Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm

B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm

Tải bản đầy đủ - 0trang

Lời giải



2

y ′ = −10 x 4 +

.

x

y=



2x +1

x+2



Ví dụ 2. Đạo hàm của hàm số

nhận giá trị nào sau đây:

a = −3

a=5

A.

.

B.

.



a

bằng biểu thức có dạng



( x + 2)



a =3

C.

.

Lời giải



D.



2



.

Khi đó



a = −5



a



.



Đáp án C.

( 2 x + 1) ′ ( x + 2 ) − ( 2 x + 1) ( x + 2 ) ′ = 3 ⇒ a = 3.

y′ =

2

2

( x + 2)

( x + 2)

STUDY TIP



 ax + b ′ ad − bc



÷=

2

 cx + d  ( cx + d )

x2 − x + 1

y=

x −1



Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số

bằng:

a.b = −2

a.b = −1

A.

.

B.

.



với



c≠0



bằng biểu thức có dạng



a.b = 3

C.

.

Lời giải



( 2 x − 1) ( x − 1) − ( x 2 − x + 1) x 2 − 2 x

y′ =

=

⇒ a.b = −2.

2

2

( x − 1)

( x − 1)

y = x+



Cách 2:



ad − bc ≠ 0

ax 2 + bx



Đáp án A.



Cách 1:







1

1

x2 − 2x

⇒ y′ = 1 −

=

2

2

x −1

( x − 1) ( x − 1)



( x − 1)



D.



2



.

Khi đó



a.b = 4



.



a.b



Với



a.a′ ≠ 0



ta có



STUDY TIP

 ax 2 + bx + c ′ aa′x 2 + 2ab′x + bb′ − ac′



÷=

2

( a′x + b′)

 a′x + b′ 



x2 + x + 3

y= 2

x + x −1



Ví dụ 4. Đạo hàm của hàm số

a+b

bằng:

a+b = 4

a+b = 5

A.

.

B.

.



bằng biểu thức có dạng



a + b = −10

C.

.

Lời giải



(x

D.



ax + b

2



+ x − 1)



2



.

Khi đó



a + b = −12



.



Đáp án D.



Cách 1:



−4 ( 2 x + 1)

x2 + x −1 + 4

4

8x + 4

y=

= 1+ 2

⇒ y′ =

=−

2

2

2

x + x −1

x + x −1

( x2 + x − 1) ( x 2 + x − 1)



 u ′ u′v − uv′

 ÷=

v2

v



Cách 2: Áp dụng

( 2 x + 1) x 2 + x − 1 − x 2 + x + 3 ( 2 x + 1)

−8 x − 4

y′ =

=

2

x2 + x − 1

x2 + x − 1



(



(



) (



)



)



(



 ax 2 + bx + c ′

 2

÷

 a1 x + b1 x + c1 



)



(



Ví dụ 5. Đạo hàm của hàm số

là:

2x + a −1

2ax + 1 − a

A.

.

B.

.



)



(với a là hằng số) tại mọi



2ax + 3a 2 − 2a + 1



y ′ = 2ax + a − 1



C.

Lời giải



STUDY TIP

( c)′ = 0



Với c là hằng số thì

( c.u ) ′ = c.u′



( x ) ′ = nx

n



n −1



⇒ a + b = −12



STUDY TIP

a b 2

a c

b c

x +2

x+

a b

a1 c1

b1 c1

= 1 1

2

a1 x 2 + b1 x + c1



y = ax 2 + ( a − 1) x + a3 − a 2



Đáp án D.



2



,n∈¥*



. D.



2ax + a − 1



x∈¡



.



ax + b



y = x + x +1

2



Ví dụ 6. Đạo hàm của hàm số

a −b

đó

bằng:

a −b = 2

a − b = −1

A.

.

B.

.



(x

y′ =

Ví dụ 7. Đạo hàm của hàm số

A.

C.



4 ( x − x + 1)



4



5 ( x 2 − x + 1)



4



Đáp án C.



a −b =1

C.

