Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
5- Phép Biến đổi tích phân

5- Phép Biến đổi tích phân

Tải bản đầy đủ - 0trang

Giáo trình Matlab và ứng dụng

f(w), thì fourier trả về một hàm của t: F=F(t). Theo định nghĩa, F(w)

= int(f(x)*exp(-i*w*x),x,-inf,inf), phép tích phân ở trên đợc thực hiện

theo x (do kết quả của hàm findsym).

+ F = fourier(f,v): Kết quả trả về F là hàm của biến v thay cho

biến mặc định w:

F(v) = int(f(x)*exp(-i*v*x),x,-inf,inf).

F = fourier(f,u,v): f là hàm cđa u vµ F lµ hµm cđa v, chóng thay

thÕ các biến mặc định x và w: F(v) = int(f(u)*exp(-i*v*u),u,-inf,inf).

Ví dô:

>>syms x w u

>>f=exp(-x^2)

>>fourier(f)

ans = pi^(1/2)*exp(-1/4*w^2)

>>g = exp(-abs(w))

>>fourier(g)

ans=2/(1+t^2)

>>f=x*exp(-abs(x))

>>fourier(f,u)

ans = -4*i/(1+u^2)^2*u

>>syms x v u real



>>f= exp(-x^2*abs(v))*sin(v)/v

>>fourier(f,v,u)

ans = -atan((u-1)/x^2)+atan((u+1)/x^2)

Phép biến đổi fourier ngợc:

+ f = ifourier(F): là phép biến đổi fourier ngợc của hàm vô hớng F

với biến độc lập mặc định w. Kết quả trả về mặc định của phép

biến đổi ngợc này là một hàm của x. Phép biến đổi fourier ngợc đợc

áp dụng cho một hàm của w và trả về một hàm của x: F=F(w)

=>f=f(x). Nếu F = F(x) thì IFOURIER trả về một hàm của t: t: f = f(t).

Theo định nghĩa, f(x)=1/(2*pi)*int(F(w)*exp(i*w*x),w,-inf,inf) và

phép tích phân đợc thực hiện với w.

+ f =: f là hàm của biến u thay thế biến mặc định x.

Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



80



Giáo trình Matlab và ứng dụng

ifourier(F,u) <=> f(u) = 1/(2*pi) * int(F(w)*exp(i*w*u,w,inf,inf).

+ f = ifourier(F,v,u): F lµ hµm cđa v vµ f lµ hµm cđa u, chúng thay

thế các biến mặc định w và x tơng ứng. ifourier(F,v,u) <=>f(u) =1/

(2*pi)*int(F(v)*exp(i*v*u,v,-inf,inf), phép tích phân đợc thực hiện theo

v.

VÝ dô:

>>syms a w x t v real

>>f = exp(-w^2/(4*a^2))

>>F = ifourier(f);

>>F = simple(F)

F = a*exp(-x^2*a^2)/pi^(1/2)

>>g=exp(-abs(x))

>>ifourier(g)

ans = 1/(1+t^2)/pi

>>f=2*exp(-abs(w))-1

>>simplify(ifourier(f,t))

ans = (2-pi*Dirac(t)-pi*Dirac(t)*t^2)/(pi+pi*t^2)

>>f=exp(-w^2*abs(v))*sin(v)/v;

>>ifourier(f,v,t)

ans = 1/2*(atan((t+1)/w^2) - atan((-1+t)/w^2))/pi



5.5.2- Biến đổi laplace và laplace ngợc

Phép biến đổi laplace của hàm f(t) đợc định nghĩa nh sau:

+



L[f](s)= f (t)etsdt và phép biến đổi laplace ngợc là:





1 c+ i

f (s)estds



2j

+ L = laplace(F): Biến đổi Laplace của hàm F với biến độc lập

L-1[f](t)=



mặc định là t. Kết quả trả về là một hàm của s. Nếu F = F(s) thì

Laplace trả về một hàm của t: L = L(t). Theo định nghĩa, L(s) =

int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) và phép tích phân đợc thực hiện với t.

Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



81



Giáo trình Matlab và ứng dụng

+ L = laplace(F,t): L lµ mét hµm cđa t thay thÕ biến mặc định s.

