Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 Sử dụng lượng liên hợp

2 Sử dụng lượng liên hợp

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chủ đề 2. Phương trình chứa căn



44

Lời giải. Điều kiện (2.1) có nghĩa là







x2 + 13 x + 19











 x2 + 14 x + 17



0,

0,







x2 + 16 x + 13 0,











 x2 + 20 x + 5 0.



Phương trình (2.1) tương đương với

x2 + 16 x + 13 −



x2 + 13 x + 19 +



x2 + 20 x + 5 −



x2 + 14 x + 17 = 0.



Bằng cách nhân lượng liên hợp, ta được

3( x − 2)



x2 + 16 x + 13 + x2 + 13 x + 19



6( x − 2)



+



x2 + 20 x + 5 + x2 + 14 x + 17



= 0.



Từ phương trình này, ta có được x = 2.

Thử lại, ta thấy x = 2 thoả phương trình (2.1).

Vậy phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 2.2

Giải phương trình

2 x 2 − 9 x − 8 + 3 x + 1 − 6 − x = 0.



Lời giải. Điều kiện để (2.2) có nghĩa là −



1

3



(2.2)



6.



x



Ta thấy x = 5 là một nghiệm của phương trình (2.2).

Để ý là với x = 5, thì



3 x + 1 = 4 và



6 − x = 1. Ta viết (2.2) tương đương với



2 x2 − 9 x − 5 + ( 3 x + 1 − 4) + (1 − 6 − x) = 0.



hay

( x − 5)(2 x + 1) +



3( x − 5)

3x + 1 + 4



+



x−5

1+ 6− x



= 0.



Điều này tương đương

( x − 5) 2 x + 1 +



Do điều kiện −



1

3



x



3

3x + 1 + 4



+



1

1+ 6− x



6, nên

2x + 1 +



3

3x + 1 + 4



+



1

1+ 6− x



Do đó, (2.3) xảy ra khi và chỉ khi x = 5.

Vậy phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất x = 5.



> 0.



= 0.



(2.3)



2.2. Sử dụng lượng liên hợp



45



Ví dụ 2.3

Giải phương trình

(2.4)



(2 x + 3) · 4 x + 5 + (6 x + 7) · 8 x + 9 = 2.

9

− .

8



Lời giải. Điều kiện x



Cách 1. Trước hết, ta chứng minh với x







9

thì

8



(2 x + 3) · 4 x + 5



1



(2.5)



(6 x + 7) · 8 x + 9



1



(2.6)







Dấu đẳng thức ở (2.5) và (2.6) xảy ra khi và chỉ khi x = −1. Thật vậy, với x

1 ⇔ 4( x + 1) 4 x2 + 13 x + 11



(2 x + 3) · 4 x + 5



9

− , ta có

8



0





(6 x + 7) · 8 x + 9



1 ⇔ 4( x + 1) 72 x2 + 177 x + 110



0.



Từ (2.5) và (2.6), suy ra (2.4) có nghiệm duy nhất x = −1.

Cách 2.

(2.4) tương đương với

(2 x + 3) · ( 4 x + 5 − 1) + (6 x + 7) · ( 8 x + 9 − 1) + 8 x + 8 = 0



hay



(2 x + 3) · (4 x + 4)

4x + 5 + 1



+



(6 x + 7) · (8 x + 8)

8x + 9 + 1



+ 8 x + 8 = 0.



tương đương

(4 x + 4)



(2 x + 3)

4x + 5 + 1



+



2(6 x + 7)

8x + 9 + 1



+ 2 = 0.



>0



Ví dụ 2.4

Giải phương trình

x2 + 7 x + 11 +



− x2 − 12 x − 19 − x2 − 6 x − 10 = 0.



(2.7)



Phân tích. Dùng máy tính bỏ túi, ta thấy phương trình có hai nghiệm là x = −5 và x = −2.

Giả sử lượng liên hợp của



x2 + 7 x + 11 là ax + b. Để tìm a, b, ta xét phương trình

x2 + 7 x + 11 − (ax + b) = 0.



(2.8)



Chủ đề 2. Phương trình chứa căn



46



Lần lượt thay x = −5 và x = −2 vào (2.8), ta được hệ phương trình





5 a − b + 1 = 0 ,









2 a − b + 1 = 0



Do đó, lượng liên hợp







 a = 0,



 b = 1.



x2 + 7 x + 11 là 1.

