Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Mô hình toán học của hệ thống điều khiển tự động.

Mô hình toán học của hệ thống điều khiển tự động.

Tải bản đầy đủ - 0trang

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

=

: Là hệ số được xác định bởi các điều kiện ban đầu.

: Là nghiệm thứ i của phương trình đặc tính.

Thay:

=

( i =1 n ) vào phương trình vi phân thuần nhất ta được phương

trình đặc tính ( phương trình đặc trưng của phương trình vi phân thuần nhất).

+



+ ...+



=0



Nhận xét: Với trường hợp phương trình vi phân bậc thấp ta có thể giải nó nhanh

chóng. Với trường hợp bậc cao việc giải phương trình vi phân để tìm nghiệm y(t) bằng

cách thơng thường gặp nhiều khó khăn, nhiều khi không giải được. Để khắc phục

nhược điểm này người ta chuyển từ giải trực tiếp phương trình vi phân sang giải bằng

cách thơng qua tốn tử Laplace.

Ví dụ: Cho mạch điện như hình vẽ hãy mơ tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào

bằng phương trình vi phân.



Từ sơ đồ nguyên lý ta viết phương trình vi phân mơ tả phần tử:



Hay :



u(t) =



= R.i + y(t)



y(t) =



=



i(t) = C



Thay vào phương trình đầu ta được: RC



+ y(t) = u(t)



1.2. Mô tả hệ điều khiển tự động bằng hàm truyền đạt.

1.2.1. Khái niệm.

Hàm số truyền của phần tử tự động hay hệ thống (hay còn gọi là hàm truyền đạt)

là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào biểu diễn dưới dạng tốn tử Laplace với điều

kiện đầu triệt tiêu.

u(t)



U(p) = L[u(t)]



y(t)



Y(p) = L[y(t)]



Khi đó: Hàm truyền được ký hiệu W (p).



W(p) =



1.2.2. Phép biến đổi laplace

-). Cơng thức tìm hàm ảnh khi biết hàm gốc:

Nếu f(t) là hàm gốc, gọi F(p) là hàm ảnh Laplace của nó thì:

F(p) =

Với f(t) là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục trong khoảng khảo sát.

Quan hệ giữa hàm gốc và ảnh còn được viết theo ký hiệu sau: f(t)

Các tính chất cơ bản của chuyển đổi Laplace:



F(p) = L[f (t)]



- Tính chất 1 (Tính chất đơn ánh): X(p) = L[x(t)]; Y(p) = L[y(t)] ;

Nếu x (t )



y(t) thì X(p)



Y(P).



- Tính chất 2 (Tính chất tuyến tính T): X(p) = L[x(t)]; Y(p) = L[y(t)] khi đó:

L[a.y(t) + b.x(t)] = L[a.y(t)] + L[b.x(t)] = a.Y(p) + b.X(p)

-



Tính chất 3 (phép dịch trục):

X(p) = L[x(t)] và y(t) = x(t-T) khi đó: Y(p) = L[y(t)] =

- Tính chất 4: X(p) = L[x(t)] và y (t) =



khi đó: Y(p) = L[y(t)] = X(p+a)



- Tính chất 5 (ảnh của khâu đạo hàm ):

X(p) = L[x(t)] Y(t) =



Y(p) =



L[y(t)] = pX(p)

Y(t) =



Y(p)= L[y(t)] =



(Với các điều kiện đầu bằng 0)



- Tính chất 6 (ảnh của khâu tích phân ):

X(p) = L[x(t)] Y(t) =



Y(p) = L[y(t)]



=

Y(t) =



Y(p) = L[y(t)] =



- Định lý về giới hạn thứ nhất: X(p) = L[x(t)] và tồn tại



thì:



=

- Định lý về giới hạn thứ hai: X(p) = L[x(t)] và tồn tại

=



thì



(Với các điều kiện đầu bằng 0)



Ví dụ: Dùng tốn tử p tìm mối quan hệ giữu lượng ra và lượng vào của phần tử

sau:



