Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
4 Hệ phương trình đối xứng loại một

4 Hệ phương trình đối xứng loại một

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chủ đề 4. Hệ phương trình



156



Để giải hệ phương trình đối xứng loại một thường ta đặt S = x + y và P = x · y. Ta có

1) x2 + y2 = ( x + y)2 − 2 x y = S 2 − 2P ;

2) x3 + y3 = ( x + y)3 − 3 x y( x + y) = S 3 − 3SP .

Chú ý.

• Nếu ( x; y) là một nghiệm của hệ (đối xứng), thì ( y; x) cũng là nghiệm của hệ. Do đó,



điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhât là x = y.

• Do cách đặt S = x + y và P = x y, nên x, y là nghiệm (nếu có) của phương trình



X 2 − S X + P = 0.



Từ đó, điều kiện để hệ có nghiệm là S 2



4P .



Bài tập 4.19. Giải các hệ phương trình sau:



1



 x2 + y2 − x − y = ,

2

1)

11



x y + x + y =

;

4





5 x2 − 6 x y + 5 y2 = 29,



2)



Đáp số.



1 3

3 1

; ; ;

2 2

2 2



,





7 x2 − 8 x y + 7 y2 = 43;



Đáp số. [ x = 3, y = 2], [ x = 2, y = 3], [ x = −2, y = −3], [ x = −3, y = −2].

3)







 x3 + x3 y3 + y3 = 17,



Đáp số. [ x = 2, y = 1], [ x = 1, y = 2].





 x + x y + y = 5;



4)







 x4 + x2 y2 + y4 = 91,



 x2 − x y + y2 = 7;



Đáp số. [[ x = 3, y = 1], [ x = −1, y = −3], [ x = 1, y = 3], [ x = −3, y = −1]].

5)







 x4 + x2 y2 + y4 = 84,



 x2 − x y + y2 = 6;



Đáp số. ( 2; 2 2), (− 2; −2 2); (2 2; 2); (−2 2; − 2) .

6)



7)







 x4 + 6 x2 y2 + y4 = 136,



 x3 y + x y3 = 30;





( x2 + y2 )( x + y) = 15 x y,



( x4 + y4 )( x2 + y2 ) = 85 x2 y2 ;



Đáp số. {(1; 3), (−1; −3); (3; 1); (−3; −1)}.



Đáp số. (0; 0), (4; 2); (2; 4).



4.4. Hệ phương trình đối xứng loại một



8)



157







 x3 + y3 = 19,



Đáp số. (−2; 3), (3; −2).





( x y + 8)( x + y) = 2;

 2

x

y2





 +

= 12,

9) 1y 1 x 1





 + = ;

x y 3





 x3 y + x y3 = 10 ( x + y)2 ,

9

10)

2



4

4

 x y + x y = ( x + y)3 ;

3



Đáp số. (6; 6);



3 5−3 3 5−3

−3 5 − 3 3 5 − 3

;−

;

;

2

2

2

2



.



Đáp số. {(0; 0), (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1)}.

11)



12)







x + y +



x y = 14,



Đáp số. {[ x = 2, y = 8], [ x = 8, y = 2]}.





 x2 + y2 + x y = 84;





 x x + y y = 341,



Đáp số. {[ x = 25, y = 36], [ x = 36, y = 25]}.





 x y + y x = 330;



13)







 x2 y + y2 x = 20,



Đáp số. {[ x = 1, y = 4], [ x = 4, y = 1]}.





 x y + y x = 6;



14)













x

+

y











x3 y +



y

=

x



7

+ 1,

xy



Đáp số. {(−9; −4), (−4; −9), (4; 9), (9; 4)}.



y3 x = 78;



Hướng dẫn.

• Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x và y cùng dấu.

• Nhận xét rằng nếu ( x; y) là một nghiệm của hệ phương trình, thì (− x; − y) cũng là



nghiệm của hệ, nên trước hết, ta xét x > 0 và y > 0.

• Với x > 0 và y > 0, đặt u =



15)













x

+

y







 4 x3 y +



x, v = y, hệ đã cho trở thành



u v

7



 + =

+ 1,

v u uv



 u3 v + v3 u = 78.



y

61

=

+ 1,

x

xy

4



Đáp số. {(−81; −16), (−16; −81), (16; 81), (91; 16)}.



y3 x = 78;



Hướng dẫn. Nếu x > 0 và y > 0, đặt u =



4



x, v = 4 y. Hệ đã cho trở thành

 2

2



 u + v = 61 + 1,

v2 u 2 u 2 v2



 u3 v + v3 u = 78.



Chủ đề 4. Hệ phương trình



158



16)







 x + y + x y = 12,



 3 x+



3



xy+



y = 0;



3



Đáp số. (10 + 6 3; 10 − 6 3), (10 − 6 3; 10 + 6 3) .

Hướng dẫn. Đặt



17)



18)



19)







 3 x+



3





 3 x2 −





 x+



x = u,



3



y = v.



y = 3,

3



xy+



Đáp số. {(1; 8), (8; 1)}.

3



y2 = 3;



y = 9,





 3 x+



3













1

+

y



x+



3



Đáp số. (1; 64); (64; 1).



y = 5.



y+



1

= 2 2,

x



Đáp số. (1; 1).