− x2 − 12 x − 19 là cx + d , ta xét phương trình



Tương tự, giả sử lượng liên hợp



− x2 − 12 x − 19 − ( cx + d ) = 0.



(2.9)



Lần lượt thay x = −5 và x = −2 vào (2.9), ta được hệ phương trình





5 c − d + 4 = 0,









 d = −1.





2 c − d + 1 = 0



Do đó, lượng liên hợp







 c = −1,







− x2 − 12 x − 19 là − x − 1.



Lời giải. Điều kiện để (2.7) có nghĩa là −6 − 17



x



17 − 6.



(2.7) tương đương với

(



x2 + 7 x + 11 − 1) + ( − x2 − 12 x − 19 + x + 1) − ( x2 + 7 x + 10) = 0



hay

x2 + 7 x + 10

x2 + 7 x + 11 + 1







2( x2 + 7 x + 10)

− x2 − 12 x − 19 − x − 1



− ( x2 + 7 x + 10) = 0.



Đặt nhân tử chung, ta được

( x2 + 7 x + 10)



1



x2 + 7 x + 11 + 1







2

− x2 − 12 x − 19 − x − 1



− 1 = 0.



<0



Từ đây, ta có x2 + 7 x + 10 = 0 hay x = −5 ∨ x = −2 là nghiệm của (2.7).

Ví dụ 2.5

Giải phương trình

4 x2 + 3 x + 2 −



x2 + 5 x + 10 = 3 x − 4.



Lời giải. Phương trình đã cho có nghĩa với mọi x.

Ví dụ 2.6

Solve the equation

8 x + 1 − 6 x − 2 − 2 x 2 + 8 x − 7 = 0.



(2.10)



2.2. Sử dụng lượng liên hợp



47



Lời giải. We rewrite the given equation in the form

8 x + 1 − ( x + 2) + ( x + 1 − 6 x − 2) = 2( x2 − 4 x + 3).



equavalently to

−( x2 − 4 x + 3)



8 x + 1 + ( x + 2)



Or

( x2 − 4 x + 3)



+



x2 − 4 x + 3

x + 1 + 6x − 2



1

8 x + 1 + ( x + 2)



+2−



= 2( x2 − 4 x + 3).



1



x + 1 + 6x − 2



= 0.



It’s easy to see that

1

8 x + 1 + ( x + 2)



+2−



1



x + 1 + 6x − 2



> 0.



Thus, the given equation have two solutions are x = 1 or x = 3.

Ví dụ 2.7

Giải phương trình

x3 − x2 − 6 x + 10 = (3 x − 4) · 3 x − 5.



Lời giải. Điều kiện để (2.11) có nghĩa là x

(2.11) tương đương với



(2.11)



5

.

3



x3 − x2 − 6 x + 10

=

3x − 4



(2.12)



3 x − 5.



Dùng máy tính cầm tay, ta thấy (2.11) có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = 3. Làm tương tự các

ví dụ trước, lượng liên hợp của



3 x − 5 là x − 1. Ta viết (2.12) tương đương với



x3 − x2 − 6 x + 10

− ( x − 1) =

3x − 4



3 x − 5 − ( x − 1).



Hay

( x − 2)( x − 3)( x + 1) 3 x − 5 − ( x2 − 2 x + 1)

=

3x − 4

3 x − 5 + ( x − 1)



tương đương

x2 − 5 x + 6



( x − 2)( x − 3)( x + 1)

+

3x − 4



3x − 5 + x − 1



= 0.



Đặt nhân tử chung của hai số hạng, ta được

( x − 2)( x − 3)



Do x



5

, nên

3



x+1

+

3x − 4



x+1

+

3x − 4



1

3x − 5 + x − 1



1

3x − 5 + x − 1



> 0.



Như vậy, (2.13) xảy ra khi và chỉ khi

( x − 2)( x − 3) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 3.



Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x = 2 ∨ x = 3.



= 0.



(2.13)



Chủ đề 2. Phương trình chứa căn



48

Ví dụ 2.8

Giải phương trình

3x − 5 + 2 ·



3



19 x − 30 = 2 x2 − 7 x + 11.

5

. Phương trình đã cho tương đương

3



Lời giải. Điều kiện phương trình có nghĩa là x

3



3 x − 5 − ( x − 1) + 2



19 x − 30 − x = 2 x2 − 10 x + 12.



Hay

3 x − 5 − ( x − 1)2

3x − 5 + x − 1



+2



19 x − 30 − x2

3



2



19 x − 30 + x ·



3



19 x − 30 + x2



= 2( x − 2)( x − 3).



