Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
MÔ TẢ TOÁN HỌC CHO ĐỐI TƯỢNG ĐIỀU KHIỂN.

MÔ TẢ TOÁN HỌC CHO ĐỐI TƯỢNG ĐIỀU KHIỂN.

Tải bản đầy đủ - 0trang

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

=

: Là hệ số được xác định bởi các điều kiện ban đầu.

: Là nghiệm thứ i của phương trình đặc tính.

Thay:

=

( i =1 n ) vào phương trình vi phân thuần nhất ta được phương

trình đặc tính ( phương trình đặc trưng của phương trình vi phân thuần nhất).

+



+ ...+



=0



Nhận xét: Với trường hợp phương trình vi phân bậc thấp ta có thể giải nó nhanh

chóng. Với trường hợp bậc cao việc giải phương trình vi phân để tìm nghiệm y(t) bằng

cách thơng thường gặp nhiều khó khăn, nhiều khi không giải được. Để khắc phục

nhược điểm này người ta chuyển từ giải trực tiếp phương trình vi phân sang giải bằng

cách thơng qua tốn tử Laplace.

Ví dụ: Cho mạch điện như hình vẽ hãy mơ tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào

bằng phương trình vi phân.



Từ sơ đồ nguyên lý ta viết phương trình vi phân mơ tả phần tử:



Hay :



u(t) =



= R.i + y(t)



y(t) =



=



i(t) = C



Thay vào phương trình đầu ta được: RC



+ y(t) = u(t)



1.2. Mô tả hệ điều khiển tự động bằng hàm truyền đạt.

1.2.1. Khái niệm.

Hàm số truyền của phần tử tự động hay hệ thống (hay còn gọi là hàm truyền đạt)

là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào biểu diễn dưới dạng tốn tử Laplace với điều

kiện đầu triệt tiêu.

u(t)



U(p) = L[u(t)]



y(t)



Y(p) = L[y(t)]



Khi đó: Hàm truyền được ký hiệu W (p).



W(p) =



1.2.2. Phép biến đổi laplace

-). Cơng thức tìm hàm ảnh khi biết hàm gốc:

Nếu f(t) là hàm gốc, gọi F(p) là hàm ảnh Laplace của nó thì:

F(p) =

Với f(t) là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục trong khoảng khảo sát.

Quan hệ giữa hàm gốc và ảnh còn được viết theo ký hiệu sau: f(t)

Các tính chất cơ bản của chuyển đổi Laplace:



F(p) = L[f (t)]



- Tính chất 1 (Tính chất đơn ánh): X(p) = L[x(t)]; Y(p) = L[y(t)] ;

Nếu x (t )



y(t) thì X(p)



Y(P).



- Tính chất 2 (Tính chất tuyến tính T): X(p) = L[x(t)]; Y(p) = L[y(t)] khi đó:

L[a.y(t) + b.x(t)] = L[a.y(t)] + L[b.x(t)] = a.Y(p) + b.X(p)

-



Tính chất 3 (phép dịch trục):

X(p) = L[x(t)] và y(t) = x(t-T) khi đó: Y(p) = L[y(t)] =

- Tính chất 4: X(p) = L[x(t)] và y (t) =



khi đó: Y(p) = L[y(t)] = X(p+a)



- Tính chất 5 (ảnh của khâu đạo hàm ):

X(p) = L[x(t)] Y(t) =



Y(p) =



L[y(t)] = pX(p)

Y(t) =



Y(p)= L[y(t)] =



(Với các điều kiện đầu bằng 0)



- Tính chất 6 (ảnh của khâu tích phân ):

X(p) = L[x(t)] Y(t) =



Y(p) = L[y(t)]



=

Y(t) =



Y(p) = L[y(t)] =



- Định lý về giới hạn thứ nhất: X(p) = L[x(t)] và tồn tại



thì:



=

- Định lý về giới hạn thứ hai: X(p) = L[x(t)] và tồn tại

=



thì



(Với các điều kiện đầu bằng 0)



Ví dụ: Dùng tốn tử p tìm mối quan hệ giữu lượng ra và lượng vào của phần tử

sau:



Từ sơ đồ ngun lý ta viết phương trình vi phân mơ tả phần

tử: U(t) = =R.i +

Y(t) =



=



Chuyển sang toán tử p ta được:

U(p) =



(p) = R.I(p) +



Y(p) =



(p) =



= I(p)

(Với điều kiện ban đầu bằng



0 ) Như vậy ta đã xác định được quan hệ giữa lượng ra và lượng vào:

=



=



=



;



(Với T =RC )



1.3. Mô tả hệ điều khiển tự động bằng hệ phương trình trạng thái.

1.3.1. Khái niệm hệ phương trình trạng thái.

Trạng thái của hệ thống được đặc trưng như là lượng thông tin tối thiểu về hệ ,

cần thiết để xác định hành vi của hệ trong tương lai khi biết tác động vào(nói cách

khác, trạng thái của hệ được xác bởi tổ hợp các tọa độ mở rộng đặc trưng của hệ.

