Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
+) Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số : sẽ làm xuất hiện nhưng không khử được và do đó không tìm được giá trị lớn nhất. Mặt khác nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho

+) Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số : sẽ làm xuất hiện nhưng không khử được và do đó không tìm được giá trị lớn nhất. Mặt khác nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho

Tải bản đầy đủ - 0trang

+) Để trả lời câu hỏi này ta xuất phát từ ý tưởng sau: Tìm 2 số m và n trong đánh giá:



x  m  80  2 x   n  50  2 x  �3 3 m.n. f  x  sao cho x  2mx  2nx  0 (*) và dấu bằng phải xảy ra tức là:

x  m  80  2 x   n  50  2 x  (**).

Từ (*) ta suy ra m  n 



1

; từ (**) ta suy ra:

2

x



80m

50n

80 m  50 n 80 m  50n







1  2m 1  2 n 2  2 m  2 n

3



1



mn 

1

1



2

Từ đó ta có m, n thoả mãn hệ phương trình: �

. Giải hệ ta được m  ; n  .

6

3



15n   1  2n   8m  5n 



Như vậy việc chọn các hệ số trong lời giải là có cơ sở chứ khơng phải do may mắn hoặc đốn mò.

Bài 10 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Thành phố HP năm 2010).



6

7



Cho 3 số không âm a, b, c thoả mãn a 2  b 2  c 2  1 . CMR a  2b  3c �

3



3



3



Phân tích

+) Ý tưởng xuất phát cho lời giải đó là áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số hạng a 3 , b3 , c 3 để làm xuất

hiện lần lượt a 2 , b 2 , c 2 sau đó cộng lại ta suy ra đpcm.

+) Ta chọn số m trong các đánh giá:



�a 3 a 3

2

3

�2  2  4m �3 m .a



49

�3 3

b  b  m �3 3 m .b 2

� a 3  2b3  3c 3  m �3 3 m  a 2  b 2  c 2   3 3 m



9

�3c 3 3c 3 4

2

3

� 

 m �3 m .c

2 9



�2

m thoả mãn điều kiện a  2 3 m , b 



3



m, c 



23

27

m mà a 2  b 2  c 2  1 từ đó suy ra: m 

.

3

343



Ta có lời giải của bài tốn như sau:

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:



�a 3 a 3 108 9 2

�2  2  343 �7 .a



�3 3 27 9 2

3 9

9

6

b b 

� .b

� a 3  2b 3  3c 3  �  a 2  b 2  c 2   � a 3  2b 3  3c 3 �



343 7

7 7

7

7



3

3

�3c 3c

12 9 2



� .c

� 

2 343 7

�2

Dấu bằng xảy ra khi: a 



6

3

2

,b  ,c  .

7

7

7



Bài 11. (Đề thi khảo sát Đại học năm 2013-2014-Trường THPT Trần Phú)



Cho a, b, c là các số dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 



2

3



3

a  ab  abc

abc



Ý tưởng xuất phát: Dùng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá biểu thức: a 

sau đó khảo sát hàm số f  t  



ab  3 abc �  a  b  c 



2 2

1





t  3t , �

t

�. Để có được điều này ta phải tìm các số m và n



abc �





trong các đánh giá sau:

+)



a

 mb � ab ;

4m



a

mb 4n 2





c �3 abc

4mn n

27

Từ đó suy ra: a 



ab  3 abc �a 



ta phải tìm các số m, n để 1 



a

a

mb 4n 2

 mb 





c , do đó để có được điều mong muốn

4m

4mn n

27



1

1

m 4n 2

(*).



 m 

4m 4mn

n

27



Việc giải quyết trọn vẹn hệ phương trình (*) là điều tương đối khó khăn, tuy nhiên tìm ra một nghiệm của (*)

là việc có thể làm được chẳng hạn dùng máy tính cầm tay Casio –fx 570-ES ta chọn được m  1, n  3 . Từ

đó ta có lời giải của bài tốn như sau.

Bài giải:

+) Ta có:



a

a b 4c 3

 b � ab ;

 

� abc

4

12 3 3



Từ đó suy ra: a 



+)



Đặt



3

3

4



ab  3 abc �  a  b  c  do đó P �

2 a  b  c

abc

3



t



1

,  t  0 ,

abc



ta



có:



3

3

P � t 2  3t �

2

2



,



dấu



bằng



xảy



ra



khi



a  4b  16c



16

� a  4b  16c  .



a  b  c 1

21



Bài 12. Cho 2 số dương thay đổi x, y thoả mãn điều kiện x  y �4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



3x 2  4 2  y 3

A



.