Thu gọn mỗi tử số và phân tích thành nhân tử, ta được





( x − 2)( x − 3)

3x − 5 + x − 1



−2



( x − 2)( x − 3)( x + 5)

3



2



19 x − 30 + x ·



3



19 x − 30 + x2



= 2( x − 2)( x − 3).



Đặt nhân tử chung, dẫn đến

( x − 2)( x − 3)



Vì x



1



+



3x − 5 + x − 1



2( x + 5)

3



2



19 x − 30 + x ·



3



19 x − 30 + x2



+ 2 = 0.



5

, nên biểu thức trong dấu ngoăc vuông dương. Từ đó, ta thu được

3

( x − 2)( x − 3) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 3.



Ví dụ 2.9

Giải phương trình

( x + 6) · x + 7 + ( x + 11) · x + 12 = ( x + 8) · ( x + 9).



Lời giải. Điều kiện phương trình đã cho có nghĩa x



(2.14)



−7.



Phương trình (2.14) tương đương với

( x + 6) · ( x + 7 − 2) + ( x + 11) · ( x + 12 − 3) = x2 + 12 x + 27



hay

( x + 3)



x+6

x+7+2



+



x + 11

x + 12 + 3



− ( x + 9) = 0.



Ta thấy x = −3 là một nghiệm của phương trình đã cho.

Xét phương trình



x+6

x+7+2



+



x + 11

x + 12 + 3



− ( x + 9) = 0.



(2.15)



2.2. Sử dụng lượng liên hợp



49



• Với x > −6, ta có



x+6

x+7+2







x + 11

x + 12 + 3



Suy ra



x+6

x+7+2



+



<



<



x+6

2



x + 11 x + 12 x + 12

<

<

.

3

3

2



x + 11

x + 12 + 3



<



x + 6 x + 12

+

= x + 9.

2

2



Do đó, (2.15) vơ nghiệm.

• Với −7



x



−6, ta có x + 7



0 và x + 6



x+6

x+7+2



Mặt khác, x



0, nên



x+7



<



x+7+2



<



x+7

.

2



−7, nên x + 11 > 0, do đó



x + 11

x + 12 + 3



Suy ra



x+6

x+7+2



+



x + 11 x + 11

<

.

3

2



<



x + 11

x + 12 + 3



<



x + 7 x + 11

+

= x + 9.

2

2



Do đó, (2.15) vơ nghiệm.

Vậy (2.14) có nghiệm duy nhất x = −3.

Ví dụ 2.10

Giải phương trình

x3 − 8 x2 + 23 x − 16 = ( x + 2) · x + 1.



Lời bình. Trước hết, ta tìm lượng liên hợp của

SHIFT SOLVE ,



(2.16)



x + 1. Sử dụng máy tính cầm tay, với lệnh



ta được nghiệm gần đúng 4.302775638. Lưu nghiệm này vào phím A bằng



cách bấm SHIFT STO A . Tiếp theo ta bấm



A + 1, ta được 2.302775638. Nhận xét rằng



A + 1 = A − 2.



Do đó, lượng liên hợp của



x + 1 là x − 2. Viết (2.16) dưới dạng



x3 − 8 x2 + 23 x − 16 − ( x + 2)( x − 2) = ( x + 2)



x + 1 − ( x − 2) .



Tương đương

2



( x − 4) x − 5 x + 3 = −



( x + 2) x2 − 5 x + 3



x + 1 + ( x + 2)



.



Chủ đề 2. Phương trình chứa căn



50

Chuyển vế và đặt nhân tử chung, ta được

x2 − 5 x + 3



x+2



x−4+



x + 1 + ( x + 2)



= 0.



Quy đồng phương trình trong dấu ngoặc vng, từ phương trình trên, ta thu được

2



x − 5x + 3



x2 − 5 x + 10 + ( x − 4) x + 1

x + 1 + ( x + 2)



= 0.



(2.17)



Xét phương trình

x2 − 5 x + 10 + ( x − 4) x + 1 = 0.



(2.18)



Để giải (2.18), ta có thể làm như sau:

Do x2 − 5 x + 10 > 0, nên ta phải có x − 4 < 0. Ta có

x2 − 5 x + 10 − (4 − x) x + 1 > x2 − 5 x + 10 −



(4 − x)2 + ( x + 1) x2 − 3 x + 3

=

> 0.

2

2



Do đó, (2.18) vơ nghiệm.