L = laplace(F,t) <=> L(t) = int(F(x)*exp(-t*x),0,inf)

+ L = laplace(F,w,z): L lµ hµm cđa z vµ F là hàm của w, nó thay

thế các biến symbolic mặc định s và t tơng ứng.

L = laplace(F,w,z) <=> L(z) = int(F(w)*exp(-z*w),0,inf)

VÝ dô:

>>syms t v x a

>>f = t^4

>>laplace(f)

ans = 24/s^5

>>g=1/sqrt(s)

>>laplace(g)

ans = 1/s^(1/2)*pi^(1/2)

>>f=exp(-a*t)

>>laplace(f,x)

ans= 1/(x + a)

>>f=1- cos(t*v)

>>laplace(f,x)

ans = 1/x-x/(x^2+v^2)

• BiÕn đổi laplace ngợc

+ F = ilaplace(L): là phép biến đổi laplace ngợc của hàm vô hớng

L với biến độc lập mặc định s. Kết quả trả về mặc định của phép

biến đổi ngợc này là một hàm của t. Phép biến đổi laplace ngợc đợc

áp dụng cho một hàm của s và trả về một hàm của t: L=L(t) =>F=F(s).

Nếu L=L(s) thì ilaplace(L) trả về một hàm của x: F = F(x). Theo định

nghĩa, F(t) = int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf) trong đó c là một số

thực, phép tích phân đợc thực hiện đối víi s.

+ F = ilaplace(L,y): F lµ hµm cđa y thay thế biến mặc định t.

ilaplace(L,y) <=> F(y) = int(L(y)*exp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf).

+ F = ilaplace(L,y,x): F lµ hµm cđa x vµ L là hàm của y, nó thay

thế các biến symbolic mặc định t và s.



Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



82



Giáo trình Matlab và ứng dụng

ilaplace(L,y,x) <=> F(y) = int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf),

phép tích phân đợc thực hiện đối với biến y.

Ví dụ :

>>syms s a t

>>f=1/s^2



>>ilaplace(f)

ans = t

>>g=1/(t-a)^2



>>ilaplace(g)

ans = x*exp(a*x)

>>syms u a x

>>f=1/(u^2-a^2)

>>ilaplace(f,x)

ans = 1/(-a^2)^(1/2)*sin((-a^2)^(1/2)*x)

>>syms s v x

>>f=s^3*v/(s^2+v^2)

>>ilaplace(f,v,x)

ans = s^3*cos(s*x)



5.5.3- PhÐp biÕn ®ỉi Z và Z ngợc

Phép biến đổi Z (một phía) của hàm f(n) đợc định nghĩa nh

sau:





Z[f ](z) = f ( n)z− n

n= 0



ký hiƯu Z[f] ¸m chØ phÐp biÕn ®ỉi z cđa f t¹i z. PhÐp biÕn ®ỉi z

cã các cú pháp nh sau:

F = ztrans(f) là biến đổi z của đại lợng vô hớng f với biến độc lập

n. Kết quả trả về mặc định là một hàm cđa z: f = f(n) => F = F(z).

BiÕn ®ỉi z của f đợc định nghĩa nh sau: F(z) =

symsum(f(n)/z^n, n, 0, inf), trong đó n là biến độc lập của f do hàm

findsym quyết định. Nếu f = f(z), thì ztrans(f) trả về một hàm của w:

F = F(w).

Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



83



Giáo trình Matlab và ứng dụng

+ F = ztrans(f,w) trả về F là một hàm của biến symbolic w thay

vì biến độc lập mặc định z: ztrans(f,w) <=> F(w) =

symsum(f(n)/w^n, n, 0, inf).

+ F = ztrans(f,k,w): f là hàm của biến symbolic k thay vì biến

độc lập mặc định:

ztrans(f,k,w) <=> F(w) = symsum(f(k)/w^k, k, 0, inf).

