Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương I : NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ DỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC

Chương I : NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ DỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC

Tải bản đầy đủ - 0trang

T a hãy



làm



b iến th iê n c á c



Ta (t)



hàm



n h ử n g lư ợ n g v ơ c ù n g bé



c(í),

* « ( * ) -*■ r L ( 0



=



Ta{t)



+ 5 r a (í).



(5)



Đ ộ n g n ă n g to à n p h ầ n r ( r i , r 2 , . . . , r j v ) b iến th iê n n h ư s a u

< 5 T (ri,r2 , •. • ,r jv )



^ ^



wigTotfiYgc



Ct



= ỵ , m ai ± 6 r a

ot

d



^ ^^



^ ^ m»rQ<í>ra.



a



at



D ù n g p h ư ơ n g trìn h (3) t a có



- £



maraSra = £



a



gi^



ị - .—



Ot



a



= <5ỉ/(r1,r2,...,r ^ ;í)

v à do đó th u được hệ th ứ c



ST(ru t 2, . . . , r N) = ^ ^ m ara<5ra + ồỉi(r1, r 2 ,...,r ;v;í)

a

Đ ặ#t

L (r



1 , r 2>. . . , r i v ; r 1 , f 2,



. . .



1 rA r;í)



= r (r i,r 2,...,rjv) - U(rltr2, . . . , r N;t),

t a v i ế t lạ i h ệ t h ứ c n à y n h ư s a u



6 L[Y\)T 2 i • • •



1*1 y **2 ,



• • • ) T jv5



d



i)



^



/



^



<*



N h â n cả hai v ế vớ i



dị



rồ i lấ y t í c h p h â n t h e o



t



từ



tị



đ ế n í 2, t a c ó



Ỉ2





S L ị r



1 >1 * 2 , . . .



j r j v Ị r i , r 2 í * - - ) r ; v



Ị í ) cỉí



ti



^^



r T C a ^ o r ^ a t



a

r7ac * rCK( Í 2 ) ^ r a ( Í 2 ) -



=



Ot



^



r n “ 1M



í l ) ,5r <*(í i ) -



(6)



Ta đăt

*2



s







=



L ( r i1r



2,



. . . l r j ự ; r i , r 2 , . . . B, r i v ; O rfí



(7 )



*1

v á q u y ước răn g



ổra(í i) = ổra(í2) = 0.



( 8)



K h i đó



12

(55 =



Ị SL{ r 1 , r 2 , . . . , r i V; r 1 , r 2



r^v; í ) ^



0-



=



(9 )



11

H àm



L(ri,r



2, . ..



, r A r ; i * i , r 2 » • • ■ ,ỸN]t) g ọ i l à h à m



L a g r a n g i a n , đ ạ i lư ợ n g 5

dụng.



P h é p b iến th iên



L agran ge hoặc



gọi là tíc h p h â n tá c d ụ n g h o ặc p h iế m h à m tá c

(5) vớ i c á c h à m



v ơ c ù n g b é <5ra (í) t h ổ a m ã n



đ iề u k iệ n (8 ) là v iệ c t h a y t h ế c á c q u ỹ đ ạ o c ó t h ậ t r



a (t)



củ a các chất



đ iể m b ằ n g c á c q u ỹ đ ạ o k h ơ n g có t h ậ t r ấ t g ầ n cá c q u ỹ đ ạ o có t h â t v à có

c h u n g đ iể m đ ầ u v à đ iể m c u ố i. C ô n g t h ứ c (9 ) c h ứ n g tổ r ằ n g b iế n th iê n

c ủ a tíc h p h â n tá c d ụ n g tro n g p h é p b iến th iên nói trê n c ủ a c á c q u ỹ đ ạ o

phải b ằn g không







c ấ p m ộ t v à d o đó tích p h ân t á c d ụ n g khi cá c q u ỹ



đ ạ o là c á c q u ỹ đ ạo th ậ t p h ả i c ó g iá trị c ự c tri so vớ i c á c g iá trị khi c á c

q u ỹ đ ạ o là c á c q u ỹ đ ạ o k h ơ n g có t h ậ t lâ n cậ n q u ỹ đ ạ o th ậ t.