Như vậy, (2.17) xảy ra khi

x2 − 5 x + 3 = 0 ⇔ x =



Chỉ có nghiệm x =



1

1

5 − 13 ∨ x = 5 + 13 .

2

2



1

5 + 13 thoả phương trình đã cho.

2



Một ý tưởng rất hay của em Nguyễn Minh Hoàng Nhật 4 là viết (2.16) dưới dạng

x − 2 − x + 1 · x2 + ax + b + ( cx + d ) · x + 1 = 0.



Để tìm các số a, b, c, d , xét hàm số

f ( x) = x3 − 8 x2 + 23 x − 16 − ( x + 2) x + 1 − x − 2 − x + 1 x2 + ax + b + ( cx + d ) x + 1 .



Ta có







f (0) = 3( b + d − 6),











 f (3) = 3a + b + 6 c + 2 d + 7,





f (8) = −3(8a + b + 24 c + 3 d + 18),











 f (15) = −9(15a + b + 60 c + 4 d + 21).



Giải hệ phương trình







f (0) = 0,











 f (3) = 0,





f (8) = 0,











 f (15) = 0













a = −5,











 b = 10,





c = 1,











 d = −4.



Như vậy, phương trình đã cho tương đương

x − 2 − x + 1 · x2 − 5 x + 10 + ( x − 4) · x + 1 = 0.

4 Học



sinh lớp 12 Toán, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai, năm học 2016 – 2017.







2.2. Sử dụng lượng liên hợp



51



Ví dụ 2.11

Giải phương trình

x3 + 5 x2 + 2 x = 3 · ( x + 1) 3 x + 2.



(2.19)



Phân tích. Dùng máy tính bỏ túi ta tìm được các nghiệm xấp xỉ của phương trình đã cho là

−0.6180339887. Lưu số này vào phím A . Để tìm lượng liên hợp của



3 x + 2, ta bấm



ta được 0.3819660113. Con số này bằng A + 1. Như vậy, lượng liên hợp của



Lời giải. Điều kiện 3 x + 2



0 hay x



3 A + 2,



3 x + 2 là x + 1.



2

− . Viết (2.19) tương đương

3



x3 + 5 x2 + 2 x

− 3( x + 1) = 3 ·

x+1



3 x + 2 − ( x + 1) .



Hay

( x + 3) x2 − x − 1



x+1



=



3(− x2 + x + 1)

3 x + 2 + ( x + 1)



.



Chuyển vế và đặt nhân tử chung, ta được

( x2 − x − 1) ·



Do điều kiện x

và chỉ khi



x+3

+

x+1



3

3 x + 2 + ( x + 1)



(2.20)



= 0.



2

− , nên biểu thức trong dấu ngoặc vng dương. Do đó, (2.20) xảy ra khi

3



x2 − x − 1 = 0 ⇔ x =



1

1

1− 5 ∨ x = 1+ 5 .

2

2



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

x=



1

1

1− 5 ∨ x = 1+ 5 .

2

2



Ví dụ 2.12

Giải phương trình

2 x3 − 7 x2 + 11 x − 1 = (4 x + 7) · 2 x + 3.



(2.21)



Phân tích. Dùng máy tính cho một nghiệm xấp xỉ là 4.449489743. Lưu số này vào phím A

và bấm



2 A + 3, ta được 3.44949548. Số này bằng A − 1. Như vậy, lượng liên hợp của



2x + 3







là x − 1.

Lời giải. Viết phương trình đã cho tương đương

2 x3 − 7 x2 + 11 x − 1

=

4x + 7



2 x + 3.



Chủ đề 2. Phương trình chứa căn



52



2 x3 − 7 x2 + 11 x − 1

− ( x − 1) =

4x + 7



(2.22)



2 x + 3 − ( x − 1).



Xét

2 x + 3 + x − 1 = 0 ⇔ x = 2 − 6.



Giá trị này khơng thoả phương trình (2.21).

Xét



2 x + 3 + x − 1 = 0. (2.22) viết lại thành

(2 x − 3) x2 − 4 x − 2

4x + 7



=



−( x2 − 4 x − 2)



2x + 3 + x − 1



.



Chuyển vế và đặt nhân tử chung, ta được

x2 − 4 x − 2



2x − 3

+

4x + 7



1

2x + 3 + x − 1



= 0.



Ví dụ 2.13: Thi thử THPT chuyên Hùng Vương, 2014 - 2015

Giải phương trình

x−1+ x+3+2



x3 − 4 x2 + 8 x − 5 = 2 x.



