Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG 2: ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC TAY MÁY

CHƯƠNG 2: ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC TAY MÁY

Tải bản đầy đủ - 0trang

11

được sử dụng phổ biến: Phương pháp Denavit-Hartenberg và phương pháp

Craig. Trong nội dung đồ án xin trình bày phương pháp Denavit-Hartenberg.

1.1.



Phép biến đổi thuần nhất và ma trận biến đổi thuần nhất



Cho 2 hệ quy chiếu R0 = {Ox0 y0 z0 } và R1 = {Ox1 y1 z1} như hình vẽ. Tọa độ

r

rp

điểm P trong hệ quy chiếu R0 là , trong hệ quy chiếu R1





r

uP .

Khi đó ta có:

r r r

rP = rA + u P



(1.1)



Trong hệ quy chiếu R0 biểu thức (2.1) có

r

r

r

rP(0) = rA(0) + u P(0)

(1.2)



dạng:



Hình 2.2

Gọi A là ma trận cosin chỉ hướng của hệ quy chiếu R1 đối với hệ quy chiếu R0.



Khi đó ta có hệ thức:



 a11 a12

A =  a21 a22

 a31 a32



a13 

a23 

a33 



(1)

u (0)

P = Au P



(1.3)



Thế (2.3) vào (2.2) ta được:

rP(0) = rA(0) + Au(1)

P

(1)

a13  uPx 

 (1) 

a23  u Py







a33  u (1) 

 Pz 

Nếu sử dụng khái niệm tọa độ thuần nhất ta có:



 xP(0)   x (0)

  a11 a12

A

 (0)   (0)  

 yP  =  y A  +  a21 a22

 z (0)   z (0)   a

a

 P   A   31 32

 xP(0)   a11 a12

 (0)  

 yP  =  a21 a22

 z (0)   a

a

 P   31 32

0

 1   0



Hay:



a13

a23

a33

0



(1)

x A(0)  u Px 

  (1) 

u

y (0)

A   Py 

 u (1) 

z (0)

A

  Pz 

1   1 



(1.4)



(1.5)



(1.6)



12

rP(0)   A

 = T

 1  0





rA(0)  u (1)

P

 

1  1 



(1.7)



Nếu ta đưa vào ma trận:

 a11 a12



a

a

T =  21 22

 a31 a32



0

0



a13

a23

a33

0





x (0)

A

(0) 

yA   A

=

 0T

z (0)

A



1 



rP(0) 



1 



(1.8)



Thì phương trình (2.7) có thể viết dưới dạng:

rP(0) = Tu (1)

P



(1.9)



1.2. Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tinh tiến thuần nhất

Các ma trận quay cơ bản trong không gian thuần nhất:

0

0

1

0 cos(ϕ ) − sin(ϕ )

TRx (ϕ ) = Rot ( x, ϕ ) = 

0 sin(ϕ ) cos(ϕ )



0

0

0



 cos(ψ )

 0

TRy (ψ ) = Rot ( y,ψ ) = 

 − sin(ψ )



 0



0

0 

0



1

(1.10)



0 sin(ψ )



0

1

0

0



0 cos(ψ ) 0 



0

0

1

(1.11)



cos(θ ) − sin(θ )

 sin(θ ) cos(θ )

TRz (θ ) = Rot ( z,θ ) = 

 0

0



0

 0



0 0

0 0



1 0



0 1

(1.12)



b)



c)

Hình 2.3: a,b,c



Các ma trận tịnh tiến



1

0

TTx (a ) = Trans ( x, a ) = 

0



0



a)



0

1

0

0



0

0

1

0



a

0



0



1

(1.13)



a)



13

1

0

TTy (b) = Trans ( y , b) = 

0



0



0

1



0

0



0

b



0



1

(1.14)



0



1



0



0



1

0

TTz (c ) = Trans ( x, c ) = 

0



0



0 0 0

1 0 0



0 1 c



0 0 1

(1.15)



b)



c)

Hình 2.4 a,b,c



Nếu tịnh tiến đồng thời trên các trục x, y ,z ta có ma trận thuần nhất:

1

0

TT (a, b, c) = Trans (a, b, c ) = 

0



0



0 0 a

1 0 b



0 1 c



0 0 1



(1.16)