.

Lời giải



+ x + 1) ′



=



2 x2 + x + 1



Đáp án C.



2



2



bằng biểu thức có dạng



( 2 x − 1)

( 2 x − 1)



y = ( x 2 − x + 1)



2x +1

2 x2 + x +1



2 x2 + x + 1



D.



a − b = −2



. Khi



.



⇒ a −b =1



5



là:



.



B.



.



5 ( x 2 − x + 1)



4



(x



( 2 x − 1)



D.

Lời giải

y ′ = 5 ( x 2 − x + 1)



4



(x



2



2



− x + 1)



4



.



− x + 1) ′ = 5 ( x 2 − x + 1)



4



.



( 2 x − 1)



STUDY TIP

u n ′ = n.u′u n−1 , n ∈ ¥ *



( )



Với



u = u ( x)



:



( u ) ′ = 2u′u



y = ( x 2 + 1) ( 5 − 3x 2 )



Ví dụ 8. Đạo hàm của hàm số

a

T=

b

đó

bằng:

−1

−2

A.

.

B.

.



bằng biểu thức có dạng



3

C. .

Lời giải



D.



−3



ax3 + bx



. Khi



.



Đáp án D.



y′ = ( x 2 + 1) ′ ( 5 − 3x 2 ) + ( x 2 + 1) ( 5 − 3 x 2 ) ′ = 2 x ( 5 − 3 x 2 ) + ( x 2 + 1) ( −6 x ) = −12 x 3 + 4 x

STUDY TIP

u = u ( x ) , v = v ( x ) : ( uv ) ′ = u ′v + uv′



Với

y = x 2 ( 2 x + 1) ( 5 x − 3 )

ax 3 + bx 2 + cx

Ví dụ 9. Đạo hàm của hàm số

bằng biểu thức có dạng

a+b+c

. Khi đó

bằng:

31

51

34

24

A. .

B.

.

C. .

D.

.

Lời giải

Đáp án A.



Cách 1:



y′ = 2 x ( 2 x + 1) ( 5 x − 3) + x 2 .2 ( 5 x − 3) + x 2 ( 2 x + 1) .5 = 40 x 3 − 3 x 2 − 6 x



Cách 2: Nhân vào rút gọn ta được

a + b + c = 31



y = 10 x 4 − x 3 − 3 x 2 ⇒ y′ = 40 x 3 − 3 x 2 − 6 x



nên



STUDY TIP



u = u ( x ) , v = v ( x ) , ω = ω ( x ) ⇒ ( uvω ) ′ = u ′vω + uv′ω + uvω ′



x



y=

Ví dụ 10.



a2 − x2



Đạo hàm của hàm số

a2

a2



3

a2 − x2

a2 + x2

A.

.

B.



(



(



)



)



(



a



là hằng số) là:

2a 2



(a



3



.



C.

Lời giải



2



− x2 )



a2



(a



3



.



D.



2



− x2 )



3



.



Đáp án D.



a2 − x2 +

y′ =



a2 − x



x2

a2



a2 − x2 =

2



(a



2



− x2 )



y=



3



ax



1



(x



2



+ 1)



3



x +1

a

Ví dụ 11. Đạo hàm của hàm số

bằng biểu thức có dạng

. Khi đó

nhận giá trị nào sau đây:

a = −4

a = −1

a=2

a = −3

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Đáp án B.



x2 +1

− x2 + 1 ′

−x

y′ = −

=

=

⇒ a = −1

2

x +1

2 x 2 + 1. x 2 + 1

x 2 + 1. x 2 + 1



(



)



(



(



)



2



)



(



)



STUDY TIP

u′



u =

u = u ( x) :

2 u



( )



2

 x + x + 1 khi x ≤ 1

f ( x) = 

 x − 1 + 3 khi x > 1



Ví dụ 12. Đạo hàm của hàm số

khi x < 1

2 x



f ′( x) =  1

 2 x − 1 khi x > 1



A.

