Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản

I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản

Tải bản đầy đủ - 0trang

Cơng Phá Tốn – Lớp 12



Ngọc Huyền LB



f  x  dx ��

g  x  dx



�f  x  �g  x  �

�dx  �





II. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 3



Cho hàm số



u  u  x



tục sao cho hàm hợp

hàm của f thì



có đạo hàm liên tục trên K và hàm số



liên



f�

u  x �



�xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên



f�

u  x �

u '  x  dx  F �

u  x �







� C





 x  1

Ví dụ 1: Tìm ngun hàm �

STUDY TIP

Với phương pháp đổi

biến ta cần chú trọng

công thức mà suy ra từ

định lý như sau:

Nếu , khi đó



y  f  u



10



dx



.



Lời giải



Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng





u '   x  1 '  1



 x  1





10



f  u  du



.



, do vậy



dx  �

 x  1 .  x  1 ' dx  �

 x  1 d  x  1

10



10



 x  1



11



11



C



.



Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài tốn tìm ngun hàm theo phương

pháp đổi biến.

Nếu tính ngun hàm

theo biến mới thì sau

khi tính ngun hàm

xong, ta phải trở lại

biến x ban đầu bằng

cách thay u bởi .



Dạng 2: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng

theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số

tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn.

Từ “STUDY TIP” ở bên ta thấy đưa về một ghi nhớ quan trọng: Trong cùng một

kỳ hạn, lãi suất sẽ giống nhau mà không được cộng dồn vào vốn để tính lãi kép. Ví

dụ kỳ hạn là 3 tháng thì lãi suất tháng 1 là ar, tháng 2, tháng 3 cũng là ar, sau hết

kỳ hạn 3 tháng mà khơng rút ra thì số tiền lãi một kỳ hạn sẽ được cộng dồn vào

tiền gốc.

Lời giải tổng quát

1. Đặt



u  g  x



.



2. Biến đổi x và dx về u và du.

3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp



f  u  du



, sau đó thay biến



Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng

dụng



Tr a n g 3



x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.

Ta đến với ví dụ 2



x  1 x

Ví dụ 2: Tìm �

2



7



dx



.



Ở bài tốn này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp

2

 1  x  để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng gợi ý

hơn là x . Do vậy ta sẽ đặt

các bước trên.

7



Lời giải

Đặt



u  1  x � du   1  x  ' dx � du   dx



x 1 x

ta có �

2



7



dx  �

 1  u  .u 7 .  1 du  �

 u 7  2u 8  u9  du

2



 1 x  21 x   1 x

u 8 2u 9 u10

 



C  

8

9

10

8

9

10

8



9



10



C



2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Định lý 4

Chú ý

Đẳng thức trong định

lý 4 còn dc viết dưới

dạng



Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

u  x  v '  x  dx  u  x  .v  x   �

v  x  u '  x  dx



p  x  .q  x  dx

Nếu nguyên hàm có dạng �

thì ta có thể nghĩ đến phương pháp

ngun hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm



p  x  .q  x  dx



.



Hàm dưới dấu tích phân



Cách đặt



p  x



là đa thức,



q  x



u  p  x







dv  q  x  dx





p  x



là đa thức,



q  x   f '  e x  .e x



u  p  x







dv  q  x  dx





p  x



là đa thức,



q  x   f  ln x 



u  q  x







dv  p  x  dx





p  x



là hàm lượng giác,



là hàm lượng giác



q  x   f  ex 



u  q  x







dv  p  x  dx





Cơng Phá Tốn – Lớp 12



q  x   f '  ln x 



p  x



là đa thức,



p  x



là đa thức,



lượng giác



Ngọc Huyền LB



u  p  x







dv  q  x  dx





1

x



q  x   f '  u  x   . u  x   ' u  x 

,

là các hàm



 sin x, cos x, tan x, cot x 



Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài tốn “Tìm

và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau



Bạn Huyền giải bằng

phương pháp đổi biến số

như sau:



u  sin x ,



“Đặt

du  cos xdx

Vậy







ta



u2

sin 2 x

C 

C

2

2





sin x cos xdx



” thì ba bạn Huyền, Lê



Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên

hàm từng phần như sau:



u  cos x, v '  sin x .