C h ú ý r ằ n g n ếu ta th ê m v à o b iể u th ứ c c ủ a h à m L a g r a n g e m ộ t số

h ạ n g c ó d ạ n g đ ạo h à m to à n p h ầ n th e o th ờ i g ia n c ủ a m ộ t h à m c ủ a c á c

t ọ a đ ộ v à th ờ i g ian

Z / ( r j , r 2 )" • •



► Jj(r i,r

+



2 ) . . . ,rỊ\Ị ] r 1 5



, . . . )



TỊtf Ị í)



df{ r i , r 2 ) . . . , r N ]t)

dt



t h ì t h e o đ iề u k iện (8) b iế n t h iê n c ủ a t íc h p h â n t á c d ụ n g



s



không th ay



đ ổ i k h i L a g r a n g i a n t h a y đổi n h ư v ậ y v à d o đ ó c á c p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n

đ ộ n g c ũ n g k h ô n g t h a y đ ổ i.

X u ấ t p h á t từ đ ịn h lu ậ t N e w t o n t h ứ h ai ta đ ã th iế t lập đư ợ c tín h

c ự c t r ị c ủ a tích p h â n t á c d ụ n g .



B â y g iờ c h ú n g t a h ã y th ừ a n h ậ n tín h



3



c ư c tri c ủ a tíc h p h â n t á c d u n g , x e m n h ư đ ó là m ô t tiê n đ ề, m ô t n g u y ê n

lý c ủ a C ơ h ọ c , g ọ i là n g u y ê n lý t á c d ụ n g cự c trị.



S a u n à y t a sẽ t h ấ y



r ằ n g k h ô n g p h ả i ch ỉ c ó c á c đ ịn h lu ậ t c ủ a C ơ h ọ c, m à t ấ t c à c á c đ ịn h

l u ậ t c ù a V ậ t l ý đ ề u c ó t h ể s u y r a t ừ n g u y ê n lý t á c d ụ n g c ự c t r ị . N g u y ê n

l ý t á c d ụ n g c ự c t r ị l à n g u y ê n l ý c ơ b ả n v ạ n n ă n g c ủ a t o à n b ộ V ậ t lý

học.



T r o n g ch ư ơ n g n à y c h ú n g t a th iết lập cá c p h ư ơ n g tr ìn h v à các



đ ị n h l u ậ t c ơ b ẩ n c ủ a C ơ h ọ c x u ấ t p h á t t ừ n g u y ê n l ý t á c d ụ n g c ự c tr ị.



II. P h ư ơ n g tr ìn h L ag rang e

N



X é t m ộ t hệ cơ học g ồ m

ri,r



2,



...



,T n



củ a ch ú n g có /



c h ấ t đ iểm m à g iữ a c á c v e c tơ tọ a độ



m ố i liê n k ế t d i ễ n t ả b ờ i /



p h ư ơ n g trìn h



đ ộ c lập



F i [ T i , T 2, . . . , T N ]t) = 0 ,



i — 1,2,...,/.



(1 0 )



V i ệ c g iả i h ệ p h ư ơ n g t r ìn h g ồ m c á c p h ư ơ n g tr ìn h s u y r a t ừ c á c đ ịn h

l u ậ t N e w t o n v à c á c p h ư c m g t r ì n h ( 1 0 ) d i ễ n t ả c á c liê n k ế t t h ư ờ n g r ắ t

p h ứ c tạ p . H ệ c á c p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e s u y r a từ n g u y ê n lý tá c d ụ jig

c ự c trị tư cm g đ ư cm g v ớ i hệ p h ư ơ n g tr ìn h nói trê n n h ư n g v iệ c n g h iê n

c ứ u dơ n g iả n hơn.

Đ ể th iế t lậ p c á c p h ư ơ n g t r ìn h L a g r a n g e đ ầ u t iê n t a b iểu d iễ n 3

t ọ a độ D e s c a r t e s c ủ a c á c c h ấ t đ iểm dưới d ạ n g c á c h à m c ủ a s =

th ô n g số độc lập



6l t 02 l . . . ,6g

9a,



a =



3N —/



g ọ i là c á c t ọ a đ ộ s u y r ộ n g v à b iể u d iễn



h à m L a g r a n g e dưới d ạ n g m ộ t h à m

cá c tọ a độ su y rộn g



N



L ( 6 1 , ớ2 , . .



•,



0g\ 0 1 , 0 -2 , . . . ,



ớa ; í ) c ủ a



1 , 2 , . . . , 5 , v à c á c đ ạ o h à m th e o th ờ i g ia n



c ủ a c h ú n g g ọ i là c á c v ậ n tốc s u y rộ n g



( v à c ũ n g cò n có t h ể là h à m c ủ a th ờ i g ia n



t),



rồi t h i ế t l ậ p t í c h p h â n t á c



dụng



*2



s= I

Í1



4



L { 0 l , 62 , . . . , 03 -,Ịì j



2 , . . . , Ồ s\t)dt.



(1



1)



X é t b iế n th iê n c ủ a c ác h à m



Oa{t) ^



6a[t)



0 'a {t) = Oa{t) + 60a{t),



a



=



1 , 2 , . . . , 5,



(12)



t



vớ i cá c h à m v ô c ù n g bé

khoảng



ti < t < t 2



Ỏ9a(t)



c ó g i á trị t ù y ý tạ i m ọ i th ờ i đ iể m



t



tron g







8 9 a { h ) = M a { t 2 ) = 0.



(13)



H ã y tín h b iế n th iên c ủ a tíc h p h â n tá c d ụ n g



<2



6S =



6 L( 6 i ĩ 02 ì . . .







, ớ ơ;



0 | , 02 >"



••



,Ơ8\t)dt



ti



^2



Í V~^“ r ^



3L



r/i



=/ ụ







“+ 1



*1







T a có



/



I



J



II



d L ei



, _ ì dL ( d



—7~ỏởad t

dồa







\



/ ——(-7-ổ0a|dÉ



J



£i



dỏa^dt



V



-;ií(í* )-í< ẫ w *

ũ



d f d L \ cn J



*3



ẼL

dỏa



ti



D ùng điều kiện (13)



y



ú



dt\d ồ a'



Í2



0,



6 Ịa

ta th u đươc



«s



=



E

J/ ^

tị



í l r



\-dda



- x



dt í \d^ ồ aK '* -



"



-



(1 4 )



V ì rằng các h àm

khoảng



60a[t)



t\ < t < í 2



c ó c á c g iá tri t ù y ý



s



m o i th ờ i đ iể m



t



tron g



c h o n ê n t ừ đ i ề u k iệ n



6S

su y ra hệ







=



(15)



0



p h ư ơ n g tr ìn h đ ộ c lập



(16)

gọi là n h ữ n g p h ư ơ n g tr ìn h L a g r a n g e .

T r o n g tr ư ờ n g h ợ p đ ă c b iê t hệ g ồ m c á c c h ấ t đ iểm k h ơ n g c ó m ối

liê n k ế t n à o t h ì t a c ó t h ể c h ọ n c h í n h c á c t ọ a đ ộ D e s c a r t e s c ủ a c á c c h ấ t

đ iể m là m c á c t ọ a đ ộ s u y rộ n g . K h i đó c á c p h ư ơ n g trìn h L a g r a n g e



(17)

ch ín h là c á c p h ư ơ n g trìn h ch u y ể n đ ộ n g s u y r a từ đ ịn h lu ật t h ứ hai c ủ a

N ew to n .



N g a y c ả tr o n g trư ờ n g hợ p n à y n h iều kh i t a v ẫ n k h ô n g nên



d ù n g c á c t ọ a đ ộ D e s c a r te s là m t ọ a đ ộ s u y rộ n g m à d ù n g c á c tọ a độ

k h á c, th í d ụ n h ư d ù n g c á c tọ a đ ộ cự c khi tư ơ n g tá c g iữ a c á c h ạ t được

d iễ n t ả bở i c á c trư ờ n g x u y ê n tâ m .

C á c p h ư a n g tr ìn h L a g r a n g e c h ứ a c á c đ ạ i lư ợ n g

.,d—1 , 2



7ra —



dÒa



(18)



g ọ i là c á c x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g , ứ n g vớ i m ỗ i t ọ a đ ộ s u y rộ n g t a có m ộ t

x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g .

su y rộn g

(18)



6C n à o



Nếu hàm



Lagran ge



L



k h ô n g ch ứ a m ộ t tọ a độ



đó th ì th eo p h ư ơ n g tr ìn h L a g r a n g e ( 1 6 ) v à đ ịn h n gh ĩa



c ủ a x u n g lư ợ n g s u y r ộ n g tư ơ n g ứ n g



nc



t a t h ấ y r ằ n g x u n g lư ợ n g



s u y r ộ n g n à y k h ô n g t h a y đ ổ i t h e o t h ờ i g i a n v à là đ ạ i l ư ợ n g b ả o t o à n .

T ọ a độ su y rộn g



6C có



tín h c h ấ t n h ư v ậ y



được



g ọ i là t ọ a đ ộ v ò n g .



N ế u tọ a đ ô s u y rộ n g là th à n h p h ầ n c ủ a v e c tơ tọ a đ ộ D e s c a rte s thì

x u n g lư ợ n g s u y rộ n g tư ơ n g ứ n g là t h à n h p h ầ n c ù a v e c tơ x u n g h r ạ n g

th ô n g thư ờ n g



Pq =



6



rnra .



C á c p h ư ơ n g t r ìn h c ủ a tr ư ờ n g đ iên t ừ v à t ấ t c ả c á c t r ư c m g v ậ t lý

kh ác đ ề u c ó t h ể v iế t dư ớ i d ạ n g c á c phư ơ rrg t r ìn h L a g r a n g e s u y r a t ừ

n g u y ê n lý tá c d ụ n g c ự c trị vớ i tích p h â n tá c d ụ n g đư ợ c lự a ch ọ n m ộ t

cách th íc h h ợ p.



Bài tâ p

1.



T h iế t lập h à m L a g r a n g e v à c á c p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a co n



lắ c k é p p h ẳ n g g ồ m h a i c h ấ t đ i ể m k h ố i l ư ợ n g m i



t\



sợ i i â y k h ô n g đ à n h ồ i c h i ề u d à i







Í 2 , tron g



v à 7712 t r e o t r ê n h a i



đ ó c o n lắc t h ứ h a i đư ợ c



tre o v à o c o n lắc t h ứ n h ấ t (h ìn h l . l )

X



2.



T h iế t lập h à m L a g r a n g e v à c á c ph ư ơ n g trìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a co n



lắ c p h ằ n g k h ố i lư ợ n g m tr e o tr ê n sợi d â y k h ô n g d à n hồi c h iề u d à i £ m à

đ iể m t r e o c ó k h ố i l ư ợ n g

t r ụ c n ằ m n g a n g (h ìn h

3.



n



có th ể ch u yển đ ộ n g k h ô n g m a s á t th eo m ộ t



1 .2 )



T h i ế t lậ p h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a c o n lắc



p h ằ n g k h ố i lư ợ n g m tr e o t r ê n m ộ t sợi d â y k h ô n g đ à n hồi c h iề u d à i t

c ó đ iểm tr e o c h u y ể n đ ộ n g n h ư s a u :

a) C h u y ể n đ ộ n g đều vớ i tầ n số

b án k ín h



R



t h e o



m ộ t đư ờ ng tròn th ẳ n g đứ ng



(h ìn h 1 . 3 ) .



b ) D a o đ ộ n g n g a n g (h ìn h 1 . 2 ) th e o q u y lu ậ t

X



=



aCOS



u t .