.



B.



là:

2 x + 1 khi x < 1



f ′( x) =  1

 x − 1 khi x > 1





.



C.



2 x + 1 khi x ≤ 1



f ′( x) =  1

 2 x − 1 khi x > 1





.



D.

Lời giải



2 x + 1 khi x < 1



f ′( x) =  1

 2 x − 1 khi x > 1





.



Đáp án D.

x < 1: f ′ ( x ) = 2 x + 1

Với

1

x > 1: f ′ ( x ) =

2 x −1

Với

f ( x ) − f ( 1)

x −1

lim+

= lim+

= +∞

x = 1,

x →1

x →1

x = 1.

x −1

x −1

Với

ta có

nên khơng có đạo hàm tại

2 x + 1 khi x < 1



f ′( x) =  1

 2 x − 1 khi x > 1



Vậy

STUDY TIP

Loại bài toán kết hợp giữa tính đạo hàm bằng cơng thức và tính đạo hàm bằng



Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số



A.



C.



Với



 − x khi x < 1



f ′( x) =  1

 − x 2 khi x > 1



− x khi x < 1



f ′( x) =  1

 x 2 khi x > 1



Đáp án B.

x < 1: f ′ ( x ) = − x



x > 1: f ′ ( x ) = −

Với



1

x2



.



.



định nghĩa tại 1 điểm

 3 − x2

 2 khi x < 1

f ( x) = 

1

khi x ≥ 1

 x



B.



D.

Lời giải



x0 .



.





− x khi x < 1



f ′ ( x ) = −1 khi x = 1

 1

− 2 khi x > 1

 x



− x khi x < 1



f ′ ( x ) = 1

khi x = 1

 1

− 2 khi x > 1

 x



.



.



Với







x = 1,



ta có



Hàm số liên tục tại



Xét



Vậy

-



1



f ( x ) = lim+ = 1

+

 xlim

→1

x →1 x

⇒ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = 1 = f ( 1)



2

x →1

x →1

3



x

 lim f ( x ) = lim

=

1

 x →1−

x →1−

2



x = 1.







f ( x ) − f ( 1)

= lim+

 xlim

+

x →1

 →1

x −1





f ( x ) − f ( 1)



= lim−



 lim

x →1

x →1

x −1



1

−1

x

= −1

x −1

⇒ f ′ ( 1) = −1

3 − x2

−1

2

= −1

x −1





− x khi x < 1



f ′ ( x ) = −1 khi x = 1

 1

− 2 khi x > 1

 x



STUDY TIP

Trên các khoảng xác định ta tính đạo hàm bằng quy tắc.

x = x0

Tại điểm

ta xét đạo hàm bằng định nghĩa.



Ví dụ 14. Cho hàm số

4

A. .



f ( x ) = ( 3 x 2 − 1)

8



B.



.



2



. Giá trị



f ′ ( 1)



là:

−4

C.

.

Lời giải



D.



24



.



Đáp án D.



f ′ ( x ) = 2 ( 3x 2 − 1) ( 3x 2 − 1) ′ = 12 x ( 3 x 2 − 1) ⇒ f ′ ( 1) = 24



Cách 1:

Cách 2: Sử dụng MTCT



Nhập vào màn hình:

Nhận xét: Bằng cách 2 ta có thể tính nhanh chóng đạo hàm tại một điểm

xác định



x = x0



.

STUDY TIP

Dùng MTCT:



Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm chỉ ra

Ví dụ 15. Cho hàm số



f ( x ) = x −1



. Đạo hàm của hàm số tại



x =1



là:



x = x0



.



A.



1

2



0

C. .

Lời giải



1

B. .



.



D. Không tồn tại.



Đáp án D.



f ′( x) =

Ta có:



1



2 x −1



f ′ ( 1)



Khơng tồn tại







f ′( x)



xác định với



x >1



.