4x

y2

Ý tưởng xuất phát:

Ta có: A 



3x 2  4 2  y 3 3x 1 2





 

 y , để khử được x, y ở mẫu ta tìm 2 số m và n sao cho:

4x

y2

4 x y2



A



� �3

3x 1 2

1 � �2





  2  y�

mx  � � 2  ny  ny � �  m �x   1  2n  y �

4 x y

x � �y





� �4





�3



�2 m  3 3 2n 2  �

�  m �x   1  2n 

�4





đồng thời:





y�





3

1

2

 m  1  2n; m  2 ; n  3 ; x  y  4 (*), tương tự như trên ta có thể tìm được một nghiệm

4

x

y



của (*) là m  n 



1

. Từ đó ta có lời giải bài tốn:

4



Bài giải:



Ta có:



1

1

1

1

2 3

x  �1, y  y  2 � , từ đó suy ra:

4

x

4

4

y

2



1 � �1

1

2 �1

3

9

�1

A  � x  � � y  y  2 �  x  y  �1   2  , dấu bằng xảy ra khi x  y  2 .

x � �4

4

y �2

2

2

�4

Vậy min A 



9

khi x  y  2 .

2



III. KẾT LUẬN

Qua một số ví dụ về việc phân tích điều kiện xảy ra dấu bằng để tìm lời giải cho bài tốn chứng minh

bất đẳng thức phần nào giải đáp được câu hỏi vì sao có thể có được đánh giá như vậy. Qua đó giúp ta tiếp

cận các bất đẳng thức một cách dễ dàng hơn. Tất nhiên trong nội dung của chuyên đề này chỉ đề cập đến

một khía cạnh rất nhỏ về cách chứng minh bất đẳng thức và cũng chỉ giải quyết được một lớp các bất đẳng

thức tương đối hẹp.

Chuyên đề này được viết theo những hiểu biết còn ít về bất đẳng thức của tác giả vì vậy khơng tránh

khỏi những sai sót và hạn chế, rất mong được sự góp ý và chỉ bảo của của các thầy cơ giáo và các bạn

đồng nghiệp.

Để có thể áp dụng suy luận trên xin đưa ra một số bài tập để làm rõ hơn vấn đề này.

1. Cho 2 số dương a, b thoả mãn điều kiện x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



A



1

1



3

x y

xy

3



2. Cho 2 số dương x, y thoả mãn điều kiện x  y �1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



A



1

2



 4 xy

x 2  y 2 xy



3. (A - 2009). Cho x, y, z là các số dương thoả mãn điều kiện



 x  y



3



x  x  y  z   3 yz . CMR:



  x  z   3  x  y   x  z   y  z  �5  y  z  .

3



3



4. Cho x, y , z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z �3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



2

2 2

1

1

1

 3 3 2

 2

 2

2

2

2

x

y

z

x  xy  y

y  yz  z

z  zx  x 2



P



4

4

5. Cho x, y là các số dương thoả mãn điều kiện x  y 



P



1

 2  xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xy



2

2

3





.

2

2

1  x 1  y 1  2 xy



6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Các điểm M , N lần lượt trên các cạnh AB và AC sao cho



AM  x, AN  y và ( DMN )  ( ABC ) .

a) CMR: x  y  3 xy .

b) Tính diện tích tồn phần của tứ diện ADMN



theo x, y .



c) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích tồn phần trên.



SỬ DỤNG ĐA THỨC ĐỂ ĐÁNH GIÁ

CÁC HÀM SỐ MŨ, LƠGARÍT VÀ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Một số bất đẳng thức cơ bản

+ Bất đẳng thức (1) (BĐT Becnulli):



a  1, x �1



(1  a) x �1  x.a

Đẳng thức xảy ra khi hoặc



+ Bất đẳng thức (2):



+ Bất đẳng thức (3):



x  1 hoặc a  0 .



1

�e x �x  1

1 x



x  1



ln( x  1) �x



x  1



Dấu bằng của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi và chỉ khi

(Chú ý: Một phần BĐT (2) còn mở rộng hơn nữa:

b) Bài tập

Bài 1:



e x �x  1



x  0.

x �R )



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

+) Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số : sẽ làm xuất hiện nhưng không khử được và do đó không tìm được giá trị lớn nhất. Mặt khác nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×