Hệ ĐK Tự Động TTLT Bậc n



hệ phương trình trạng thái



x=



vector các biến trạng thái



u=



vector tín hiệu vào



y=



vector tín hiệu ra



Ma trận:

Ma trận A gọi là ma trận trạng thái (n n)

Ma trận B goi là ma trận đầu vào (n



r)



Ma trận C gọi là ma trận đầu ra (s n)

Ma trận D gọi là ma trận liên thông (s



)



. Sơ đồ trạng thái:

u



Bu



B



x



C



y



-A

D



1.3.2. Phương pháp xây dựng hệ phương trình trạng thái.

Xét hệ tuyến tính SISO có hàm truyền:

=



=



Gọi U(p) là ảnh Laplace của u(t) và Y(p) là ảnh Laplace của y(t) thì từ hàm truyền

ta có:

Đặt n biền trạng thái ghép chung lại thành vecto

;



;



Chú ý:

p



=



;



có ảnh Laplace:



p

p

Mặt khác:



Suy ra:



Mặt khác:

Y(p) =

Laplace ngược hai vế ta có:

Y=

dxn

y = ( b0 − a0bn ) x1 + ( b1 − a1bn )

Thế dt từ pt trên ta có:

y = ( b0 − a0bn ) x1 + ( b1 − a1bn ) x2 + ... + ( bn −1 − an −1bn ) xn + bnu

y = ( b0 − a0bn ; b1 − a1bn ;...bn −1 − an −1bn ) x + bnu



2.Mơ tả tốn học của động cơ điện 1 chiều kích từ độc lập bằng phương pháp lý

thuyết.

Phương pháp lý thuyết:

Muốn xác định được mơ hình hệ bằng phương pháp này ta phải biết rõ các q

trình lí - hố xảy ra trong các đối tượng nghiên cứu. Khi đó có hai cách mô tả hệ thống

là:

Mô tả hệ thống trong miền thời gian thơng qua: Phương trình vi phân của các q

trình vật lí hoặc ma trận trạng thái của các biến số trạng thái đối tượng.

Mô tả hệ thống trong miền tần số thông qua: Hàm truyền đạt thể hiện quan hệ giữa

đầu ra với đầu vào hay bằng đặc tính tần số

2.1. Mô tả động cơ điện 1 chiều bằng phương trình vi phân.



+



-



L•



E•



R•



+



-



Ukt



Phương trình điện áp phần ứng:

= i.R + L. +

Trong đó:

=



: suất điện động phàn ứng



R,L : là điện trở tổng và điện kháng của mạch stator

Phương trình momen động cơ:



M m = M t + b.ω + j.





dt



là momen trên trục động cơ.

Với:



=



là momen tải của động cơ.(là nhiễu do ta chưa biết tải)



J là momen quán tính của phụ tải .

b la hệ số ma sát của động cơ (do ta xét ở điều kiện lý tưởng => b = 0)

Do đó phương trình cân bằng momen.

=



j.



Ta có hệ phương trình:



2.2. Mơ hình tốn học động cơ điện 1 chiều trong miền ảnh Laplace.

Chuyển hệ phương trình qua hàm laplace ta có.



Từ phương trình: Uư(p) = Rư.I(p) + pLư.I(p) +



k ∅.ω ( p )



=> Uư(p) = Rư(1 + pLư/Rư).I(p) +

Đặt



Tu =



k ∅.ω ( p )



Lu

Ru ta thu được pt tính tốn của động cơ như sau



U u ( p ) = Ru ( 1 + pTu ) .I ( p ) + k ∅ω ( p )



1/Ru

(U

1Tu .p



Hay I



E)



Từ đây ta có sơ đồ tổng hợp.



Đây chính là sơ đồ mơ tả quan hệ giữa tín hiệu vào( ) và tín hiệu ra( ) cần tìm

Trong đó các phần tử:

Uư : Là điện áp phần ứng động cơ.

Iư : Là dòng điện phần ứng.

Rư : Điện trở phần ứng.

Lư : Điện cảm phần ứng.

Thông số động cơ như sau:

-Công suất động cơ : P = 11 KW

-Điện áp định mức :



= 220 V



-Dòng điện định mức :

- Điện trở phần ứng :



Tốc độ định mức :

= 0,197



-Điện cảm phần ứng :

- Momen động cơ : J = 0,56 kg.

tốc góc của động cơ:



= 59,5 A



= 0,014 H

Vận



= 1500 v/p



=



= 157,08 (rad/s)



Hằng số thời gian quán tính điện từ

=



=



Ta có: kФ =



:



= 0,071 (s)

=



= 1,326



Vậy ta có sơ đồ mạch vòng mơ tả động cơ điện một chiều như sau:

(p)



1,326



1,326



-



PHẦN III.

TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO ĐỐI TƯỢNG

1. Bộ điều khiển PID.

1.1. Khâu tỷ lệ P.

Khâu P tạo ra tín hiệu điều khiển tỉ lệ với giá trị của sai lệch. Việc này được thực

hiện bằng cách nhân sai lệch e(t) với hằng số KP – gọi là hằng số tỉ lệ.

e(t)

u(t) =

G(p) =



u(t)



. e(t)

=



Nếu chỉ có khâu P thì trong mọi trường hợp sai số tĩnh luôn xuất hiện, trừ khi giá

trị đầu vào của hệ thống bằng 0 hoặc đã bằng với giá trị mong muốn. Nếu giá trị khâu

P quá lớn sẽ làm cho hệ thống mất ổn định.

1.2. Khâu tích phân I.

Khâu I cộng thêm tổng các sai số trước đó vào giá trị điều khiển. Việc tính tổng

các sai số được thực hiện liên tục cho đến khi giá trị đạt được bằng với giá trị đặt, và

kết quả là khi hệ cân bằng thì sai số bằng 0.

Khâu I được tính theo cơng thức:

u(t) =

G(p) =

Với



=



là hằng số thời gian tích phân.



Khâu I thường đi kèm với khâu P, hợp thành bộ điều khiển PI. Nếu chỉ sử dụng

khâu I thì đáp ứng của hệ thống sẽ triệt tiêu được sai lệch tĩnh (



) nhưng sẽ bị chậm



và thường bị dao động.

1.3. Khâu vi phân D.

Khâu D cộng thêm tốc độ thay đổi sai số vào giá trị điều khiển ở ngõ ra. Nếu sai

số thay đổi nhanh thì sẽ tạo ra thành phần cộng thêm vào giá trị điều khiển. Điều này

cải thiện đáp ứng của hệ thống, giúp trạng thái của hệ thống thay đổi nhanh chóng

và mau chóng đạt được giá trị mong muốn.

Khâu D được tính theo công thức:

u(t) =

G(p) =



=



.p



Với



là hằng số thời gian vi phân.



Khâu D thường đi kèm với khâu P thành bộ PD, hoặc với PI để thành bộ PID. Nếu

giá trị D quá lớn sẽ làm cho hệ thống không ổn định.

1.4. Luật điều khiển PID.

e(t)



u(t)



Khâu tỉ lệ, tích phân, vi phân được cộng lại với nhau để tính tốn đầu ra của bộ

điều khiển PID. Định nghĩa rằng u(t) là đầu ra của bộ điều khiển, biểu thức cuối cùng

của thuật toán PID như sau:

u(t) =



[e(t) +



+



]



Chuyển sang miền ảnh Laplace:

G(p) =



=



(1 +



+



)



trong đó các thơng số điều chỉnh là:

+) Độ lợi tỉ lệ:

Nếu sai lệch tĩnh e(t) càng lớn thì thơng qua thành phần tỉ lệ, tín hiệu điều chỉnh

u(t) càng lớn.

+) Độ lợi tích phân:

Nếu sai lệch tĩnh e(t) chưa bằng 0 thì thơng qua thành phần tích phân,PID vẫn còn

tạo tín hiệu điều chỉnh

+) Độ lợi vi phân:

Nếu sự thay đổi của sai lệch tĩnh e(t) càng lớn thì thơng qua thành phần vi phân,

phản ứng thích hợp của u(t) càng nhanh.

=> Tóm Lại: Thuật tốn PID mở rộng thuật toán PI thêm thành phần vi phân

nhằm cải thiện đặc tính động học của hệ thống. Thành phần vi phân tỷ lệ với sự thay

đổi của sai lệch điều khiển quan sát được e(t). Bản chất của tác động vi phân là đoán

trước chiều hướng và tốc độ thay đổi của biến được điều khiển và đưa ra đáp ứng thích

hợp. Do vậy, thành phần vi phân làm tăng tốc đáp ứng của hệ kín với sự thay đổi của

giá trị đặt hoặc tác động của nhiễu tải. Tuy nhiên, bởi khả năng đáp ứng nhanh nên tác

động vi phân cũng có thể nhạy cảm với nhiễu đo. Thành phân tích phân có ảnh hưởng

ở phạm vi tần số thấp hay nói cách khác là chiếm ưu thế khi hệ thống ở trạng thái xác



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

MÔ TẢ TOÁN HỌC CHO ĐỐI TƯỢNG ĐIỀU KHIỂN.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×