STUDY TIP

Với bài tốn này nếu sử dụng MTCT thì kết quả là màn hình hiển thị thơng báo “Math

ERROR” và khơng tính được.



f ( x ) = −2 x 4 + 4 x 2 + 1



Ví dụ 16. Cho hàm số

( −1; 0 ) ∪ ( 1; +∞ )

A.

.



. Tập các giá trị của

( −1;0 )

( 1; +∞ )

B.

.

C.

.

Lời giải



x



để



f ′( x) < 0

D.



là:

( −∞;0 )



.



Đáp án A.



 −1 < x < 0

f ′ ( x ) = −8 x3 + 8 x ⇒ f ′ ( x ) < 0 ⇔ 

x > 1

STUDY TIP

Nhận biết được loại bài toán kết hợp việc tính đạo hàm và giải bất phương trình.



Ví dụ 17. Cho hàm số

 1



 ; +∞ ÷

 3



A.

.



f ( x ) = x + x2 + 1



x



. Tập các giá trị của để

1 

 1





; +∞ ÷



 −∞; ÷

3

 3





B.

.

C.

.

Lời giải



2 x. f ′ ( x ) − f ( x ) ≥ 0



D.



Đáp án A.



f ′( x) = 1+



x

x2 + 1



=



f ( x)

x2 + 1



⇒ 2 x. f ′ ( x ) − f ( x ) ≥ 0 ⇔ 2 x.



f ( x)

x2 + 1



)



(



− f ( x) ≥ 0



x ≥ 0

1

⇔ 2 x ≥ x 2 + 1 do f ( x ) > x + x 2 = x + x ≥ 0 ⇔  2

⇔ x≥

3

3 x ≥ 1



Vậy



 1



x ∈  ; +∞ ÷

 3



STUDY TIP



• x ≥x⇒ x +x≥0

 f ( x ) ≥ 0, g ( x ) ≥ 0

• f ( x) ≤ g ( x) ⇔ 

 f ( x ) ≤ g ( x )



 2



 ; +∞ ÷

 3





là:



.



Ví dụ 18. Cho hàm số

−2 2

A.

.



{



1

f ( x ) = x3 − 2 2 x 2 + 8x − 1

3



}



B.



{ 2; 2}



.



. Tập các giá trị của

−4 2

C.

.

Lời giải



{



}



x



để

D.



f ′( x) = 0



{ 2 2}



là:



.



Đáp án D.



f ′ ( x ) = x2 − 4 2 x + 8

f ′( x) = 0 ⇔ x = 2 2

STUDY TIP

- Nhận biết được loại bài toán kết hợp giữa việc tính đạo hàm và giải phương trình.

- Sau khi tính được đạo hàm ta có thể thử các đáp án vào phương trình để tìm ra

kết quả.



f ( x) =

Ví dụ 19. Cho hàm số

 2

0; 

 3

A.

.



x3

x −1



. Tập nghiệm của phương trình

2



 3

0; − 

0; 

3



 2

B.

.

C.

.

Lời giải



f ′( x) = 0



D.



là:

3



0; − 

2





.



Đáp án C.



f ′( x) =



3x 2 ( x − 1) − x3



( x − 1)



2



=



2 x3 − 3x 2



( x − 1)



2



x = 0

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x − 3x = 0 ⇔ 

x = 3



2

3



2



f ( x) =

Ví dụ 20. Cho hàm số

y′ ≤ 0

∀x ∈ ¡

với

là:

−∞; 2 

A.

.



(



(thỏa mãn)



mx 3

− mx 2 + ( 3m − 1) x + 1

3



B.



( −∞; 2]



.



. Tập các giá trị của tham số



( −∞;0]



C.

Lời giải



Đáp án C.



y′ = mx 2 − 2mx + 3m − 1

y′ ≤ 0 ⇔ mx 2 − 2mx + 3m − 1 ≤ 0 ( 1)

+ Với



m=0



thì (1) trở thành



−1 ≤ 0



nên đúng với



∀x ∈ ¡



.



.



D.