Ví dụ:

>>syms k n w z

>>ztrans(2^n)



kết quả là: z/(z-2)



>>ztrans(sin(k*n),w)



kết quả là: sin(k)*w/(1-2*w*cos(k)

+w^2)



>>ztrans(cos(n*k),k,z)



kết quả là: z*(-cos(n)+z)/(-2*z*cos(n)

+z^2+1)



>>ztrans(cos(n*k),n,w)



kết quả là: w*(-cos(k)+w)/(-2*w*cos(k)

+w^2+1)



>>ztrans(sym('f(n+1)')) kết quả là: z*ztrans(f(n),n,z)-f(0)*z

Phép biến đổi z ngợc

Phép biến đổi z ngợc của một hàm g(z) tại n đợc định nghĩa nh

sau:

Z 1[g]( n) =



1

g(z)zn1dz, trong đó n = 1,2, và R là một số



2i |z|= R



nguyên dơng sao cho hàm g(z) giải tích trên và bên ngoài đờng tròn |

z| = R. Ký hiệu Z-1[f] có nghĩa là biến đổi z của f tại n. Phép biến đỏi

z ngợc thờng đợc dùng để giải phơng trình vi phân.

+ f = iztrans(F) là biến đổi z của đại lợng vô hớng F theo biến

độc lập mặc định là z. Kết quả trả về mặc định là một hàm của n:

F = F(z) => f = f(n). NÕu F = F(n), th× iztrans(F) trả về một hàm của

k: f = f(k).

f = iztrans(F,k): f là một hàm của k thay vì biến độc lập mặc

định n.



Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



84



Giáo trình Matlab và ứng dụng

f = iztrans(F,w,k): F là một hàm của w và trả về một hàm của k:

F=F(w)&f=f(k).

Ví dụ:

>>iztrans(z/(z-2))



kết quả là 2^n



>>iztrans(exp(x/z),z,k)



kết quả là x^k/k!



5.5.4- Chuyển phơng trình hệ số sang phơng

trình tham số

Để chuyển phơng trình hệ số sang phơng trình tham số, sử

dụng lệnh poly2sym. Lệnh này chuyển đa thức hệ số thành đa thức

symbolic.

poly2sym(C) trả về một đa thức theo biến x với các hệ số là các

phần tử của véctơ C.

poly2sym(C,'V') và poly2sym(C,sym('V') trả về một đa thức theo biến

đợc xác định ở đối số thứ hai với các hệ số là các phần tư cđa vÐc t¬

C. VÝ dơ:

>>poly2sym([1 0 -2 -5])

ans = x^3-2*x-5

>>poly2sym([1 0 -2 -5],'t')

>>t = sym('t')

>>poly2sym([1 0 -2 -5],t)

ans = t^3-2*t-5

>> y = [1 2 3 0 1]

y=



1



2



3



0



1



>> poly2sym(y)

ans = x^4+2*x^3+3*x^2+1

* Chuyển từ phơng trình tham số sang phơng trình hƯ sè:

Sư dơng lƯnh sym2poly ®Ĩ chun ®a thøc symbolic thành véc

tơ các hệ số của đa thức.

Lệnh sym2poly (P) trả về một véc tơ hàng chứa các hệ số cđa ®a

thøc symbolic P. VÝ dơ:

>>sym2poly(x^3 - 2*x - 5) và kết quả trả về [1 0 -2 -5].

Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



85



Giáo trình Matlab và ứng dụng



5.5.5- Tìm hàm ngợc

Để tìm hàm ngợc của một hàm symbolic f nào đó ta sử dụng lệnh

finverse(f).

+ g = finverse(f) trả về hàm ngợc của f, f là một symbol vô hớng

biểu diễn một hàm một biến symbolic x. Thì g là một symbol vô hớng

thoả mãn: g(f(x)) = x.

+ g = finverse(f,v) sư dơng biÕn symbolic v trong ®ã v là một

symbol nh là biến độc lập. Thì g là một symbol thoả mãn: g(f(v))

= v. Cú pháp này đợc sử dụng khi f chứa nhiều hơn một biến

symbolic. VÝ dô:

VÝ dô:

>>syms u v x y

>>finverse(1/tan(x))

ans = atan(1/x)

>>finverse(exp(u-2*v),u)

ans = 2*v+log(u)

>>f = x^2+y;

>>finverse(f,y)

ans = -x^2+y.

>>finverse(f)

Warning: finverse(x^2+y) is not unique.

