Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của luận án

Tải bản đầy đủ - 0trang

• Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại và tính đa nghiệm trong trường

hợp dưới tới hạn của phương trình elliptic nửa tuyến tính chứa tốn

tử ∆λ với số hạng phi tuyến khơng thỏa mãn điều kiện AmbrosettiRabinowitz.

• Nội dung 2. Nghiên cứu sự tồn tại, không tồn tại và tính đa nghiệm

trong trường hợp số hạng phi tuyến dưới tới hạn của hệ Hamilton

elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử ∆λ .

• Nội dung 3. Nghiên cứu các định lí kiểu Liouville cho hệ bất đẳng

thức elliptic nửa tuyến tính chứa tốn tử ∆λ .

4. Phương pháp nghiên cứu

• Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính đa nghiệm chúng tôi sử dụng

phương pháp biến phân và các định lí tổng qt của lí thuyết tới hạn.

• Để nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm chúng tôi thiết lập các đồng

nhất thức kiểu Pohozaev phù hợp và khai thác cấu trúc hình học của

miền đang xét.

• Để nghiên cứu các định lí kiểu Liouville chúng tơi sử dụng phương

pháp hàm thử và thiết lập các ước lượng tích phân phù hợp.



5. Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu không tầm thường của

bài tốn (4) khi số hạng phi tuyến có tăng trưởng đa thức dưới tới

hạn và không thỏa mãn điều kiện Ambrosetti-Rabinowitz. Ngoài ra,

khi số hạng phi tuyến là hàm lẻ theo biến ẩn hàm, chúng tôi chứng

17



minh được tính đa nghiệm của bài tốn (4). Đây là nội dung chính

của Chương 2.

• Chứng minh được sự khơng tồn tại nghiệm cổ điển dương đối với hệ

Hamilton (5) trong trường hợp miền đang xét là miền hình sao. Chứng

minh được tính đa nghiệm của hệ (5) trong trường hợp số mũ p, q nằm

dưới đường hyperbol tới hạn. Đây là nội dung chính của Chương 3.

• Thiết lập được các định lí kiểu Liouville về sự khơng tồn tại nghiệm

cổ điển không âm của bất đẳng thức (6) và hệ bất đẳng thức elliptic

(7) trong tồn khơng gian. Đây là nội dung chính của Chương 4.

Các kết quả mới của luận án là những đóng góp có ý nghĩa khoa học

cho Lí thuyết Giải tích hàm phi tuyến ứng dụng và Lí thuyết phương trình

elliptic; góp phần vào việc hồn thiện các lí thuyết này và giải quyết một

số vấn đề mở mà nhiều nhà khoa học trong và ngồi nước quan tâm.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 03 bài báo trên

các tạp chí khoa học chun ngành quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI)

và đã được báo cáo tại:

• Xêmina Giải tích của Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2;

• Xêmina của Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội;

• Hội thảo khoa học "Toán học trong sự nghiệp đổi mới giáo dục", Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, 10/2017.

6. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, kiến nghị, danh mục các cơng trình được

cơng bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

18



• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho các chương

sau;

• Chương 2 trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của phương

trình elliptic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng

phi tuyến có tăng trưởng đa thức dưới tới hạn;

• Chương 3 trình bày các kết quả về sự khơng tồn tại nghiệm cổ điển,

sự tồn tại nghiệm yếu của hệ Hamilton suy biến trong miền bị chặn;

• Chương 4 trình bày các định lí kiểu Liouville của hệ bất đẳng thức

elliptic suy biến trong tồn khơng gian.



19



Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ



Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả

phục vụ cho các chương sau, cụ thể chúng tơi trình bày: Định nghĩa tốn

tử elliptic suy biến mạnh ∆λ , một số không gian hàm, các kết quả về phép

nhúng, về giá trị riêng, vectơ riêng của toán tử ∆λ , một số kết quả của

phương pháp biến phân và lí thuyết điểm tới hạn và một số kiến thức bổ

trợ khác.