( −∞;0 )



.



m



để



+ Với

Vậy



m≠0



khi đó (1) đúng với



a < 0

m < 0

∀x ∈ ¡ ⇔ 

⇔

⇔m<0

 ∆′ ≤ 0

1 − 2m ≥ 0



m≤0

STUDY TIP



Cho



Ví dụ 21. Cho hàm số

và chỉ khi:

m ≤ −1

A.

.



a > 0

f ( x ) ≥ 0, ∀x ⇔ 

∆ ≤ 0

a < 0

f ( x ) ≤ 0, ∀x ⇔ 

∆ ≤ 0



f ( x ) = ax 2 + bx + c, a ≠ 0



f ( x ) = 2mx − mx3



B.



. Số



m > −1



.



x =1



là nghiệm của bất phương trình



−1 ≤ m ≤ 1

C.

.

Lời giải



D.



f ′( x) ≤ 1



m ≥ −1



khi



.



Đáp án D.



f ′ ( x ) = 2m − 3mx 2



Số



x =1



là nghiệm của bất phương trình



f ′ ( x ) ≤ 1 ⇔ 2m − 3m ≤ 1 ⇔ m ≥ −1.



DẠNG 2. ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp chung:

- Vận dụng các công thức đạo hàm bốn hàm số

và hàm hợp của nó.



y = sin x



,



y = cos x



,



y = tan x



,



y = cot x



- Vận dụng phối hợp các quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm số

hợp

- Vận dụng các phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất với sinx và

y' = 0

cosx, phương trình tích số…để giải phương trình

Chú ý: Biến đổi lượng giác để thu gọn các hàm số, biểu thức lượng giác

STUDY TIP

(sin n u ) ' = n sin n −1 u.(sin u ) '

(cos n u ) ' = n cos n −1 u.(cos u ) '



(tan n u ) ' = n tan n −1 u.(tan u ) '

(cot n u ) ' = n cot n −1 u.(cot u ) '



Ví dụ 16. Đạo hàm của hàm số

30 cos 3 x.sin 5 x

A.

.

8cos8 x − 2 cos 2 x

C.

.

Đáp án C



y = 2sin 3 x.cos 5 x



có biểu thức nào sau đây?

−8cos 8 x + 2 cos 2 x

B.

.

−30 cos 3x + 30sin 5 x

D.

.



Lời giải

y = sin 8 x − sin 2 x ⇒ y ' = 8cos8 x − 2 cos 2 x



Cách 1: Ta có

y ' = 6 cos 3 x.cos 5 x − 10sin 3 x.sin 5 x

Cách 2:

= 3cos8 x + 3cos 2 x − 5cos 2 x + 5cos8 x



= 8cos8 x − 2 cos 2 x

Nhận xét: Nếu dùng cách 1 sử dụng công thức biến đổi từ tích sang tổng rút

y'

gọn rồi sau đó việc tính đạo hàm

sẽ đơn giản hơn.

STUDY TIP

1

sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]

2

1

cos a cos b = [cos( a − b) + cos( a + b)]

2

y=



sin x + cos x

sin x − cos x



Ví dụ 17. Đạo hàm của hàm số

trị a là:

a =1

a = −2

A.

.

B.

.

Đáp án B



có biểu thức dạng

C.



a =3



.



a

(sin x − cos x) 2



D.



a=2



Lời giải

(cos x − sin x)(sin x − cos x) − (sin x + cos x)(cos x + sin x)

−2

y'=

=

2

(sin x − cos x)

(sin x − cos x) 2



⇒ a = −2



Áp dụng quy tắc:



u

u ' v − uv '

( )' =

v

v2



. Vậy giá



.



.



STUDY TIP





sin 2 x + cos 2 x = 1



y = cot x

Ví dụ 18. Đạo hàm của hàm số

là:

−1

−1

1

2

2

sin x cot x

2sin x cot x

2 cot x

A.

.

B.

.

C.

.

Đáp án B

Lời giải



D.



− sin x

2 cot x



.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×