1.3. Phương pháp Denavit-Hartenberg

1.3.1. Cách xác định hệ trục tọa độ

Xét các vật rắn nối tiếp nhau bằng các khớp quay và khớp tịnh tiến. Khi đó

quan hệ vị trí giữa các khâu kế tiếp có thể được xác định bởi 2 tham số khớp



Hình 2.5: Hình biểu diễn khớp và khâu

Trong hình trên, khâu i-1 và khâu i được nối với nhau bằng khớp i. Trục zi-1

được chọn là trục của khớp thứ i. Tham số thứ nhất θi , là góc quay trục xi-1

'

'

quanh trục zi-1 đến trục xi / / xi . Tham số thứ 2 là d i, là khoản cách giữa trục xi và



trục xi . Nếu khớp i là khớp quay thì θi là biến, còn di là hằng số. Nếu khớp I là

khớp tịnh tiến thì khoảng cách di là biến, còn θi là hằng số.

Cách chọn các hệ trục tọa độ có gốc tại khớp thứ i:



14

1) Trục zi −1 được chọn dọc theo hướng của trục khớp động thứ i

2) Trục

zi − 2



xi −1 được chọn dọc theo đường vng góc chung của 2 trục



zi −1







, hướng từ trục zi −2 đến trục zi −1 . Nếu trục zi −1 cắt trục zi −2 thì hướng của



trục xi −1 được chọn tùy ý miễn là vuông góc với trục zi −1 . Khi đó 2 trục

zi − 2



và zi −1 song song với nhau, giữa 2 trục này có nhiều đường pháp



tuyến chung, ta có thể chọn trục xi −1 hướng theo pháp tuyến chung nào

cũng được

3) Gốc tọa độ Oi-1 được chọn tại giao điểm của trục xi −1 và trục zi −1

4) Trục yi −1 được chọn sao cho hệ (Oxyz)i-1 là hệ quy chiếu thuận

5) Đối với hệ tọa độ (Oxyz) 0 theo quy ước trên ta chỉ chọn được trục z 0,

còn trục xo chưa có trong quy ước trên. Ta có thể chọn trục x 0 tùy ý,

miến là x0 và z0 vng góc với nhau.

6) Đối với hệ trục (Oxyz) n, do khơng có khớp n+1, nên theo quy ước trên

ta không thể xác định được trục zn. Trục zn không được xác định duy

nhất, trong khi trục xn lại không được chọn theo pháp tuyến của trục zn-1.

Trường hợp này, nếu khớp n là khớp quay, ta có thể chọn trục zn song

song với trục zn-1. Ngoài ra ta có thể chọn tùy ý sao cho hợp lý.

1.3.2. Các tham số động học Denavit-Hartenberg.



Hình 2.6: Sơ đồ thiết lập hệ tọa độ các khâu

Vị trí của hệ tọa dộ khớp (Oxyz)i , đối với hệ tọa độ khớp (Oxyz)i-1được

xác định bởi bốn tham số Denavit-Hartenberg:



θi , di , ai , α i như sau:



'

'

z

- θi : góc quay quanh trục i −1 để trục xi −1 chuyển đến trục xi ( xi / / xi )



15

-



di



: dịch chuyển tịnh tiến dọc theo trục zi −1 để gốc tọa độ Oi-1 chuyển đến



'

điểm Oi , giao điểm của trục xi và zi −1



-



ai



'

: dịch chuyển tịnh tiến dọc theo trục xi để điểm Oi chuyển đến điểm Oi



α i : góc quay quanh trục xi sao cho trục zi' −1 ( zi' −1 / / zi ) chuyển đến trục zi



Do hệ trục tọa độ (Oxyz)i-1 gắn liền vào khâu thứ i-1, còn hệ tọa độ (Oxyz) i

gắn vào khâu thứ i, cho nên vị trí của khâu thứ i đối với khâu thứ i-1 được xác

định bởi 4 tham số Denavit-Hartenberg.

1.3.3. Ma trận Denavit-Hartenberg.

Ta có thể chuyển hệ tọa độ khớp (Oxyz) i-1 sang hệ tọa độ khớp (Oxyz) i bằng

bốn phép biến đổi cơ bản như sau:

- Quay quanh trục zi-1 một góc θi .

- Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục zi-1 một đoạn di.

- Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục xi một đoạn ai.

- Quay quanh trục xi một góc α i



Ma trận của phép biến đổi, ký hiệu H i là tích của bốn ma trận biến đổi cơ bản

và có dạng như sau:

Quay hệ tọa độ xung quanh trục zi −1 một góc θ1 ta được ma trận biến đổi:

cos(θi ) sin(θi )

 sin(θ ) cos(θ )

i

i

TRz = Rot ( z ,θi ) = 

 0

0



0

 0



0 0

0 0 

1 0



0 1



(1.17)



Tịnh tiến theo trục zi một đoạn di ta được ma trận biến đổi:

1

0

TTz = Trans( z , di ) = 

0



0



0

1

0

0



0

0

1

0



0

0 

di 



1



Tịnh tiến theo trục xi một đoạn ai ta được ma trận biến đổi:



(1.18)



16

1

0

TTx = Trans( x, di ) = 

0



0



0

1

0

0



0

0

1

0



ai 

0 

0



1



(1.19)



Và quay quanh trục xi một góc α i ta được ma trận biến đổi

0

0

1

0 cos(α ) − sin(α )

i

i

TRx = Rot ( x, α i ) = 

0 sin(α i ) cos(α i )



0

0

0



0

0 

0



1



(1.20)



Ma trận biến đổi hệ tọa độ (Oxyz)i-1 thành hệ tọa độ (Oxyz)i được xác định

bằng tích của 4 ma trận biến đổi trên:

H i = TRz (θ i )TTz (d i )TTx (ai )TRx (α i )

cos θi

 sin θ

i

=

 0



 0



− sin θi cos α i

cos θi cos α i

sin θi

0



sin θ i sin α

− cos θi sin α i

cos α i

0



ai cos θ i 

ai sin θ i 

di 



1 



(1.21)



1.3.4. Phương trình xác định vị trí và hướng của khâu thao tác

Với ma trận trên ta có thể xác định được:

- Vị trí của gốc tọa độ của hệ tọa độ (Oxyz)i trong hệ tọa độ (Oxyz )i −1 trong

- Hướng của vật rắn gắn với hệ tọa độ (Oxyz )i trong hệ tọa tọa độ (Oxyz )i −1 trong.

- Bằng cách chuyển dần hệ quy chiếu (Oxyz ) n từ On về On−1 , On−2 ,... và cuối cùng

là hệ quy chiếu cố định (Oxyz )0 ta sẽ xác định được vị trí của gốc tọa độ On và

hướng của khâu thứ n trong hệ quy chiếu cố định



Hình 2.7: Tay máy n khâu

Áp dụng liên tiếp phép biến đổi đối với robot n khâu ta có :



17

Dn = H1H 2 ...H n

A

Dn =  n

0



rE(0) 



1 



Ma trận Dn cho biết vị trí của điểm định vị và hướng của khâu thao tác của robot

đối với hệ quy chiếu cố định.

2. Bài toán động học ngược

Bài toán động học thuận cho phép xác định thế của phần công tác, và có thể

cả vùng làm việc của nó theo quan hệ với các thông số động học của các cặp

khâu- khớp. Bài toán động học ngược nhằm xác định bộ thông số động học để

đảm bảo chuyển động cho trước của phần cơng tác. Các bài tốn ngược thường

có các đặc điểm:

- Các phương trình có dạng phi tuyến và siêu việt, thường khơng cho lời

giải đúng.

- Có thể có nhiều lời giải.

- Có thể gặp nghiệm vơ định, vì các liên kết thừa (giống như liên kết siêu

tĩnh).

- Có thể có nghiệm tìm được bằng tốn học, nhưng lại không chấp nhận

được về mặt vật lý, do các ràng buộc về kết cấu.

Tính đa nghiệm của bài tốn động học ngược không chỉ phụ thuộc vào các

biến khớp (số bậc tự do) mà cả vào số lượng các tham số khác khơng trong kết

cấu.

Việc tìm các nghiệm phù hợp đòi hỏi ở người thiết kế một trực giác về mặt

toán học và về kết cấu để dự đoán những đặc điểm hoặc khu vực khả dĩ giảm

được số nghiệm cần lựa chọn.

2.1.



Không gian thao tác và không gian cấu hình của Robot.