1.1. Toán tử ∆λ -Laplace

Ta xét tốn tử có dạng

N



∂xi (λ2i ∂xi ),



∆λ :=

i=1



trong đó ∂xi =





∂xi , i



= 1, . . . , N. Ở đây, các hàm λi : RN → R là liên tục



trên RN , dương ngặt và thuộc lớp C 1 bên ngoài các siêu phẳng tọa độ, tức

là, λi > 0, i = 1, . . . , N trong RN \ Π, ở đó

N

N



Π = {(x1 , . . . , xN ) ∈ R :



xi = 0}.

i=1



Như trong [39] ta giả thiết các hàm λi thỏa mãn các tính chất sau:

1) λ1 (x) ≡ 1, λi (x) = λi (x1 , . . . , xi−1 ), i = 2, . . . , N ;

2) Với mỗi x ∈ RN , λi (x) = λi (x∗ ), i = 1, . . . , N , với

x∗ = (|x1 |, . . . , |xN |) nếu x = (x1 , . . . , xN );

3) Tồn tại hằng số ρ ≥ 0 sao cho

0 ≤ xk ∂xk λi (x) ≤ ρλi (x) ∀k ∈ {1, . . . , i − 1}, i = 2, . . . , N,

20



N

và với mỗi x ∈ RN

+ := {(x1 , . . . , xN ) ∈ R : xi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , N };



4) Tồn tại nhóm co dãn {δt }t>0

δt : RN → RN , δt (x) = δt (x1 , . . . , xN ) = (t 1 x1 , . . . , t N xN ),

với 1 ≤



1







2



≤ ··· ≤



N,



sao cho λi là δt -thuần nhất bậc



i



− 1, tức



là,

λi (δt (x)) = t i −1 λi (x),



∀x ∈ RN , t > 0, i = 1, . . . , N.



Từ điều này, ta có tốn tử ∆λ là δt -thuần nhất bậc 2, nghĩa là,

∆λ (u(δt (x))) = t2 (∆λ u)(δt (x)),



∀u ∈ C ∞ (RN ).



Ta kí hiệu Q là số chiều thuần nhất của khơng gian RN đối với nhóm

{δt }t>0 , tức là

Q :=



1



+ ··· +



N.



Số chiều thuần nhất Q này đóng vai trò rất quan trọng cả trong cấu trúc

hình học và phiếm hàm liên kết với tốn tử ∆λ .

Nhận xét 1.1. Như đã chỉ ra trong [39], nếu các hàm λi là trơn thì bằng

cách sử dụng tiờu chun ca Hăormander trong [35], cú th chng minh

c rằng tốn tử ∆λ là hypoelliptic (nhưng khơng là elliptic theo nghĩa

thông thường, trừ trường hợp tất cả các λi đều là hằng số).

Dưới đây ta trình bày một số ví dụ thường gặp về lớp tốn tử ∆λ (ngồi

trường hợp tầm thường khơng suy biến là tốn tử Laplace).

Ví dụ 1.1 (Toán tử Grushin (xem [34])). Cho α ≥ 0 là một số thực, toán

tử Grushin là toán tử có dạng

Gα = ∆x + |x|2α ∆y ,



(x, y) ∈ RN1 × RN2 ,



21



trong đó N1 , N2 ∈ N∗ , |x| là chuẩn Euclide của x trong không gian RN1 và

λ = (λ1 , . . . , λN ) xác định bởi

λj (x, y) = |x|α , j = 1, . . . , N2 .



λi (x, y) = 1, i = 1, . . . , N1 ,



δt (x, y) = (tx, t1+α y).



Nhóm co dãn {δt }t>0 xác định bởi:



Số chiều thuần nhất tương ứng với nhóm {δt }t>0 là Nα = N1 + N2 (1 + α).