Từ sơ đồ ngun lý ta viết phương trình vi phân mơ tả phần

tử: U(t) = =R.i +

Y(t) =



=



Chuyển sang toán tử p ta được:

U(p) =



(p) = R.I(p) +



Y(p) =



(p) =



= I(p)

(Với điều kiện ban đầu bằng



0 ) Như vậy ta đã xác định được quan hệ giữa lượng ra và lượng vào:

=



=



=



;



(Với T =RC )



1.3. Mô tả hệ điều khiển tự động bằng hệ phương trình trạng thái.

1.3.1. Khái niệm hệ phương trình trạng thái.

Trạng thái của hệ thống được đặc trưng như là lượng thông tin tối thiểu về hệ ,

cần thiết để xác định hành vi của hệ trong tương lai khi biết tác động vào(nói cách

khác, trạng thái của hệ được xác bởi tổ hợp các tọa độ mở rộng đặc trưng của hệ.

Hệ ĐK Tự Động TTLT Bậc n



hệ phương trình trạng thái



x=



vector các biến trạng thái



u=



vector tín hiệu vào



y=



vector tín hiệu ra



Ma trận:

Ma trận A gọi là ma trận trạng thái (n n)

Ma trận B goi là ma trận đầu vào (n



r)



Ma trận C gọi là ma trận đầu ra (s n)

Ma trận D gọi là ma trận liên thông (s



)



. Sơ đồ trạng thái:

u



Bu



B



x



C



y



-A

D



1.3.2. Phương pháp xây dựng hệ phương trình trạng thái.

Xét hệ tuyến tính SISO có hàm truyền:

=



=



Gọi U(p) là ảnh Laplace của u(t) và Y(p) là ảnh Laplace của y(t) thì từ hàm truyền

ta có:

Đặt n biền trạng thái ghép chung lại thành vecto

;



;



Chú ý:

p



=



;



có ảnh Laplace:



p

p

Mặt khác:



Suy ra:



Mặt khác:

Y(p) =

Laplace ngược hai vế ta có:

Y=

dxn

y = ( b0 − a0bn ) x1 + ( b1 − a1bn )

Thế dt từ pt trên ta có:

y = ( b0 − a0bn ) x1 + ( b1 − a1bn ) x2 + ... + ( bn −1 − an −1bn ) xn + bnu

y = ( b0 − a0bn ; b1 − a1bn ;...bn −1 − an −1bn ) x + bnu



2.Mơ tả tốn học của động cơ điện 1 chiều kích từ độc lập bằng phương pháp lý

thuyết.

Phương pháp lý thuyết:

Muốn xác định được mơ hình hệ bằng phương pháp này ta phải biết rõ các q

trình lí - hố xảy ra trong các đối tượng nghiên cứu. Khi đó có hai cách mô tả hệ thống

là:

Mô tả hệ thống trong miền thời gian thơng qua: Phương trình vi phân của các q

trình vật lí hoặc ma trận trạng thái của các biến số trạng thái đối tượng.

Mô tả hệ thống trong miền tần số thông qua: Hàm truyền đạt thể hiện quan hệ giữa

đầu ra với đầu vào hay bằng đặc tính tần số

2.1. Mô tả động cơ điện 1 chiều bằng phương trình vi phân.



+



-



L•



E•



R•



+



-



Ukt



Phương trình điện áp phần ứng:

= i.R + L. +

Trong đó:

=



: suất điện động phàn ứng



R,L : là điện trở tổng và điện kháng của mạch stator

Phương trình momen động cơ:



M m = M t + b.ω + j.





dt



là momen trên trục động cơ.

Với:



=



là momen tải của động cơ.(là nhiễu do ta chưa biết tải)



J là momen quán tính của phụ tải .

b la hệ số ma sát của động cơ (do ta xét ở điều kiện lý tưởng => b = 0)

Do đó phương trình cân bằng momen.

=



j.



Ta có hệ phương trình:



2.2. Mơ hình tốn học động cơ điện 1 chiều trong miền ảnh Laplace.

Chuyển hệ phương trình qua hàm laplace ta có.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Mô hình toán học của hệ thống điều khiển tự động.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×