Xét mơ hình robot như hình 2.13. Vị trí khâu thao tác được xác định bởi sáu

T

tham số px , p y , pz , ϕ ,ψ , θ . Trong đó p = [px , p y , pz ] xác định vị trí của điểm thao tác



T

E, còn α = [ϕ ψ θ ] xác định hướng của khâu thao tác. Trong số sáu tọa độ trên,



18

trong nhiều trường hợp chỉ quan tâm đến một

số tọa độ trong số đó, ký hiệu các tọa độ cần

quan tâm là x1 , x2 ,..., xm ( m ≤ 6) :

x = [ x1 , x2 ,..., xm ]



T



Các tọa độ x1 , x2 ,..., xm được gọi là các tọa độ

thao tác. Tập hợp các tọa độ thao tác tạo thành khơng

gian Tay

Euclide

chiều và

Hình 2.8:

máy 4mkhâu

được gọi là không gian thao tác của Robot.

¡



x



= {x| x i =f i (q),q ∈ ¡ q }



Ta sử dụng các tọa độ suy rộng q1 , q2 ,..., qn để xác định vị trí các khâu của robot.

Thơng thường chúng là tọa độ các khớp. Như thế ta có:

q = [ q1 q2 ... qn ]



Các tọa độ



q1 , q2 ,..., qn



T



được gọi là các tọa độ khớp. Tập hợp các tọa độ



q1 , q2 ,..., qn tạo thành không gian Euclide n chiều gọi là khơng gian cấu hình của

Robot.

¡



q



= {q| q i min


2.2. Bài toán động học ngược

Khi giải bài toán động học thuận robot ta xác định được quan hệ:



x = f(q)



(1.22)



Từ phương trình trên ta suy ra một cách hình thức:



q = f -1 (x)

x = [ x1 , x2 ,..., xm ] , q = [ q1 , q2 ,..., qn ]

T



Trong đó:



(1.23)

T



Khi m = n ta quy ước gọi là robot cấu trúc không dư hoặc robot chuẩn. Nếu

m < n gọi là robot có cấu trúc dư hoặc robot dư dẫn động.

2.3.



Các phương pháp giải bài toán ngược

Các phương pháp giải bài toán động học ngược được phân loại thành 2



nhóm: các phương pháp giải tích và các phương pháp số.



19

• Phương pháp giải tích cho phép tìm ra kết quả q là biểu thức giải tích đối với x.

Các phương pháp này cho kết quả chính xác và nhanh chóng nhưng q trình

tính tốn, thành lập phương trình giải tích phức tạp và khơng có cách giải tổng

quát cho mọi robot.

• Phương pháp số là phương pháp tính gần đúng với sai số cho phép được sử

dụng với sự hỗ trợ của máy tính. Phương pháp này cho ta cách giải tổng

quát cho mọi robot, cho kết quả chính xác cần thiết nhưng đưa ra kết quả chậm.

2.3.1. Phương pháp giải tích

Với phương pháp này, khi giải bài toán động học thuận bằng phương pháp ma

trận Denavit-Hartenberg ta có ma trận biến đổi xác định vị trí của khâu thao tác

là:



 A n (q) rE(0) (q) 

Tn (q ) = Dn (q) = H1H 2 ...H n−1H n = 



1 

 0



(1.24)



Từ đó xác định được ma trận côsin chỉ hướng của khâu thao tác và véc tơ định

vị điểm thao tác E là các hàm của các tọa độ suy rộng. Nếu sử dụng phương

pháp ma trận Craig, ta có:

(0)

 A (q) rOn

(q) 

Tn (q ) = Cn (q) = K 1K 2 ...K n −1K n =  n



1 

 1



(1.25)



Từ đó ta xác định được ma trận côsin chỉ hướng của khâu thao tác. Véc tơ xác

định vị trí của điểm thao tác E có dạng:

(0)

rE(0) = rOn

+ A nu (0)

E



(1.26)



Mặt khác từ nhiệm vụ cơng nghệ của robot ta có ma trận cấu hình của khâu

thao tác (ma trận cơsin chi hướng của khâu thao tác đó và véc tơ xác định vị trí

của điểm thao tác) dưới dạng hàm của các tọa độ thao tác:

 a11 ( x ) a12 ( x) a13 ( x)

 a ( x) a ( x) a x

22

23 ( )

