Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
6 Hệ phương trình đối xứng loại hai

6 Hệ phương trình đối xứng loại hai

Tải bản đầy đủ - 0trang

4.6. Hệ phương trình đối xứng loại hai



161





1



2 x 2 = y + ,

y

5)



2 y2 = x + 1 ;

x



y2 + 2





3 y =

,

x2

6) (B, 2003)

x2 + 2





3 x =

;

y2





 x + 1 + 3 y = 5,



Đáp số. {(1; 1)}.



Đáp số. {(1; 1)}.



7)









8)







 x+5−



3 y + x = −1,



y+5−



3 x + y = −1;









Đáp số. {(3; 3)}.



y + 1 + 3 x = 5;



Đáp số. {(4; 4)}.



9) (Dự bị A, 2007)





x +



x2 − 2 x + 2 = 3 y−1 + 1,





y +



y2 − 2 y + 2 = 3 x−1 + 1.



Đáp số. {(1; 1)}.

10) (Dự bị B, 2007)







x +





y +



2x y

3



x2 − 2 x + 9



= x2 + y,



2x y



3



= y2 + x.



y2 − 2 y + 9



Đáp số. {(0; 0), (1; 1)}.

11) (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình





x



e = 2007 −





e y = 2007 −



y

y2 − 1



,



x



x2 − 1



có đúng hai nghiệm ( x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.

Bài tập 4.23. Giải các phương trình sau:

1) x2 + x + 2 = 2;

2) x3 + 1 = 2 · 3 2 x − 1;



3)



2 x2 + x − 3 + 2 x2 − 3 = x;



Hướng dẫn. Đặt y = 2 x2 + x − 3.



Đáp số. −1;



−1 + 5

.

2



Đáp số. 1,



−1 ± 5

.

2



Đáp số.



13 − 1

.

2



Chủ đề 4. Hệ phương trình



162

4)

5)



6 − 2 6 − 2 x = x;

3



x+



1

= 16 x3 − 1.

2



Hướng dẫn. Đặt

6)



Đáp số.



7−1 .



Đáp số. 13 + 3 2 .

3



x+



1

= 2 y.

2



17 − 2 45 − 2 x = x − 14;



Đáp số. 13 + 3 2 .



Hướng dẫn. Đặt y = 45 − 2 x, phương trình đã cho trở thành

2 17 − 2 y = 17 − y2 .



Lại đặt z =



17 − 2 y, ta được hệ phương trình





 z2 = 17 − 2 y,



 y2 = 17 − 2 z.



Với những phương trình có dạng



ax + b = cx2 + dx + e, ta có thể đưa về hệ phương trình



đối xứng loại II.

Ví dụ 4.10

Giải phương trình



2 x2 − 6 x − 1 =



4 x + 5.



Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với





2 x 2 − 6 x − 1



0,





(2 x2 − 6 x − 1)2 = 4 x + 5.



Đặt



4 x + 5 = α y + β. Ta có hệ phương trình









2 x2 − 6 x − 1 = α y + β,

4 x2 − 12 x − 2α y = 2β + 2







α2 y2 + 2αβ y + β2 = 4 x + 5

α2 y2 + 2αβ y − 4 x = 5 − β2 .



Đưa hệ phương trình trên về hệ đối xứng loại II bằng cách chọn







α2 = 4,











2αβ = −12,





−4 = −2α,











5 − β2 = 2β + 2



Đặt



4 x + 5 = 2 y − 3. Ta có hệ phương trình





4 x + 5 = 4 y2 − 12 y + 9,



2 x 2 − 6 x − 1 = 2 y − 3















α = 2 ,



β = −3.







 y2 − 3 y − x + 1 = 0,



 x2 − 3 x − y + 1 = 0.



4.6. Hệ phương trình đối xứng loại hai



163



Hệ phương trình sau cùng cho ta các nghiệm là

(1 + 2; 1 − 2),



(1 − 2; 1 + 2),



Các giá trị của x thoả 2 x2 − 6 x − 1



(2 + 3; 2 + 3),



(2 − 3; 2 − 3).



0 là 2 + 3 và 1 − 2.



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 2 + 3; 1 − 2 .

Chú ý. Đối với phương trình có dạng

ax + b = cx2 + dx + e,



a, c = 0,



=



1

c



Xét f ( x) = cx2 + dx + e. Ta có

f ( x) = 2 cx + d,



Đặt



f ( x) = 0 ⇔ x = −



d

.

2c



ax + b = 2 c y + d .



Bài tập 4.24. Giải các phương trình sau:

1) x2 − 6 x = 2 2 x + 3;



Đáp số. 4 + 10; 2 − 6 .



2) x2 − 2 x = 2 2 x − 1;



Đáp số. 2 + 2 .



3) −4 x2 + 13 x − 5 = 3 x + 1.



Đáp số.



15 − 97 11 + 73

;

.

8

8



Đồng Nai, năm học 2018 – 2019,

Sắp chữ bằng LATEX bởi Trần Văn Toàn,

Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,

Biên Hồ, Đồng Nai.



Tài liệu tham khảo

[1] Suprun V.P, Tốn học cho học sinh trung học (tiếng Nga), M.: LKI, 2008.

[2] Suprun V.P, Toán học cho học sinh trung học, Phương pháp khơng mẫu mực để giải

tốn (tiếng Nga), M.: LKI, 2009.

[3] Balayan E.N, 800 bài tập olympiad toán học để chuẩn bị cho kỳ thi. Lớp 9-11 (tiếng

Nga), 2008.

[4] A.I. Kozko, V.S.Panfyorov, I.N.Sergeev, V.G.Chirsky, Các bài tốn có chứa tham số và

các bài tốn khơng mẫu mực (tiếng Nga), Moscow Publisher Mir, 2016.

[5] Khoroshilova E.V, Elementary Mathematics. Textbook for high school students (tiếng

Nga), M .: MGU Publishing House, 2010.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

6 Hệ phương trình đối xứng loại hai

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×