> In C:\matlabR12\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43

ans =

(-y+x)^(1/2)

Lệnh finverse(x^2+y) mà không xác định biến độc lập là y thì

xuất hiện một cảnh báo (Warning: finverse(x^2+y) is not unique)

là hàm ngợc của f theo x là không duy nhất.



Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



86



Giáo trình Matlab và ứng dụng



Chơng 6 Control System Toolbox

Control System Toolbox là một bộ công cụ rất mạnh và cực kỳ có ý

nghĩa và tiện lợi đối với kỹ s điều khiển tự động hay những ngời

nghiên cứu lý thut hƯ thèng. Víi Control System Toolbox ta cã thể

thực hiện tất cả các bớc cần thiết để khảo sát, thiết kế hệ thống nói

chung, đặc biệt là các hệ thống điều khiển tự động:

+ Mô tả các hệ thống tuyến tính dừng hay còn gọi là hệ tuyÕn

tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian (hÖ cã tham sè hằng) dới dạng liên tục hay

gián đoạn.

+ Chuyển đổi hoặc xử lý hệ, phân tích đặc tính của hệ

thống.

+ Thiết kế và tính toán tối u các khâu điều chỉnh.

Do hạn chế về mặt nội dung và thời gian nên trong chơng này

chúng tôi chỉ giới thiệu sơ qua một số công cụ, một số lệnh thờng đợc

sử dụng trong mô phỏng, khảo sát đánh giá chất lợng của hệ thống

điều khiển tự động (Control System). Để có thể hiểu sâu hơn về

Control System Toolbox, bạn đọc có thể tham khảo trong Help của

Matlab hay trong các tài liệu tham khảo.



6.1- Mô hình hoá hệ LTI

Khi nghiên cứu một đối tợng hay một quá trình nào đó, để giảm

thiểu chi phí, công sức và thời gian nghiên cứu, ngời ta thờng tiến

hành mô hình hoá bằng các công cụ toán học và sử dụng máy tính

để mô phỏng. Matlab cung cấp cho các hệ LTI (liên tục hoặc gián

đoạn) có dạng sau:

-



Hệ một đầu vào một đầu ra SISO (Single Input Single Output).



-



Hệ nhiều đầu vào nhiều đầu ra MIMO (Multiple Input Multiple

Output).

Có bốn phơng thức mô tả các hệ LTI nh sau:

-



Hàm hàm truyền đạt TF (Transfer Function).



Mô hình ®iĨm kh«ng - ®iĨm cùc ZPK (Zero – Pole - Gain).

-



Mô hình không gian trạng thái SS (State Space).



Bộ môn TĐH Xí nghiệp Công nghiệp



87



Giáo trình Matlab và ứng dụng

-



Mô hình dữ liệu đặc tính tần số FRD (Frequency Response Data).

6.1.1- Mô hình hàm truyền đạt

Hàm truyền đạt là một phâ thức hữu tỷ của s với đa thức tử số

num và đa thức mẫu số den mô tả đăc tính truyền đạt của hệ trên

miền ảnh Laplace:



num(s) a m s m + a m−1s m−1 + ... + a 1s + a o

=

W(s) =

den(s)

b n s n + b n −1s n −1 + ... + b1s + b o

Khai báo hàm truyền đạt trong Matlab sử dụng hàm tf(num,den)

trong đó num và den là các véc tơ hệ số của đa thức num và den đợc sắp xếp theo số mũ giảm dần:

Hệ SISO: W = tf(num,den). Ví dô:

>>W = tf([2 -3],[1 2 1])

Transfer function:

2s-3

------------s^2 + 2 s + 1

hc:

>>num = [2 -3];

>>den = [1 2 1];

>>W = tf(nun,den)

Transfer function:

2s-3

------------s^2 + 2 s + 1

HÖ MIMO: W =



w11 w12

víi w11 = tf(num11,den11), w12 =

w 21 w 22



tf(num12,den12), w21 = tf(num21,den21), w22 = tf(num22,den22). VÝ

dô:

>> w11=tf([2 -3],[1 2 1]);

>> w12=tf([1 1 -3],[2 1]);

>> w21=tf([1 2],[1 2 3]);

Bộ môn TĐH XÝ nghiƯp C«ng nghiƯp



88



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

5- Phép Biến đổi tích phân

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×