Tn ( x) =  21

 a31 ( x ) a32 ( x) a33 ( x)



0

0

 0



a14 ( x) 

a24 ( x ) 

a34 ( x) 



1 



(1.27)



20

Từ đó ta có phương trình ma trận:



Tn (q) = Tn ( x)



(1.28)



Từ phương trình trên, sử dụng các phương pháp đại số và hình học ta có thể tìm

ra các hàm xác định các tọa độ khớp:



q = f -1 (x)



(1.29)



2.3.2. Phương pháp số

2.3.2.1. Xác định véc tơ vận tốc và véc tơ gia tốc suy rộng

Giả sử ta đã xác định được quan hệ giữa các tọa độ thao tác và các tọa độ

m

khớp: x = f(q), x ∈ ¡ , q ∈ ¡



m



(1.20)



Khi m < n robot có số bậc tự do n, lớn hơn số tọa độ xác định vị trí của khâu

thao tác. Khi đó robot được gọi là robot dư dẫn động. Đạo hàm 2 vế của biểu

thức (2.9) theo thời gian ta được:



x&=



∂f

q&= J (q)q&

∂q



(1.21)



Trong đó:

∂f1 

 ∂f1 ∂f1

 ∂q ∂q .... ∂q 

1

2

n



∂f 

J (q) =

= .............................

∂q 





f



f



f

m

m

m





....

 ∂q1 ∂q2

∂qn  m×n



(1.22)



J(q) cỡ mxn được gọi là ma trận Jacobi. Giả sử hạng của ma trận J(q) là m.

Hệ phương trình (2.10) là hệ tuyến tính dư ẩn số với q&.Với một giá trị vận

tốc của khâu thao tác và một cấu hình của tay máy sẽ có vơ số nghiệm là vận tốc

của vector suy rộng. Để giải hệ phương trình này cần sử dụng lý thuyết ma trận

nghịch đảo suy rộng

Định nghĩa ma trận nghịch đảo suy rộng:

m×n

Ma trận nghịch đảo suy rộng của ma trận A ∈ R là ma trận cỡ n x m kí hiệu



+

là A và được xác định theo biểu thức:



21

A + = A T (A.A T )-1



(1.23)



Ma trận nghịch đảo suy rộng có tính chất tương tự ma trận nghịch đảo trong

phép nhân ma trận. Khi m=n ta có A+ = A-1.

Như vậy ma trận nghịch đảo suy rộng là ma trận nghịch đảo tổng quát khi ma

trận không phải là ma trận vuông.

Áp dụng lý thuyết ma trận nghịch đảo suy rộng cho phương trình (1.21) ta

được :



q&(t ) = J + (q) x&(t )



(1.24)



Tiếp tục đạo hàm 2 vế của biểu thức (2.10) ta được :



&

&

x&

(t ) = J (q)q&

(t ) + J&(q)q&(t )



(1.25)



Từ đó suy ra phương trình xác định véc tơ gia tốc suy rộng ;



(



& )J + (q) x&(t )

&

q&

(t ) = J + (q)( &

x&

(t ) − J&(q)q&(t )) = J + (q) &

x&

(t ) − J(q



)



(1.26)



Như vậy ta có cơng thức xác định véc tơ vận tốc và gia tốc trong hệ tọa độ suy

rộng :



q&(t ) = J + (q).x&(t )



(



&(t ) = J + (q) &

q&

x&

(t ) − J&(q)J + (q) x&(t )



(1.27)



)



(1.28)



Trong trường hợp robot không dư dẫn động, trong 2 biểu thức trên ta thay ma

-1

+

trận tựa nghịch đảo J (q) bằng J (q) .



2.3.2.2.



Xác định véc tơ tọa độ suy rộng



Từ các công thức (12) và (13) cho phép ta xác định được véc tơ suy rộng và

véc tơ gia tốc suy rộng, nếu biết được q(t) tại thời điểm khảo sát và các quy luật



x(t ), x&(t ), &

x&

(t ) .

Đế xác định q(t) ta giả sử robot làm việc trong khoảng thời gian t=0 đến t=T.

Chia khoảng thời gian đó thành N khoảng bằng nhau :



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG 2: ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC TAY MÁY

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×