“Đặt

có: u '   sin x, v   cos x

.



sin x.cos xdx  �

udu





u  p  x







dv  q  x  dx





Ta



Bạn Minh Hằng chưa

học đến hai phương

pháp trên nên làm như



sau:



sin x.cos xdx





Cơng thức ngun hàm từng phần cho ta

sin 2 x

sin x cos xdx   cos 2 x  �

sin x cos xdx

�

dx



2

Giả sử F là một nguyên hàm của sin x.cos x .

cos 2 x



C

Theo đẳng thức trên ta có

4

”.

F  x    cos 2 x  F  x   C

.



cos 2 x C

F  x  



2

2.

Suy ra

Điều này chứng tỏ

hàm của sin x.cos x .

Vậy







sin x.cos xdx  





cos 2 x

2

là một nguyên

cos 2 x

C

2

.”



Kết luận nào sau đây là đúng?

STUDY TIP

Bài toán củng cố về định

lý 1 đã nêu ở trên, và

củng cố các cách giải

nguyên hàm cơ bản.



A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai

B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.

C. Ba bạn đều giải sai.

D. Ba bạn đều giải đúng.

Đáp án D.

Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở

bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải

thích ở lời giải sau

Lời giải



Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng

dụng



Tr a n g 5



sin 2 x

cos 2 x

cos 2 x





2

4

Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số 2 ;



đều là

nguyên hàm của sin x.cos x do chúng chỉ khác nhau về một hằng số. Thật vậy

sin 2 x � cos 2 x � 1

�



�

2

� 2 � 2



;



2

2

sin 2 x � cos 2 x � 2sin x   1  2sin x  1

�





�

2

4

4.

� 4 �



3. Bảng một số nguyên hàm mở rộng



 ax  b 

 ax  b  dx 



a    1



 1







dx



 C ,  �1



1



sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C



a



1



1 ax  b

e

C

a



tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   C



a



1

m ax b  C ,  m  0 

a ln m



cot  ax  b  dx  ln sin  ax  b   C



a



 ln ax  b  C



ax  b a

ax b



e





dx 



m





dx 



ax  b



dx





a x

2



2



�x



1







1

x

arctan  C

a

a



  cot  ax  b   C



sin  ax  b 

a



2







1

ax

ln

C

2a a  x





x a



dx

2



1



2



dx





a x



1



cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C



a



 a2







dx



dx



2







 ln x  x 2  a 2  C



1 a  x2  a2





ln

C



a

x

x x2  a 2

dx



� b�



1



2



2







1

xa

ln

C

2a x  a



dx



1



 tan  ax  b   C



cos  ax  b  a

2



2

2

�a  x dx 



dx



x a2  x2 a2

x

 arcsin  C

2

2

a

1



ln  ax  b  dx  �x  �

ln  ax  b   x  C�

 ln tan



sin  ax  b  a

� a�

eax sin bxdx 





ax  b

C

2



eax  a sin bx  b cos bx 

eax  a cos bx  b sin bx 

ax



C

e

cos

bxdx



C



a 2  b2

a 2  b2



Công Phá Toán – Lớp 12



Ngọc Huyền LB



III. Các dạng toán về nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm



F  x



f  x



của hàm số



trên D ��.



Các bài toán ở dạng 1 thì chỉ u cầu độc giả nhớ bảng cơng thức nguyên hàm

cơ bản thường gặp. Chú ý với các nguyên hàm hàm hợp để áp dụng đúng cơng

thức!



Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số

A.



.



.



cos 3 xdx 



B.



cos 3 xdx  3sin 3 x  C





cos 3 xdx  



C.

STUDY TIP



f  x   cos 3 x



sin 3x

C

3



D.



sin 3 x

C

3



cos 3xdx  sin 3x  C





Đáp án B.

