Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
1 . Dao đông tư do một chiều

1 . Dao đông tư do một chiều

Tải bản đầy đủ - 0trang

Tương ứng với cân bằng bền là vị trí của hê mà tại đó thế năng

ư(0) của nó có một cực tiểu; sự lệch ra khỏi vị trí đó sinh ra một lực

—dư/do, có xu hưấng kéo hệ ngược trờ lại. Ta gọi giá trị tưcmg ứng

của tọa độ suy rộng tại vị trí cân bằng bền là Oq. Với nhửng độ lệch

nhổ ra khỏi vị trí cân bằng, trong các khai triển của hiệu U(9) — ư(60)

theo các lũy th ừ a của 6 — 6 chỉ cần giữ lại số hang dầu tiên không triệt

tiêu là đủ. Trường hợp chung số hạng như vậy là bậc hai:



0



U ( 0 ) - ư ( 6 o ) ^ ( ớ - ớ c)2

và k là một hệ số dương (k là giá trị của đạo hàm cấp hai U''(6) tại

6 — 6o), T ừ n a y về s a u ta sẽ tính t h ế năng từ g iá trị c ự c tiểu c ủ a nó

(nghĩa là đặt U(9o) = 0) và dùng ký hiệu



(74)



x = d -e c



để chỉ độ lệch của tọa đô đối với giá trị của nó tại vị trí cân bằng. Như

thế



U(x) =



ỈCT^



— .



(75)



Động năng của hệ với một bậc tự do trong trường hợp tổng quát

có dạng



ịa{0)ồ2 = ịa[0)x2.

Cùng vớisự gần đúng như trên, ta có thể thay a[0) bằng giá trị của

nó tại B —6q.Để được gọn ta ký hiệu

a(ỡ0) = m.

Ta chú ý rằng lượng m chỉ trùng với khối lượng khi X là tọa độ Descartes

của hạt mà thôi.

Cuối cùng ta được biểu thức sau đây cho hàm Lagrange của một

hệ thực hiện những dao động nhổ một chiều



£ = ^

50



- k4



-



(76)



(mơt hê như trên thưòng goi là dao đông tử rnôt chiều). Tương ứng

với hàm Lagrange đó phưcmg trình chuyển động là

m ỉ + kx =



0,



(77)



hay

( 78)



với ký hiệu

(79)



u =



Hai nghiệm độc lập bâc nhất với nhau của phưcmg trình vi phân

tuyến tính (78) là COS ut và sinu>í, thành th ử nghiệm tổng quát của

phương trình là

X = c Xcos u t + C sin u t .

(80)



2



Biểu thú-c đó cũng có thể viết dưới dạng

X



(81)



= acos(w£ + a).



V ì cos(wí + a) = cos ư t COS OL—sin U)t sin (X, nên so sánh với (80) ta thấy

rằng các hằng số tùy ý a và a liên hệ với các hằng số C i và c2 bỏ-i

những hệ thức

,



_



C2



tg a = - —



(82)



Thành thử hệ thực hiện một dao động điều hòa xung quanh vị trí cân

bẳng bền. Hệ số a canh thừa sổ tuần hoàn trong (81) gọi là biên độ

dao động, còn đối số của cosin goi là pha: a là giá trị ban đầu của pha;

dĩ nhiên nó phụ thuộc vào sự lựa chọn gốc tính thời gian. Đại lượng u>

gọi là tần số góc của dao động, nhưng trong vật lý lý thuyết ta thường

gọi nó đơn giản là tần số, như ta sẽ gọi từ nay về sau.

Tần số là đặc trưng cơ bản của dao động không phụ thuộc vào

những điều kiện ban đầu của chuyển động. Theo cơng thức (79) tần

số hồn tồn phụ thuộc vào những tính chất của CO' hệ. Nhưng ta nên

nhấn mạnh rằng tính chất đó của tần số liên quan đến tính chất nhỏ

bé của dao động mà ta đã giả thiết, và khi sang những phép gần đúng

51



cao hơn thì tính chất đó khơng còn nữa. v ề phương diên tốn hoc tính

chất đó liên quan đến sự phụ thuộc bậc hai của thế năng vào tọa độ

th à n h th ử điều đó khơng xảy ra nếu với hàm u ( x ) tại X = 0 ta có cực

tiểu cấp cao hơn, nghĩa là

u ~ x n,



n > 2.



Năng lượng của hệ thực hiện những dao động nhỏ là



X2

kx 2

E = T71-— + - = 2



2



=



m ,. 2

~ ( i2+



2

w



V



2



;



hay, thay (81) vào đó,



E — -mu>2a2.



(83)



Năng lượng phụ thuộc vào bình phương biên độ dao dộng.