Ví dụ 1.2 (Tốn tử suy biến kiểu Pα,β,γ ). Cho α, β, γ ≥ 0 là các số thực.

Xét toán tử

Pα,β,γ = ∆x + |x|2α ∆y + |x|2β |y|2γ ∆z ,



(x, y, z) ∈ RN1 × RN2 × RN3 ,



với Ni ∈ N∗ , i = 1, 2, 3, |x|, |y| tương ứng là chuẩn Euclide của x, y trong

không gian RN1 , RN2 và λ = (λ(1) , λ(2) , λ(3) ) xác định bởi

(1)



λj (x, y, z) ≡ 1,



j = 1, . . . , N1 ,



(2)



λk (x, y, z) = |x|α ,



k = 1, . . . , N2 ,



(3)



λl (x, y, z) = |x|β |y|γ ,



l = 1, . . . , N3 .



Nhóm co dãn {δt }t>0 tương ứng là

δt (x, y, z) = (tx, t1+α y, t1+β+(1+α)γ z),

và số chiều thuần nhất là

Q = N1 + (1 + α)N2 + [1 + β + (1 + α)γ]N3 .

Khi α = 0 thì toán tử này trở thành toán tử suy biến kiểu Pβ,γ được xét

trong [68] (xem thêm [67]).

Ví dụ 1.3. Tổng quát hơn, ta xét đa chỉ số α = (α1 , . . . , αk−1 ) với αi ≥

0, i = 1, . . . , k − 1. Ta định nghĩa toán tử

∆λ = ∆x(1) + |x(1) |2α1 ∆x(1) + |x(2) |2α2 ∆x(3) + · · · + |x(k−1) |2αk−1 ∆x(k) ,

22



với x = (x(1) , x(2) , . . . , x(k) ) ∈ RN1 × RN2 × . . . × RNk , Ni ∈ N∗ , i = 1, . . . , k

và |x(i) | là chuẩn Euclide trong không gian RNi , i = 1, . . . , k. Khi đó, hàm

λ = (λ1 , . . . , λk ) xác định bởi

λi (x) = |x(i−1) |αi−1 , i = 2, . . . , k,



λ1 (x) ≡ 1,



và nhóm co dãn tương ứng là

δt (x(1) , x(2) , . . . , x(k) ) = (t 1 x(1) , t 2 x(2) , . . . , t k x(k) )

với



1



= 1,



i



= 1 + αi−1



i−1



với i = 2, . . . , k. Số chiều thuần nhất tương



ứng là

Q=



1 N1



+ 2 N2 + · · · +



k Nk .



1.2. Các không gian hàm và phép nhúng

Trước tiên, chúng tôi giới thiệu một số không gian hàm được sử dụng

để nghiên cứu bài toán trong Chương 2 và Chương 3 của luận án.





Với 1 ≤ p < +∞, ta kí hiệu khơng gian W 1,p

λ (Ω) là bao đóng của khơng

gian C0∞ (Ω) trong chuẩn

u







W 1,p

λ



p



1

p



|∇λ u| dx



=



,







ở đó ∇λ u = (λ1 ∂x1 u, . . . , λN ∂xN u).









Ta thấy không gian W 1,p

λ (Ω) là không gian Banach và khi p = 2 thì



W 1,2

λ (Ω) là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng

∇λ u · ∇λ v dx,



(u, v) =





và chuẩn tương ứng là

u



1,2



2



|∇λ u| dx



=





23



1

2



.



Tiếp theo, ta định nghĩa Wλ2,p (Ω) là không gian gồm tất cả các hàm u

sao cho

u ∈ Lp (Ω), λi



∂u



∈ Lp (Ω), λi

∂xi

∂xi



λj



∂u

∂xj



∈ Lp (Ω),



với i, j = 1, 2, . . . , N và chuẩn tương ứng là





 p1



N



u



Wλ2,p



|u|p + |∇λ u|p +



=



λi

i,j=1









∂u

(λj

)

∂xi

∂xj



p



dx .