(2.23)



Lời giải.

(2.23) ⇔ x − 1 + ( x + 3 − 2) + 2 x3 − 4 x2 + 8 x − 5 − (2 x − 2)









=0



x−1



+ 2 ( x − 1) · ( x2 − 3 x + 5) − 2( x − 1) = 0

x+3+2

x−1

+ 2 x2 − 3 x + 5 − x − 1

x−1· 1+

=0

x+3+2

x−1

2( x2 − 4 x + 6)

x−1· 1+

= 0.

+

x+3+2

x2 − 3 x + 5 + x − 1



x−1+



>0



Ví dụ 2.14

Giải phương trình

− x3 + x + 2 =



3 x 2 + 4 x + 5.



Lời giải. (2.24) tương đương với

3 x 2 + 4 x + 5 − 2 + x 3 − x = 0.



Nhân lượng liên hợp, ta có

3 x2 + 4 x + 1

3 x2 + 4 x + 5 + 2



+ ( x + 1) x( x − 1) = 0.



(2.24)



2.2. Sử dụng lượng liên hợp

Hay



53



( x + 1)(3 x + 1)

3 x2 + 4 x + 5 + 2



+ ( x + 1) x( x − 1) = 0.



Đặt nhân tử chung ta được

3x + 1



( x + 1)



3 x2 + 4 x + 5 + 2



+ x( x − 1) = 0.



Trường hợp 1. x + 1 = 0 tức x = −1.

Trường hợp 2.

3x + 1

3 x2 + 4 x + 5 + 2



(2.25)



+ x · ( x − 1) = 0.



Bảng xét dấu

x



• Nếu −



1

3



x



− 13



−∞



3x + 1







x2 − x



+



0 hoặc x



0



0

+



+



+



0



+∞



1







+



0



+



1, vế trái của (2.25) dương, nên (2.25) vơ nghiệm.



1

• Nếu x < − , ta chứng minh

3

3x + 1

3 x2 + 4 x + 5 + 2



Thật vậy,



3x + 1

3 x2 + 4 x + 5 + 2



Điều này luôn đúng.



>



>



3x + 1

> x − x2 .

2



3x + 1



2



1



1

< .

3 x2 + 4 x + 5 + 2 2



3x + 1

> x − x 2 ⇔ 2 x 2 + x + 1 > 0.

2



Điều này cũng ln đúng.

• Nếu 0 < x < 1, ta chứng minh

3x + 1

3 x2 + 4 x + 5 + 2



>



3x + 1

> x − x2 .

8



Ta có

3x + 1

3 x2 + 4 x + 5 + 2



>



3x + 1



8



3 x2 + 4 x + 5 + 2







3 x2 + 4 x + 5 < 6



1



⇔ 3 x2 + 4 x − 31 < 0.



Điều này luôn đúng do 0 < x < 1.



>



1

8



Chủ đề 2. Phương trình chứa căn



54

Tiếp theo, ta chứng minh



3x + 1

> x − x2 .

8



Điều này đơn giản vì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

luôn đúng là

8 x2 − 5 x + 1 > 0.



Như vậy, (2.25) vơ nghiệm.

Tóm lại, phương trình đã cho chỉ có nghiệm x = −1.

Lời bình. Lời giải bằng phương pháp liên hợp như trên quá phức tạp. Mong q thầy cơ

tìm thêm cách giải khác.

Có thể giải (2.24) như sau:

(2.24) tương đương với





− x 3 + x + 2



0,





 x 6 − 2 x 4 − 4 x 3 − 2 x 2 − 1 = 0.



Phân tích phương trình thứ hai thành nhân tử, ta được

( x + 1) x5 − x4 − x3 − 3 x2 + x − 1 = 0.



Ta có

x5 − x4 − x3 − 3 x2 + x − 1 = x5 − x3 − 2 x2 − ( x2 − x + 1) − x4

= x2 ( x3 − x − 2) − ( x2 − x + 1) − x4



Để ý rằng







x 3 − x − 2 0,







x 2 − x + 1 > 0,







 4



x

0,



nên

x5 − x4 − x3 − 3 x2 + x − 1 < 0.







Ví dụ 2.15

Giải phương trình

x3 − x2 + 1 =



x2 + 4 x + 13.



Lời bình. (2.26) tương đương với





 x3 − x2 + 1



0,





 x6 − 2 x5 + x4 + 2 x3 − 3 x2 − 4 x − 12 = 0



(2.26)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 Sử dụng lượng liên hợp

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×