Thơng thường, để được thuận tiện, người ta biểu diễn sự phụ

thuộc của tọa độ của hệ dao động vào thời gian dưới dạng phần thực

của một biểu thức phức



X= Re{Ae,wt},



-(84)



& đó A là một hằng số phức; viết số đó dưới dạng

A = aeia

ta lại quay về biểu thức (81). Hằng số A gọi là biên độ phức; mơđun

của nó trùng với biên độ thơng thường, còn đối số thì trùng với pha

ban đầu. Với các thừa số mũ ta thực hiện các phép tính tốn học dễ

hcm là với các thừa số lượng giác, vì phép đạo hàm khơng thay đổi

dạng các biểu thức đó. Trường hợp chỉ phải thực hiện những phép

tính bậc nhất (cộng, nhân với những hệ số khơng đổi, lấy đạo hàm, lấy

tích phân), nói chung, ta có thể bỏ dấu lấy phần thực, mà chi quay lại

dấu đó khi nào đến kết quả tính cuối cùng.



52



B ài tâp



Biểu diễn biên độ a và pha ban đầu


X = asin(w í + tp) theo tọa độ ban đầu Xo và vận tốc ban đầu v0.

1.



2. T ìm tỷ số các tần số U) và ui' của những dao động của hai phân tử

lưỡng nguyên tử gồm có những nguyên tủ' đồng v ị khác nhau có các

khối lượng tương ứng bằng m j, m2 và m\, m'2.

3. T ìm tần số dao động của một chất điểm có khối lượng m được buộc

vào một lò so mà đầu kia của lò so được gắn chặt vào một điểm eố

định A trong hai trường hợp:

a) Chất điểm có thể chuyển động khơng ma sát dọc theo một trục

nằm ngang cách điểm A một đoạn í (hình 2.10a)

b) C h ấ t điểm có thể chuyển động khơng ma sát dọc theo một đường

t r ò n b á n k í n h r có điểm cao n h ấ t n ằ m t r ê n đ ư ờ n g t h ẳ n g đ ứ n g đi q u a



điểm A và cách điểm A một đoạn i (hình 2. 10 b). Bỏ qua tác dụng của

trọng lực.

Cho biết lực căng của lò so là F.



Hình 2.10a



Hình 2.10b



4 . Một con lắc chiều dài £ khối lượng m có điểm treo là một chất điểm

khối lượng ụ. có thể chuyển động khơng ma sát dọc theo một trục nằm

ngang. Tìm tần số dao động của con lắc.



53



5. Có mơt đưòng cong mà một chất điểm chuyển đơng khơng ma sát

trên đường cong đó trong trọng trường có tần số dao động khơng phụ

thuộc vào biên độ. Xác định phưcmg trình của đường cong đó.

6 . Xác định ảnh hường gây nên bỏri chuyển động quay của Trái đất

đối với những dao động nhỏ của con lắc (gọi là con lắc Foucault).

2. D a o dộng cư ỡ ng bức

%T a h ã y chuyển sang nghiên c ử u n h ữ n g d a o độ n g c ủ a m ộ t hệ chịu



tác dụng của một ngoại trường thay đổi; một chuyển (lộng như vậy

gọi là dao động cưỡng bức, khác với những chuyển động đã khảo sát ò

trên gọi là dao động tự do. Và cũng như ò trên, những dao động giả

thiết là bé nên do đó ngoại trường cũng phải hiểu là đủ yếu, vì trong

trư ờ ng hợp trái lại, trư ờ ng có thể gây nên những chuyển dời X rất lớn.

Trong trường họrp đang xét đồng thời với thế năng riêng - k x 2

hệ còn có một thế năng khác Ue(x,t) liên hệ đến tác dụng của ngoại

trường. Khai triển số hạng phụ đó thành chuỗi theo những lũy thừa

của lượng bé X, ta dược

u,{x,t) ~ u,(0,t) +



| I=0.



SỐ hạng thứ nhất là một hàm chỉ của thời gian và vì vậy có thể bỏ đi

trong hàm Lagrange (xem là đạo hàm toàn phần theo t của một hàm

khác nào đó của thời gian). Trong số hạng thứ hai —dUe/dx là một

“ngoại lực” tác dụng lên hệ tại vị trí cân bằng và là hàm cho sẵn của

thòi gian. Ta ký hiệu nó là F(t). Như vậy, trong thế năng xuất hiện

một số hạng —x F ( í ) , thành thử hàm Lagrange sẽ là

Tĩlip“

L=



2



ìcx^

2



+ lF (í)-



Phương trình chuyển động tương ứng là



m i + kx — F(t)

54



(85)



(86)



m

ở đây ta lại đưa vào tần số u của dao động tự do.



Như đã biết, nghiệm tổng qt của một phương trình vi phân

tuyến tính khơng thuần nhất với hệ số khơng đổi có dạng tổng hai biểu

thức X — Xo + Xj với XQ là nghiệm tổng qt của phương trình thuần

nhất, còn Xj là tích phân riêng của phưcmg trình khơng thuần nhất.

