Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tải bản đầy đủ - 0trang

x, αy = α x, y

Nếu ., . là một tích vơ hướng trên E thì ánh xạ x →



x, x là một



chuẩn trên E và gọi là một chuẩn sinh bởi tích vơ hướng.

Nếu ., . là một tích vơ hướng trên E thì cặp (E, ., . ) gọi là không

gian tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vơ hướng).

Định nghĩa 1.1.2. Nếu khơng gian tiền Hilbert E đầy đủ với metric

sinh bởi tích vơ hướng trên E được gọi là khơng gian Hilbert.

Ví dụ 1.1.1. Trong không gian C [a, b] các hàm liên tục trên [a, b] thì

ánh xạ

b



(x, y) → x, y =



x (t) y (t) dt

a



là một tích vơ hướng. Tuy nhiên, không gian C[a, b]; ·, ·



không phải



là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.1.2. Trong l2 , với x = {λn } , y = {αn } ta định nghĩa





x, y =



λn αn

n=1



thì ., . là một tích vơ hướng. Khơng gian (l2 , ., . ) một không gian

Hilbert.

Định nghĩa 1.1.3. Cho một khơng gian tuyến tính E, một hàm số f (x)

xác định trên E lấy giá trị là số (thực hay phức) gọi là một phiếm hàm

trên E. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:

(i) f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ E;

(ii) f (αx) = αf (x) , ∀x ∈ E, ∀α ∈ R(C)

5



Và f được gọi là bị chặn nếu có một hằng số C > 0 sao cho

(∀x ∈ E) |f (x)| ≤ C x .

Định nghĩa 1.1.4. (Hội tụ yếu). Ta nói dãy {uk }∞

k=1 ⊂ E hội tụ yếu

tới u ∈ E nếu u∗ , uk → u∗ , u với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn

u∗ ∈ E∗ và kí hiệu uk



u (E∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến



tính bị chặn trên E và gọi là không gian đối ngẫu của E).

Bổ đề 1.1.1. Nếu dãy {uk }∞

k=1 hội tụ yếu tới u trong khơng gian Hilbert

H thì u ≤ lim



uk hơn nữa vế phải của đẳng thức là hữu hạn.



k→∞



Bổ đề 1.1.2. Giả sử H là không gian Hilbert khả ly. Khi đó, từ một dãy

con bị chặn trong H có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu trong H.



1.2. Không gian Sobolev

1.2.1. Không gian C k (Ω)

Cho Ω ⊂ Rn là tập con mở, bị chặn. Kí hiệu:

- C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục được xác định trên Ω.

- C k (Ω) là tập hợp các hàm trên Ω sao cho đạo hàm cấp k tồn tại và

liên tục.

- C ∞ (Ω) là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên Ω.

- Cc (Ω) là tập hợp các hàm liên tục và có giá compact trong Ω, trong

đó {x ∈ Ω|u (x) = 0} là giá của hàm u và kí hiệu là supp u.



6



1.2.2. Khơng gian Lp (Ω)

Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một tập đo được Lebesgue trong Rn và µ

là độ đo Lebesgue trên σ- đại số F các tập đo được Lebesgue trên Rn . Với

mỗi p ≥ 1 , kí hiệu Lp (Ω) là tập tất cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc

p trên Ω





p

L (Ω) = f : Ω → R :













p

|f | dµ < +∞ .





Khơng gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là một không gian tuyến tính

định chuẩn đủ (khơng gian Banach) với chuẩn xác định bởi

 p1





f



p



|f |p dµ .



=





Ngồi ra, tập Cc (Ω) trù mật trong không gian LP (Ω) , p > 1.

Bổ đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Holder). Giả sử p, q > 1 sao cho p1 + 1q = 1.

Khi đó với mọi f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) ta có





 p1 



|f.g|dµ ≤ 



|f |p dµ .







 1q

|g|q dµ









hay ta còn viết

f.g



1



≤ f



p



g



q



1.2.3. Đạo hàm yếu

Định nghĩa 1.2.2. Giả sử u, v ∈ L1loc (Ω) (u, v là các hàm khả tích trên

mọi tập con compact của Ω). Ta nói rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u

7



nếu

uDα φdx = (−1)|α|

với mọi hàm φ ∈







Cc (Ω).



vφdx





α



Kí hiệu D u = v, trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ),



|α| = α1 + α2 + ... + αn và

∂ |α| φ

D φ = α1

.

∂x1 ....∂xαnn

α



Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định một cách

duy nhất (sai khác trên tập có độ đo khơng).

1.2.4. Khơng gian Sobolev Ws, p (Ω)

Định nghĩa 1.2.3. Không gian Ws, p (Ω) là không gian bao gồm tất cả

các hàm u (x) ∈ Lp (Ω) sao cho tồn tại các đạo hàm yếu mọi cấp α,

|α| ≤ s, thuộc Lp (Ω) và đươc trang bị bởi chuẩn sau:

 p1



u



Ws, p (Ω)



|Dα u (x)|p dx .



=



(1.1)



|α|≤s Ω



Ta thấy không gian Ws, p (Ω) là không gian Banach với 1 ≤ p < ∞ và

là không gian Hilbert với p = 2. Không gian với chuẩn (1.1) được gọi là

không gian Sobolev.



1.3. Một số kết quả bổ trợ khác

Cho H là không gian Hilbert khả li, nhúng compact trong không gian

Banach E và

w



E



≤ q w với mọi w ∈ H,

8



(1.2)



với q > 0.

H



Trong suốt luận văn này, I = [0, T ]. Cho A ⊂ H, A



là kí hiệu bao



R

kí hiệu hình cầu

đóng của tập A trong khơng gian H, trong khi đó BH

R

mở BH

= {w ∈ H : w < R}. H ω và ·, · lần lượt biểu thị không gian H



với tơ-pơ yếu và tích vơ hướng trên H.

C 0 (I, H), C 1 (I, H) và L1 (I, H) tương ứng kí hiệu khơng gian Banach

của tất cả các hàm liên tục x : I → H với chuẩn

x



0



= max x(t) ,

t∈I



không gian Banach của tất cả các hàm với đạo hàm liên tục x : I → H

với chuẩn

x



C1



= max{ x 0 , x



0}



và không gian Banach của các hàm khả tích với chuẩn

T



x



1



=



x(t) dt.

0



Dễ dàng thấy rằng từ {xj } → x0 trong C 1 (I, H) khi j → ∞ suy ra

rằng {xj (t)} hội tụ tới x0 (t) và {xj (t)} hội tụ đến x0 (t) với mọi t ∈ I.

Định lý 1.3.1. (xem [8]) Dãy các hàm liên tục {xn }



x ∈ C(I; H)



(hội tụ yếu tới hàm x) nếu và chỉ nếu:

(i) Tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ∈ N và t ∈ I, xn (t) ≤ N ;

(ii) Với mỗi t ∈ I, xn (t)



x(t).



Từ đó suy rằng, nếu {xn }



x ∈ C(I, H) thì {xn }



x ∈ L1 (I, H).



Cho S ⊆ R là một tập hợp con đo được. Một tập con A ⊂ L1 (S, H) được

gọi là khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho từ Ω ⊂ S và

9



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×