Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Một số dãy truy hồi tiêu biểu

Một số dãy truy hồi tiêu biểu

Tải bản đầy đủ - 0trang

Ví dụ: dãy 1, 2, 4, 8, 16, … là cấp số nhân với công bội và số hạng đầu , có tổng n số

hạng đầu là .

Lưu ý: nếu là cấp số cộng với công sai , tức là thì khi đó nên dãy là cấp số nhân với

cơng bội ; ngược lại, nếu là cấp số nhân với cơng bội , tức là thì khi đó nên dãy là cấp

số cộng với công sai .

2.3 Lãi kép

Khi đầu tư dài hạn, nhà đầu tư mong muốn rằng các khoản lãi thu được lại tiếp tục sinh

lãi bằng cách nhập các khoản lãi thu được vào vốn đầu tư một cách đều đặn. Chