Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Một số kết quả bổ trợ khác

Một số kết quả bổ trợ khác

Tải bản đầy đủ - 0trang

với q > 0.

H



Trong suốt luận văn này, I = [0, T ]. Cho A ⊂ H, A



là kí hiệu bao



R

kí hiệu hình cầu

đóng của tập A trong khơng gian H, trong khi đó BH

R

mở BH

= {w ∈ H : w < R}. H ω và ·, · lần lượt biểu thị khơng gian H



với tơ-pơ yếu và tích vơ hướng trên H.

C 0 (I, H), C 1 (I, H) và L1 (I, H) tương ứng kí hiệu khơng gian Banach

của tất cả các hàm liên tục x : I → H với chuẩn

x



0



= max x(t) ,

t∈I



không gian Banach của tất cả các hàm với đạo hàm liên tục x : I → H

với chuẩn

x



C1



= max{ x 0 , x



0}



và khơng gian Banach của các hàm khả tích với chuẩn

T



x



1



=



x(t) dt.

0



Dễ dàng thấy rằng từ {xj } → x0 trong C 1 (I, H) khi j → ∞ suy ra

rằng {xj (t)} hội tụ tới x0 (t) và {xj (t)} hội tụ đến x0 (t) với mọi t ∈ I.

Định lý 1.3.1. (xem [8]) Dãy các hàm liên tục {xn }



x ∈ C(I; H)



(hội tụ yếu tới hàm x) nếu và chỉ nếu:

(i) Tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ∈ N và t ∈ I, xn (t) ≤ N ;

(ii) Với mỗi t ∈ I, xn (t)



x(t).



Từ đó suy rằng, nếu {xn }



x ∈ C(I, H) thì {xn }



x ∈ L1 (I, H).



Cho S ⊆ R là một tập hợp con đo được. Một tập con A ⊂ L1 (S, H) được

gọi là khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho từ Ω ⊂ S và

9



µ(Ω) < δ ta có

với mọi f ∈ A,



f dµ < ε





trong đó µ là độ đo Lebesgue trên R.

Xét không gian tất cả các hàm x : I → H khả vi với đạo hàm

bâc nhất x liên tục tuyệt đối và đạo hàm bậc hai x thuộc không gian

L1 (I, H). Chúng ta biết rằng (xem [2]) khơng gian này có thể được đồng

nhất với không gian Sobolev W 2,1 (I, H) và phép nhúng W 2,1 (I, H) →

C 1 (I, H) là liên tục.

Gọi {ei } là một cơ sở trực giao của khơng gian H. Kí hiệu Hn là

không gian con với cơ sở {e1 , e2 · · · , en }, Pn : H → Hn (n ∈ N) là toán

tử chiếu.

Định lý 1.3.2. Toán tử chiếu Pn : H → Hn thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Pn : H ω → Hn là liên tục;

(ii) Nếu gn



g trong H, thì Pn gn



g trong H.



Chứng minh.

(i) Chúng ta có Pn w =



n

k=1



ek , w ek với mọi w ∈ H. Do đó theo định



nghĩa hội tụ yếu Pn wj → Pn w0 khi wj



w0 .



(ii) Với mỗi w ∈ H, do Pn w → w trong H, nên chúng ta có

Pn gn −g, w = Pn gn −Pn g, w + Pn g−g, w = gn −g, Pn w + Pn g−g, w

= gn − g, Pn w − w + gn − g, w + Pn g − g, w → 0

và từ đây ta thu được điều phải chứng minh.



10



Định lý 1.3.3. (xem [1]) Cho Q là một tập hợp đóng, lồi của không

gian Banach F với phần trong intQ = ∅ và T : Q × [0, 1] → F là ánh

xạ compact với đồ thị đóng sao cho T (Q, 0) ⊂ int Q và T (·, λ) khơng có

điểm cố định trên biên của Q với mọi λ ∈ [0, 1). Khi đó tồn tại y ∈ F

sao cho y = T (y, 1).