Ta cũng thấy rằng không gian Wλ2,p (Ω) là không gian Banach. Đặc biệt,

khi p = 2, không gian Wλ2,2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vơ hướng

N



(λi



(u, v)W 2,2 = (u, v)L2 +

λ



i=1

N



∂u

∂v

, λi

)L2

∂xi ∂xi



λi



+

i,j=1





∂u



∂v

(λj

), λi

(λj

)

∂xi

∂xj

∂xi

∂xj



,

L2



f (x)g(x)dx với f, g ∈ L2 (Ω).



ở đó (f, g)L2 =





Từ Mệnh đề 3.2 và Định lí 3.3 trong [39], ta có kết quả về các phép

nhúng thường được sử dụng về sau trong luận án.

Mệnh đề 1.1 ([39]). Giả sử các hàm λi , i = 1, 2, . . . , N thỏa mãn các điều

kiện 1)-4) ở Mục 1.1 và Q > 2. Khi đó phép nhúng













W 1,2

λ (Ω) → L (Ω), trong đó 2λ =



2Q

,

Q−2



là liên tục. Hơn nữa, phép nhúng





γ

W 1,2

λ (Ω) → L (Ω)



là compact với mỗi γ ∈ [1, 2∗λ ).

Bây giờ, chúng tôi thiết lập phép nhúng quan trọng sau.

24



Mệnh đề 1.2. Giả sử các hàm λi , i = 1, 2, . . . , N thỏa mãn các điều kiện

1)-4) ở Mục 1.1 và Q > 4. Khi đó phép nhúng Wλ2,2 (Ω) → Lγ (Ω) là liên

2Q

Q−4 .



tục với 1 ≤ γ ≤



Chứng minh. Với mỗi u ∈ C0∞ (Ω), ta có

N



u



Wλ2,2



=



u



2

L2



2

L2



+ ∇λ u



λi



+

i,j=1



∂u



(λj

)

∂xi

∂xj



1

2



2

L2



,





λi





∂xi



λj



∂u

∂xj



∈ L2 (Ω),



i, j = 1, 2, . . . , N.



Do đó

N



∇λ u



2







W 1,2

λ



= ∇λ (∇λ u)



2



=

i,j=1 Ω



∂u

λj ∂x

j



Từ đó, các hàm





2

L2





∂u

λi

(λj

) dx < +∞.

∂xi

∂xj



(1.1)







∈ W 1,2

λ (Ω), j = 1, . . . , N và bởi Mệnh đề 1.1 ta có









W 1,2

λ (Ω) → L (Ω), và do vậy



∇λ u

Từ điều này ta thu được λj









L2λ



≤ C ∇λ u







W 1,2

λ



.



(1.2)



∂u



∈ L2λ (Ω), j = 1, . . . , N và do định nghĩa

∂xj

◦ 1,2∗





λ

của không gian W 1,p

λ (Ω) với p = 2λ , ta suy ra rằng u ∈ W λ (Ω). Ta lại áp



dụng Mệnh đề 1.1 một lần nữa và thu được

u



2∗ Q

λ

Q−2∗

λ

L



≤C u



Từ (1.1), (1.2) và (1.3), ta đạt được

u



2Q



L Q−4



≤C u



◦ 1,2∗

λ







≤ C ∇λ u



= ∇λ u







W 1,2

λ



25







L2λ



◦ 1,2∗

λ







.



(1.3)







 12



N



≤C



λi

i,j=1 Ω





∂u 2 

(λj

) dx

∂xi

∂xj



≤C



∂u



(λj

)

u 2L2 + ∇λ u 2L2 + λi

∂xi

∂xj



=C u



Wλ2,2 .



1

2



2

L2



Mệnh đề được chứng minh.