7



c) D a o đ ô n g t h ẳ n g đ ứ n g ( h ì n h 1.4) t h e o q u y lu ậ t



y — acosut.



Hình l . s



Hình



1.4



4 . T h iế t lập h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g trìn h

c h u y ể n đ ộ n g c ủ a h ệ g ồ m m ộ t c h ấ t đ iể m có

k h ố i lư ợ n g r o i đ ư ợ c g ắ n v à o m ộ t đ ầ u c ủ a

m ộ t t h a n h c ứ n g k h ô n g t r ọ n g lư ợ n g c h iề u

dài



t



m à đ ầ u k ia đư ợ c tre o tạ i m ộ t đ iểm



c ố đ ịn h o , m ộ t c h ấ t đ iể m khối lư ạ n g m



2



được gắn v à o m ộ t đầu củ a m ộ t th an h cứ ng

k h ô n g t r ọ n g lư ợ n g c h iề u d à i



l



th ứ hai m à



đ ầ u k ia đ ư ợ c g ắ n v à o c h ấ t đ iể m kh ố i lư ợ n g



m\.



C h ấ t đ iểm m



2



chỉ có th ể ch u yển độn g



d ọ c th e o m ộ t t r ụ c t h ẳ n g đ ứ n g đi q u a đ iể m

treo c ủ a th a n h cứ n g th ứ n h ấ t



(h ìn h 1 . 5 ) .



C ả hệ q u a y q u a n h t r ụ c đó vớ i v ậ n tốc g ó c

n.



Hình 1 . 5



5 . T h i ế t lập h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g tr ìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t c h ấ t

đ i ể m k h ố i l ư ợ n g m c h u y ể n đ ộ n g t r o n g m ộ t t r ư ờ n g lự c đ ố i x ứ n g t r ụ c ó

th ế năng



U(z,p)



ch ỉ p h ụ th u ộ c v à o hai tọ a độ



trụ (d ù n g tọ a độ trụ ).



8



z







p



tro n g b a tọ a độ



6.



T h i c í lập h à m L a g r a n g e v à p h ư ơ n g trìn h c h u y ể n đ ộ n g c ủ a m ộ t c h ấ t



d i ể m k h ố i lư ợ n g m c h u y ể n đ ộ n g t r o n g m ộ t t r ư ờ n g lự c đối x ứ n g c ầ u có

th ế n ăn g



u(r)



chỉ p h ụ thuộc v à o k h o ản g c á ch r đ ến tâ m c ủ a trư ò n g



lự c (d ù n g t ọ a độ c ầ u ).



XII. Các đinh lu â t bảo to à n

C á c h ệ CO' h ọ c t h ư ờ n g c ó c á c t í n h c h ấ t đ ố i x ứ n g t h ể h i ệ n







tín h



b ấ t b iến c ủ a L a g r a n g i a n đối v ớ i c á c n h ó m b iế n đổi c ù a th ờ i g i a n v à

k h ô n g g ian .



T a h ã y c h ứ n g m in h r ằ n g tư ơ n g ứ n g v ớ i s ự b ấ t b iế n c ủ a



L a g r a n g ia n đối vớ i m ỗ i n h ó m



b i ế n đ ố i, n g h ĩ a l à t ư ơ n g ứ n g v ớ i m ỗ i



t í n h c h ấ t đ ối x ứ n g c ủ a th ờ i g ia n v à k h ô n g g ia n , t a có m ộ t đ ịn h lu ậ t

b ảo to àn .



C á c đ ạ i l ư ợ n g b ả o t o à n t h ư ờ n g đ ư ợ c g ọ i là c á c t í c h p h â n



chuyển động.