Định lý 1.3.4. (xem [9]) Cho ψ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm liên

tục và không giảm, với

s2

lim

ds = ∞,

s→∞ ψ(s)



(1.3)



và R là một hằng số dương. Khi đó tồn tại một hằng số dương B sao cho

nếu x ∈ W 2,1 (I, H) thỏa mãn ||x (t)|| ≤ ψ(||x (t)||) với hầu khắp t ∈ I

và ||x(t)|| ≤ R với mọi t ∈ I, thì ||x (t)|| ≤ B với mọi t ∈ I.

Định lý 1.3.5. (xem [5]). Cho g : I × Rp → Rn thỏa mãn:

(i) g(·, w) là đo được với mọi w ∈ Rp ;

(ii) g(t, ·) là liên tục với hầu khắp t ∈ I.

Khi đó, tồn tại một chuỗi giảm các tập con mở {θm } của I sao cho

với mỗi m ∈ N, µ(θm ) <



1

m



và g liên tục trên (I\θm ) × Rp .



11



Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ TỒN TẠI

NGHIỆM

2.1. Đặt bài toán

Nội dung chính của chương này là nghiên cứu các điều kiện đủ để

phương trình sau có nghiệm

utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ)



k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ)).



(2.1)







trong đó Ω ⊂ Rn (n ≥ 2) là một miền mở, bị chặn với biên trơn (C 1 -biên),

b và c là hằng số, h : [0, T ]×R → R là hàm liên tục và k ∈ W 2,1 (Ω×Ω; R).

Nếu thành phần chứa tích phân được thay thế bởi tốn tử Laplace

thơng thường ∆u, thì khi đó tùy theo các giá trị của c và b, (2.1) trở

thành phương trình sóng dao động tắt dần hoặc phương trình điện báo

(telegraph equation) hoặc phương trình Klein-Gordon thương gặp trong

nhiều hiện tượng thực tế. Ví dụ: q trình truyền sóng điện từ trong môi

trường dẫn điện, sự tiến triển của chất lỏng nhớt đàn hồi theo lý thuyết

Maxwell và truyền nhiệt trong môi trường dẫn nhiệt (xem [6, 7] và các

tài liệu tham khảo trong đó).

Khác với các q trình khuếch tán cổ điển, toán tử khuếch tán với

thành phần tích phân chứa trong (2.1) mang đến một hiệu ứng có nhớ

trong phương trình. Sự hiện diện của u như một hệ số khuếch tán biến

12



thiên theo thời gian và vị trí.

Chúng ta giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn

(1) Đạo hàm riêng



∂h

∂z :



[0, T ] × R → R là liên tục và tồn tại hằng số



dương N sao cho

∂h(t, z)

≤ N với mọi (t, z) ∈ [0, T ] × R.

∂z

(2) max{sup(ξ,η)∈Ω×Ω |k(ξ, η)|, sup(ξ,η)∈Ω×Ω Dk(ξ, η)



Rn }



= K < ∞,



trong đó D kí hiệu đạo hàm (hay gradient) theo với vector ξ ∈ Ω.

(3) b ≥ N +



6δK|Ω|, trong đó |Ω| là độ đo Lebesgue của tập Ω và



δ = max |h(t, 0)|.

t∈[0,T ]



Đầu tiên chúng ta nghiên cứu bài tốn tuần hồn







utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ)









u(0, ξ) = u(T, ξ)











u (0, ξ) = u (T, ξ).

t

t



k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ))





(2.2)



Sau đó là bài tốn Cơ-si đa điểm







utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ)











k





u(0, ξ) =

αi u(ti , ξ)



i=1







k









βi u(ti , ξ)

u(T, ξ) =



k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ))





(2.3)



i=1



với αi , βi ∈ R, i = 1, . . . , k, ở đây 0 ≤ t1 < · · · < tk ≤ T.



13



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Một số kết quả bổ trợ khác

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×