Xét bài toán biên Dirichlet thuần nhất sau đối với toán tử ∆λ -Laplace:





−∆λ u = f (x) trong Ω,

(1.4)





u = 0 trên ∂Ω.









1,2

Mệnh đề 1.3. Toán tử −∆λ : W 1,2

λ (Ω) → (W λ (Ω)) là một song ánh, ở





đó



(W 1,2

λ (Ω))







là khơng gian đối ngẫu của W 1,2

λ (Ω).



Chứng minh. Ta có

(−∆λ u, u) = u



2







W 1,2

λ (Ω)



và (−∆λ u, u) ≤ − ∆λ u







(W 1,2

λ (Ω))



u







W λ1,2 (Ω)



.



Do đó, theo bất đẳng thức Poincaré,

C u



2







W 1,2

λ (Ω)



≤ ∇λ u



2

L2 (Ω)



= (−∆λ u, u) ≤ − ∆λ u







(W 1,2

λ (Ω))



u







W 1,2

λ (Ω)



.



Hay

C u







W 1,2

λ (Ω)



≤ − ∆λ u







(W λ1,2 (Ω))



.



Từ bất đẳng thức này ta suy ra −∆λ là đơn ánh với miền giá trị R(−∆λ )

là tập đóng.





Ta chứng tỏ −∆λ là tồn ánh. Thật vậy, giả sử tồn tại u0 ∈ W 1,2

λ (Ω)





trực giao với miền giá trị R(−∆λ ) ⊂ (W λ1,2 (Ω)) , tức là





(−∆λ u, u0 ) = 0,

26



∀u ∈ W λ1,2 (Ω).



Lấy u = u0 , khi đó

C u0



2







W 1,2

λ (Ω)



2

L2 (Ω)



≤ ∇λ u0



= (−∆λ u0 , u0 ) = 0,



từ đó u0 = 0.





Vậy −∆λ là tồn ánh, tức là R(−∆λ ) = (W 1,2

λ (Ω)) .

Hệ quả 1.1. Với mỗi f ∈ L2 (Ω), bài toán Dirichlet (1.4) có duy nhất





nghiệm yếu u ∈ W 1,2

λ (Ω).





Chứng minh. Do f ∈ L2 (Ω) ⊂ (W 1,2

λ (Ω)) , nên từ định lí trên, tồn tại duy





nhất u ∈ W 1,2

λ (Ω) sao cho

(−∆λ u, v) = (∇λ u, ∇λ v) = (f, v),



∀v ∈ C0∞ (Ω).



Điều này chứng tỏ u là nghiệm yếu của bài toán (1.4).





Nhờ Mệnh đề 1.3, ta có tồn tại tốn tử nghịch đảo T = (−∆λ )−1 :





1,2

(W 1,2

λ (Ω)) → W λ (Ω) của tốn tử −∆λ . Khi đó, ta có khẳng định sau.



Mệnh đề 1.4. Tốn tử nghịch đảo T của toán tử −∆λ là toán tử xác định

dương, tự liên hợp và compact trong L2 (Ω).

Chứng minh. Từ Hệ quả 1.1, ta thấy với mỗi ϕ ∈ L2 (Ω), tồn tại duy nhất





u ∈ W 1,2

λ (Ω) sao cho −∆λ u = ϕ. Khi đó,

(T ϕ, ϕ) = (T (−∆λ u), −∆λ u) = (T (−∆λ )u, −∆λ u) = (u, −∆λ u)

= ∇λ u



2

L2 (Ω)



≥C u



2







W 1,2

λ (Ω)



,



ở đó hằng số C là dương. Do đó, T là toán tử xác định dương.





Với u, v ∈ W 1,2

λ (Ω), đặt ϕ = −∆λ u và ψ = −∆λ v. Khi đó,

(T ϕ, ψ) = (T (−∆λ u), −∆λ v) = (T (−∆λ )u, −∆λ v)

27



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Cấu trúc của luận án

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×