X. D in h l u â t b à o t o à n n ấ n g lư ơ n g to à n p h ầ n

X é t m ộ t hệ cơ học m à L a g r a n g ia n k h ô n g p h ụ th u ộ c tư ờ n g m in h

v à o th ờ i g ia n ,



T r o n g t r ư ờ n g h ợ p n à y L a g r a n g i a n t h a y đổi t h e o t h ờ i g i a n c h ỉ l à v ì c á c

tọ a độ s u y rô n g



9a(t)



v à cá c v ậ n tốc s u y rộng



9a(t)



t h a y đồi t h e o t h ờ i



g ia n , n g h ĩa là d o có sự ch u y ề n đ ộ n g c ủ a hệ cơ h ọc. T í n h đ ạ o h à m to à n

phần củ a



L



th e o thờ i g ia n , t a c ó



D ù n g p h irơ n g trìn h L a g r a n g e



í>



t a v i ế t lại b i ể u t h ứ c







trên c ủ a



n h ư sau



dt



T ừ đó su y ra rằn g

(19)



Đ ặt

( 20 )



E



t a t h ấ y rằ n g th eo p h ư ơ n g trìn h ( 1 9 )



E



p h ả i là m ộ t đ ại lư ợ n g b ả o to à n



dư ợ c g ọ i là n ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n c ủ a hệ. V ì d ộ n g n ă n g c ủ a m ộ t hệ



cơ học có d ạn g



Qt

còn vớ i th ế n ăn g



U(Ti,r 2 , . . .



c h o n ê n n ă n g lư ợ n g t o à n p h ầ n

năng



,r /v )



E



là m ộ t h à m c ủ a c á c v e c tơ t ọ a độ,



ch ín h là tổ n g c ủ a đ ộ n g n ă n g



T



v à th ế



u.

L a g ra n g ia n



L



không phụ



th u ộ c



t ư ờ n g m i n h v à o th ờ i g i a n



t







n g h ĩ a là c á c p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g k h ô n g t h a y đổi ( b ấ t b iế n ) khi

t a là m p h é p tịn h tiến th à i g ia n

đồng n h ất. V ậ y t ừ

b ả o to àn



2.



t



—>



t



+



ổt.



T a n ó i r ằ n g t h ờ i g i a n là



s ư d ồ n g n h ấ t c ủ a th ờ i g ia n s u y r a đ in h lu â t



n ă n g lư ọ m g t o à n



phần.



Đ ịn h lu ậ t b à o to à n x u n g lư ợ n g to à n



phần



T r o n g c á c p h é p tịn h tiế n k h ô n g g ia n t ấ t c ả c á c v e c tơ t ọ a đ ộ c ủ a

c á c c h ấ t đ i ể m c ủ a m ọ i h ệ c ơ h ọ c đ ề u b iế n đ ổi g i ố n g n h a u



10



ra(0 -►r^,(í) = ra(í) + 6p,a = l , 2 , . . . , N .



(21)



iNếu h ệ c a h ọ c m à t a x é t là ư iộ t h ệ k í n , n g h ĩ a l à k h ô n g c h ị u t á c d ụ n g

của



n g o ạ i t r ư ờ n g n à o , th ì c á c p h ư ơ n g t r ì n h c h u y ể n đ ộ n g p h ả i b ấ t b i ế n



dối



vớ ic á c



với



ỗp



p h é p t ị n h t i ế n ( 2 1 ) , n g h ĩ a là t r o n g c á c p h é p b i ế n



đ ổi ( 2 1 )



v ô c ù n g bé b iến th iên c ủ a L a g r a n g i a n b ằ n g k h ô n g



ỎL = 0.

H ã y t ì m b iể u th ứ c c ủ a



6 L.



(22)



T a có



âL r



ỖL



d L c.



Ot



với



ỏra = 0,



<5ra = <5p,

nghĩa là



Ot

D ù n g p h irơ n g trìn h L a g r a n g e



t a v iế t lại



6L



dL



d



ỞT a



dt\dia'



/



dL



\



dưới d ạ n g



d V— d L

i L = d t a^ d i : ' 6pT ừ đ iề u k iệ n b ấ t b iế n (2 2 ) v ớ i



d.



ổp



tù y ý su y ra rần g



-%



dL



d tOf ^ d



=







Đặt



p = v



t



dra



11



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương I : NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ DỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×