Trong trường hạp đang nói ò đây Xo chính là dao động tự do mà ta

đã khảo sát.

Ta hãy xét trưòng hợp đặc biệt quan trọng khi lực cưỡng bức

cũng là một hàm tuần hoàn của thời gian với tần số 7 :



F(t) = /cos(^ í + /?).



(87)



Ta tìm tích phân riêng của phương trình (81) dưới dạng



Xi = 6cos(' + /?)

với cùng thừa số tuần hồn. Thay vào phưomg trình đó ta được



m( CƯ2 —/72)

Thêm nó vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, ta được

tích phân tổng qt dưới dạng



7



X = acosiwi + a) H----- -Ị—ỉ --- ĨT COSÍ Í + (3).

m [ừz - Y )



(8 8 )



Nhửng hằng số tùy ý a và a được xác định theo nhửng điều kiện ban

đầu. Thành thử dưới tác dụng của một lực cưỡng bức tuần hoàn

hệ thực hiện một chuyển động là tổng họp của hai chuyển động: một

chuyển động với tần số riêng u của hệ, một chuyển động với tần số 7

của lực cưỡng bức.

55



Nghiệm (88) không áp dụng được trong trường hợp gọi là cộng

hưổrng, khi tần số của lực cưỡng bức trùng với tần số riêng của hệ. Để

tìm nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động trong trường hợp

này ta viết lại biểu thức (88) dưới dạng sau đây với những hầng số ký

hiệu theo một cách khác:



X — acos(wí + a) H---- — — [cosí^ỉ + /3) — cos(wỉ + Ị3)}.

m(u>* —ỳ *)

K h i “7 —►u số hạng thứ hai có dạng vơ định



Theo quy tắc PHopital



ta được

/



X = acos(u>í + a) + - - — í sin(wt + /?).

2mu>



(89)



Như vậy, trong trường hợp cộng hưởng biên độ dao động tăng bậc

nhất theo thời gian (cho đến khi dao động khơng còn là bé nữa và tất

cả lý thuyết trình bày ờ trên khơng còn áp dụng được).

T a hãy giải thích thêm khi 7 = u + £ với e là một lượng bé, nghĩa

là gần sự cộng hưỏrng, thì những dao dộng sẽ như thế nào. T a hãy viết

nghiệm tổng quát dưới dạng phức như sau:

X = Aeiu,t +



= {A + Beietỹ ut.



(90)



V ì lượng A + Beist biến thiên chậm trong khoảng thời gian bằng chu

27J-



kỳ — cùa thừa số eiut nên chuyển động gần cạnh sự cộng hưồng có

thể xem như là dao động nhổ, nhưng với biên dộ biến đổi (số hạng

“không đổi” trong pha của dao động cũng biến đổi). Gọi biên độ là c,

ta có



e = \A + BKtị.

Viết A và B tương ứng dưói dang ae’ 01 và 6e‘^, ta đươc

c2 = a2 + 62 + 2


(91)



Thành thử biên độ dao động tuần hoàn với tần số £ và biến thiên giữa

hai giới hạn

\a —6| < c < a + b.



Hiên tượng đó goi là phách.

Phương trình chuyển dộng (86) có thể lấy tích phần được cả trong

trường hợp lực cưỡng bức F(t) là tùy ý. Để dễ thực hiện ta viết

phương trình đó dưới dạng

—(x +

dt



í wi )



—iuì{± + iuix) = —F(t)

ĨĨI



hay

=



(92)



f = X + iuix.



(93)



nếu ta đưa vào lượng phức



Phương trình (92) khơng còn là bậc hai, mà là bậcnhất.Nếu khơng

kể đến vế phải thì nghiệmcủa nó sẽ là f =Aeiwt với A làmột hằng số.

Theo ngun tắc chung ta tìm nghiệm của phương trình khơng thuần

nhất dưới dạng



( = A(t)e'“‘,

với một hàm j4(£)> và được phương trình



Ả{t) = ^ F ( í) e " * wí.

m

Lấy tích phân phương trình đó, ta được nghiệm của phương trình (93)

dưới dạng

(94)

với hằng số tích phân í 0 chọn là giá trị của (; tại thời điểm t = 0. Đó

chính là nghiệm tổng qt phải tìm . Hàm x [ t ) sẽ là phần ảo của biểu

thức (94) chia cho iu. (Ở dây dĩ nhiên lực F{t) phải viết dưới dạng

thực).

Năng lượng của hệ thực hiện chuyển động cưỡng bức dĩ nhiên

khơng bào tồn; hệ lấy thêm năng lượng do nguồn ngoại lực cung cấp.