Lời giải



1



cos 3xdx  �

d  sin 3 x  



3

Ta có



sin 3 x

C

3



Ví dụ 2: Tìm ngun hàm của hàm số



dx



f  x 



1



1

5x  2 .

dx



1



�   2  ln 5x  2   C

B. 5 x  2



�  ln 5 x  2  C

A. 5 x  2 5

dx



dx



�  5ln 5 x  2  C

C. 5 x  2



�  ln 5 x  2  C

D. 5 x  2



Đáp án A.

Lời giải



dx



1 d  5x  2



f  x  dx  �





5 x  2 5 �5 x  2

Ta có

Ví dụ 3: Tìm ngun hàm của hàm số

A.



7 dx  7





x



C.



7 dx  7





x 1



x



x



ln 7  C

C



1

 ln 5 x  2  C

5



f  x   7x



B.

D.



Đáp án B.

Lời giải



.



7 x dx 





7x

C

ln 7



7 x dx 





7 x 1

C

x 1



Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng

dụng



Ta có



7 x dx  �

7 x.





d  7x 



d  7x 

7x





C

7 x.ln 7 �ln 7

ln 7

.

f  x 



Ví dụ 4: Nguyên hàm của hàm số

F  x  



A.

F  x 



C.



Tr a n g 7



1

3  x  1

1



3  x  1



3



3



x



 1 x



5







F  x 



C



B.





1

4  x  1



4



F  x 



C



D.



1

4  x  1



4



C



4







1

4  x  1



Đáp án D.

Lời giải

Đặt u  x  1 thì u '  1 .

x



Khi đó





 1 x



5



u 1

�1 1 �

dx  �5 du  �

du  �

u 4 du  �

u 5 du

� 5�

u

�u u �



1 1 1 1

  . 3  . 4 C

3 u 4 u

.

x



Thay u  x  1 ta được





 x  1



5



dx 



1

4  x  1



4







1

3  x  1



3



C



Ví dụ 5: Nguyên hàm của hàm số x.ln x là



STUDY TIP

Ở đây xuất hiện tích của

nên ta áp dụng nguyên

hàm từng phần.



x 2 .ln x

C

2

A.



x 2 .ln x x 2

 C

2

4

B.



x 2 .ln x x 2

 C

2

4

C.



x2

C

D. 4



Đáp án B.

Lời giải

1



ln x  u � dx  du





x



x2



dv



xdx



v



x.ln xdx

2

Ta có �

. Đặt �



Theo phương pháp nguyên hàm từng phần ta có



x2

x2 1

x.ln xdx  �

udv  uv  �

vdu  .ln x  � . dx



2

2 x

x 2 .ln x

x

x 2 .ln x x 2



 �dx 

 C

2

2

2

4

.



1

3  x  1



3



C



Công Phá Tốn – Lớp 12



Dạng 2: Chứng minh



Ví dụ 1: Cho

dưới đây?

Chú ý

Sai lầm thường gặp là

không biết cách đạo

hàm hàm hợp. Ở đây

ta cần đạo hàm như

sau:

với lần lượt như thế

ta sẽ ra được kết quả

như bên.



A.

C.



F  x



là một nguyên hàm của hàm



F  x   ln  ln  ln x  



f  x 



1

x.ln  ln x 



f  x 



1

ln x.ln  ln x 



Ngọc Huyền LB



. Hỏi



F  x



trên D ��.



là nguyên hàm của hàm số nào

f  x 



1

ln  ln  ln x  



f  x 



1

x.ln x.ln  ln x 



B.

D.



f  x



Đáp án D.

Lời giải

Để tìm

hàm



F  x



Ta có







F  x



là nguyên hàm của hàm số nào trong số 4 hàm số trên, ta sẽ đi đạo



từ đó suy ra



f  x



.



1

1

1

F ' x  �

ln  ln  ln x   �

ln  ln x  �



�'  ln ln x . ln x  ln x  '



�'  ln  ln x  . �

 



1

1 1

1

.

