'

*1 =



7=



x' + Vt'



: . ■>



V2



*2 =



72



/

r



- 7



Suy ra



x\ - x'2

V2 ’



X\ - x 2



1



c2



nghĩa là



c2

hay là

/



V2



e=



( I2 >



Vậy độ dài í trong hệ quy chiếu chuyển động ngắn hơn độ dài trong hệ

quy chiếu đứng yên cùng với đoạn thẳng đã cho: có sự co lại khi quan

sát từ một hệ quy chiếu chuyển động-sự CO Lorentz. Nếu xét một vật

có thể tích Vo thì trong hệ quy chiếu chuyển động ta đo được thể tích



V =



Vo gọi là thể tích riêng,



£o



V o \ / l - ^ .



c



(13)



gọi là độ dài riêng.

79



b)

Xét một chiếc đồng hồ chuyển động cùng với hệ quy chiếu K '

và hai biến cố xảy ra ờ cùng một điểm không gian x' trong hệ quy chiếu

K' nhưng ờ hai thời điểm khác nhau t\ và t'2. Khoảng thời gian giữa

hai biến cố trong hệ quy chiếu K ' là

A t' = t'2 - t[.

Hãy tìm khoảng thời gian At = í 2 - *1 giữa hai biến cố này trong hệ

quy chiếu đứng yên K. Ta có



t X—



t\ + Vx'



12 —



t[ + Vx'



Do đó

*2 - t



hay là

A t'



A t' là thời gian đo dược bằng chiếc đồng hồ cùng chuyển động với hệ

quy chiếu K ' , gọi là thời gian riêng A Í 0j A í là thời gian đo được khi

quan sát chiếc đồng hồ chuyển động từ một hệ quy chiếu cố định. Ta



A to

(14)

At =



và kết luận: thời gian riêng của một vật chuyển động luôn luôn nhổ

hơn thời gian mà ta đo đươc từ hệ quy chiếu cố định. Nói khác đi, thài

gian mà ta đo được từ hệ quy chiếu cố định luôn luôn lớn hơn thời

gian riêng chỉ trên chiếc đồng hồ chuyển động cùng với hệ quy chiếu

chuyển động-sự giãn nở của thời gian.



SO



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

I . Phép biến dổi Lorentz

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×