57



Ta hãy xác định năng lượng toàn phần đươc truyền cho hê trong cả

thời gian tác dụng của lực (từ -oo đến + 00), giả thiết năng lượng ban

đầu bằng không. Theo cơng thức (94) với giới hạn tích phân dưới bkng

—00 chứ khơng phải bằng khơng và với í ( —00) = 0, ta có khi t —>00

+00



k(°°)í



/ m



771



—iut



dt



— 00



Mặt khác, năng lượng của hệ là

j ( i í + UV ) = | | f | a .



(95)



Th ay 1^(00)|2 vào đó, ta được năng lượng truyền cho hệ mà ta phải

tìm dưới dạng

00



E



-



dt

ầ \



í



— 00



(96)



m



Năng lượng đó được xác dịnh bổri môđun thành phần Fourier của lực

F(t) với tần số bằng tần số riêng của hệ.

Nói riêng, nếu ngoại lực tác dụng chỉ trong một khoảng thời gian

ngẳn (bé đối với l/u>) thì ta có thể đặt e~iut = 1. Thế thì

00



E = ầ U **»)'■

— 00



Kết quả

đó có thể biết trước: nó thể hiện

A

• sự

• kiện

t là lực

• đoản thời

truyền cho hệ xung lượng / Fdt mà không kịp gây nên một sự chuyển

dời đáng kể trong thời gian đó.

B à i tậ p

1.

Xác định dao động cưỡng bửc của một chất điểm có tần số dao

động U), đứng yên tại vị trí cân bằng ở thời điểm t = 0 và chịu tác

dụng của một lực F(t ) trong các trường hợp sau đây:



58



a) F{t) = Fo = const.

b) F(t) = at.

2 . Xác định biên độ dao động sau thời điểm T của một chấtđiểm dao

động với tần số u/, đứng yên tại vi trí cânbằng ờ thời điểm t = 0 và

chiu tác dụng của một ngoại lưc F(t) trong các trường hợp sau đây:



Í



t < 0,



o,



0 < t < T,

Fo)



Í

Í

{



t > T.



t < 0,

Fo 0 < t < T,



o,



0,



t > T.



t < 0,



o,



F oị,



0 < t< T ,

t > T.



0,



Fo sin wt,



t < 0,

0 < t < r , với r = — ,



0,



t > T,



0,



3. D a o đơng của hê có nhiều bâc t ư do

Lý thuyết dao động của những hê có s bậc tự do cũng được xây

dựng giống như lý thuyết của dao động một chiều mà ta đã khảo sát.

Giả thiết thế năng u của hệ xem là một hàm của những tọa độ suy rộng

Ba [a — 1 , 2 , . . . , 5) có cực tiểu tại 6a — 6a0. Đưa vào những chuyển

dời bé

x a =



@a ~



^



0-0



(9 7 )



và khai triển u theo các lượng đó đến những số hạng bậc hai, ta được

thế năng dưới dạng toàn phương xác định dương

59



u =ị L

a,b



k«b*a*b,



(98)



trong đó ta lai tính thế năng từ giá tri cực tiểu của nó. V ì các hê số

ỊcaỊ, và kba nằm trong (98) được nhân với cùng một đại lưạng xhx a nên

ta thấy rõ rằng nhửng hệ số đó có thể xem là đối xứng đối với những

chì số của nó

kab — kba •



Còn trong động năng mà trường hợp chung có dạng

.



2



a,6



ta đặt trong các hệ số 6a = 0ao rồi ký hiệu những hằng số aaỊ,(0o) bằng

mat,, ta sẽ được'-động năng dưới dạng một dạng toàn phương xác định

dương

5 ^ 2 r n abx ax b.



(99)



a tb



Những hệ số m ab ta cũng ln ln có thể xem là đối xứng theo các

chỉ số

T ĩĩa b — ^ b a *



Thành thử hàm Lagrange của một hệ thực hiện những dao động nhỏ



L — — ^ ^{p^ab^a^b ~ kabx ax b) •

a ,b



Bây giờ ta hãy thiết lập những phương trình chuyển động. Để

tính những đạo hàm nầm trong các phương trình đó ta hãy viết vi

phân tồn phần của hàm Lagrange

d L — ~ ^ị~^ịĩĩiỊiỊ)XQ(l%b



tyIịxỊịXịịCỈXịi



ÌCqỊjXq(£xị)



k abxbdxa) .



a ,b



V ì dĩ nhiên giá trị của tổng không phụ thuộc vào ký hiệu chỉ số lấy

tổng nên ỏr các số hạng thứ nhất và thứ ba nằm trong các dấu ngoặc

ta đổi a thành 6 và 6 thành a. Chú ý đến tính chất đối xứng của các

hệ số m ab và kab, ta được

dL —



[ĩ7ỉ(iỊỊXị)(ỈXa

a ,b



60



kabXfadx a ) ’



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

1 . Dao đông tư do một chiều

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×