. 

 f  x

ln  ln x  ln x x x.ln x.ln  ln x 



.



1

x 3 1

F  x   .ln



6

x  3 12 . Hỏi F  x  là nguyên hàm của hàm số

Ví dụ 2: Cho

nào dưới đây?

A.

STUDY TIP

Cơng thức cần nhớ:



C.



f  x 



1

x 9



f  x 



1

x



x  9 12



2



B.



2



D.



f  x 



1

x 9



f  x 



1

x



x  9 12

2



Đáp án A.

Lời giải

�1

x  3 1 � �1

1

1�

F '  x   � .ln

 �

'  � .ln x  3  .ln x  3  �

'

x  3 12 � �6

6

12 �

�6

Cách 1: Ta có



1 1

1 1

1

6

1

 .

 .

 . 2 2  2

6 x3 6 x3 6 x 3

x 9

Cách 2: Thực chất đây là công thức nguyên hàm mà tôi đã giới thiệu ở bảng

ngun hàm phía trên (dòng số 6 trong bảng).



Áp dụng cơng thức trên ta có ngay



f  x 



1

x 9 .

2



Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng

dụng



Tr a n g 9



Cơng Phá Tốn – Lớp 12



Ngọc Huyền LB



Dạng 3: Xác định nguyên hàm của một hàm số với điều kiện ràng buộc.



Ví dụ 1: Tìm ngun hàm



F  x



của hàm số



f  x   sin x  cos x



thỏa mãn



� �

F � � 2

�2 � .



A.



F  x   cos x  sin x  3



B.



F  x    cos x  sin x  3



C.



F  x    cos x  sin x  1



D.



F  x    cos x  sin x  1



Đáp án D.

Với các bài tốn đơn giải

như ở ví dụ 1, ta chỉ đi tìm

ngun hàm như thơng

thường, sau đó dùng điều

kiện ràng buộc có sẵn để

tìm hằng số C.



Lời giải

Ta có



F  x  �

f  x  dx  �

 sin x  cos x  dx  sin x  cos x  C



.



� �





F � � 2

sin  cos  C  2 � 1  C  2 � C  1

2

2

Do �2 � nên

.



Vậy hàm số cần tìm là

Ví dụ 2: Cho hàm số

đề nào dưới đây đúng?



F  x   sin x  cos x  1

f  x



thỏa mãn



.



f '  x   3  5sin x







f  0   10



A.



f  x   3x  5cos x  5



B.



f  x   3x  5cos x  2



C.



f  x   3x  5cos x  2



D.



f  x   3x  5cos x  15



. Mệnh



Đáp án A.

STUDY TIP

Rõ ràng trong bài toán

này, việc sử dụng công

thức nguyên hàm từng

phần sẽ mang lại kết

quả nhanh hơn. Do có

sự xuất hiện của tích hai

phần tử, nếu sử dụng

nguyên hàm từng phần

sẽ xuất hiện ngay và

kết hợp dữ kiện đề bài

sẽ có ngay đáp án.



Lời giải

Ta có

Do



f  x  �

f '  x  dx  �

 3  5sin x  dx  3x  5cos x  C



f  0   10



Ví dụ 3: Cho



f  x   3x  5cos x  5

nên 3.0  5cos 0  C  10 � C  5 . Vậy

.

F  x   x2



hàm của hàm số

f ' x e

A. �



f ' x e

C. �



f ' x e



2x



2x



là một nguyên hàm của hàm số



f  x  e2 x



. Tìm nguyên



2x



?



 x2  2x  C



f ' x e

B. �



 2x2  2 x  C



f ' x e

D. �



2x



2x



  x2  x  C



 2 x 2  2 x  C



Đáp án D.

Lời giải

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

Từ giả thiết, ta có



f  x  dx  F  x  � F '  x   f  x 



.