( x2 + 1) y + ( y2 + 1) x = 4 x y;



20)











x2 + y2 +





 x+



2 x y = 8 2,



Đáp số. (4; 4).



y = 4;





1 1 9





x + y + + = ,

x y 2

21)

1

5





= ;

x y +

xy 2



Đáp số. [[ x = 2, y = 1], [ x = 1, y = 2], [ x = 1, y = 1/2], [ x = 1/2, y = 1]].

22)



23)







( x + y)(1 + x y) = 4 x y,



( x2 + y2 )(1 + x2 y2 ) = 4 x2 y2 ;





 x + y + x y = 5,



( x + 1)3 + ( y + 1)3 = 35





 1 − 4 x2 −



1 − 4 y2 = 2( x + y),

24)

1



 x2 + y2 + 4 x y = − ;

4





 3 x + 3 y = 6,

25)



 3 x + 16 + 3 y + 16 = 10;



26)







 x+2+



 4x + 1 +



y + 2 = 4,

4 y + 1 = 6;



Đáp số. (1; 1).



Đáp số. {(1; 2), (2; 1)}.



Đáp số. ( 2/4; − 2/4); (− 2/4; 2/4) .



Đáp số. (3; 3).



Đáp số. (2; 2).



4.5. Hệ phương trình phản xứng



27) (A, 2006)







x + y −



 x+1+



159



x y = 3,



Đáp số. (3; 3).



y + 1 = 4;





5



 x2 + y + x3 y + x y2 + x y = − ,

4

28) (A, 2008)

5



 x4 + y2 + x y(1 + 2 x) = −

4



( x, y ∈ R).



Đáp số.



29)







 x2 + y + x3 y + x y2 + x y = 1,



 x4 + y2 + x y(1 + 2 x) = 1



1; −



3

,

2



3



3



10

100

;−

2

4



.



( x, y ∈ R).



Đáp số. {(−1; −1), (−1; 0), (0; 1), (1; −3), (1; 0)} .



4.5



Hệ phương trình phản xứng



Trường hợp hệ phương trình có chứa lượng x − y và x · y, thường ta đặt S = x − y và P = x y.

Cũng có thể đặt t = − y để đưa hệ đã cho về hệ đối xứng theo x và t.

Bài tập 4.20. Giải các hệ phương trình sau:

1)







 x y + x − y = 3,



 x2 y − x y2 = 2;



Đáp số. (−1; −2), (2; 1), ( 2 + 1; 2 − 1), (1 − 2; − 2 − 1).

2)



3)







4 x2 + 4 y2 − 5 x + 5 y − 4 x y − 6 = 0,



Đáp số. {(0; −2), (2; 0)}.





3 x2 + 3 y2 − 2 x y − 12 = 0;





2 x2 + 2 y2 − 3 x + 3 y = 86,



 x2 + y2 + x y = 37;



157 − 11

;

4



Đáp số.



4) (A, 2012)



157 + 11

− 157 − 11 − 157 + 11

,

;

, (3; −7), (7; −3).

4

4

4







 x3 − 3 x2 − 9 x + 22 = y3 + 3 y2 − 9 y,



( x, y ∈ R).



1



 x2 + y2 − x + y =

2



Đáp số. ( x; y) =

Bài tập 4.21. Giải phương trình

3



( x+4−



3



x) · (2 − 3



3



x 2 + 4 x ) + 1 = 0.



1 3

3 1

;−

hoặc ( x; y) = ; − ; .

2 2

2 2



Chủ đề 4. Hệ phương trình



160



Đáp số.

Hướng dẫn. Đặt a =



3



3



;−



5−1

2



3



.



3



x. Hệ đã cho trở thành









(a − b)(2 − 3ab) + 1 = 0,

(a − b)(2 − 3ab) + 1 = 0,







(a − b)3 + 3ab(a − b) = 4.

 a3 − b 3 = 4



4.6



x + 4, b =



5−1

2



Hệ phương trình đối xứng loại hai



Definition 2 Hệ gồm hai phương trình với hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng

loại hai nếu thay x bởi y và thay y bởi x, thì phương trình này trở thành phương trình kia.✷

Xét hệ hệ phương trình đối xứng loại hai dạng





 f ( x, y) = 0



(4.7)





 g( x, y) = 0.



Để giải hệ (4.7), ta viết





 f ( x, y) = 0,



 g( x, y) = 0.











 f ( x, y) − g( x, y) = 0,



 g( x, y) = 0.



Sau đó, phân tích f ( x, y) − g( x, y) = 0 thành tích, trong đó có một nhân tử là x − y.

Bài tập 4.22. Giải các hệ phương trình sau:

1)



2)







2 x2 − 3 x = y2 − 2,



Đáp số. {(1; 1), (2; 2)}.





2 y2 − 3 y = x2 − 2;





 x3 + 1 = 2 y,



 y3 + 1 = 2 x;



Đáp số. (1; 1),



3



2 x + y = 2 ,

x

3)

3



2 y + x = ;

y2



1 3





2 x + = ,

y x

4)

1 3





2 y + = ;

x y



−1 − 5 −1 − 5

−1 + 5 −1 + 5

;

;

;

2

2

2

2



.



Đáp số. {(1; 1)}.



Đáp số. ( 2; − 2), − 2; 2 ; (1; 1), (−1; −1) .



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

4 Hệ phương trình đối xứng loại một

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×