Chủ đề 3: Nguyên hàm - tích phân và ứng

dụng



f  xe





2x



Tr a n g 1 1



dx  F  x  � f  x  e 2 x  F '  x    x 2  '  2 x � f  x  



 2 x  '.e2 x  2 x.  e2 x  '  2  4 x  e2 x







f ' x



e 



e 



2x 2



Suy ra



f ' x e



Vậy



2x



2x 2







2  4x

e2 x



2x

e2 x



.



2  4x

dx  � 2 x .e 2 x dx   2  4 x  dx  2 x  2 x 2  C

e



Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

u  x  v '  x  dx  u  x  .v  x   �

v  x  .u '  x  dx



.



e . f '  x  dx  e



2x



Ta có



Từ giả thiết:



f  x e





f ' x e

Vậy �



2x



Ví dụ 4: Cho



2x



2x



dx  F  x   x 2 � f  x  e 2 x  F '  x    x 2  '  2 x



dx  2 x  2 x 2  C



F  x    x  1 e x



nguyên hàm của hàm số

A.



. f  x  �

f  x  .2e 2 x dx  f  x  e 2 x  2 �

f  x  e 2 x dx



f ' x e



.



là một nguyên hàm của hàm số



2x



f  x  e2 x



. Tìm



2x



.



f ' x e



B.



f '  x  e 2 x dx   4  2 x  e x  C





f ' x e

C. �



.



dx   2  x  e x  C



f '  x e

D. �



2x



2x



dx 



2 x x

e C

2



dx   x  2  e x  C



Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Sử dụng tính chất của nguyên hàm

f  x e

Từ giả thiết, ta có �



� f  x 



xe x



e 



x 2



f ' x 

Suy ra



f ' x e



Vậy



2x







x

ex



2x



f  x  dx  F  x  � F '  x   f  x 



.



x

dx  F  x  � f  x  e 2 x  F '  x   �

 x  1 e x �



�'  xe



.



 x  '.e x  x.  e x  '



e 



x 2







e x  x.e x



e 



x 2







ex  1  x 



e 



1 x

dx  �x .e 2 x dx  �

 1  x  e x dx

e

.



x 2







1 x

ex



.



Cơng Phá Tốn – Lớp 12



Ngọc Huyền LB



u  1 x

du  dx











dv  e x dx �

v  ex

Đặt �

.

��

e x dx   1  x  e x  e x  C   2  x  e x  C

 1  x  e x dx   1  x  e x  �



.



Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần.

e . f '  x  dx  e

Ta có �

2x



Từ giả thiết:



f  x e





2x



2x



. f  x  �

f  x  .2e 2 x dx  f  x  e 2 x  2 �

f  x  e 2 x dx



dx  F  x    x  1 e x



x

� f  x  e2 x  F '  x   �

 x  1 e x �



�'  xe .



Vậy



f ' x e





2x



dx  xe x  2  x  1 e x  C   2  x  e x  C



Dạng 4: Tìm giá trị của tham số để



Ví dụ 1: Tìm a, b, c, d để



Với các bài toán dạng này

ta chỉ cần tìm đạo hàm của

F  x  F ' x



sau đó cho



B. a  2; b  3; c  8; d  13

D. a  3; b  3; c  8; d  15

Lời giải



F '  x    3ax 2  2bx  c  e x   ax 3  bx 2  cx  d  e x



�

ax3   3a  b  x 2   2b  c  x   c  d  �

ex







a2

a2









3a  b  9

b3





F '  x   f  x  , x � �

��

2b  c  2

c  8









cd 5



�d  13



.



là một nguyên hàm của



.



Đáp án B.



Ta có



f  x



x



A. a  3; b  3; c  7; d  13

C. a  2; b  3; c  8; d  13



F ' x  f  x



và sau đó

sử dụng hệ số bất định để

tìm giá trị của tham số.



2



là một nguyên hàm của



F  x    ax 3  bx 2  cx  d  e x



f  x    2 x  9 x  2 x  5 e

3



F  x



.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

I. Nguyên hàm và các tính chất cơ bản

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×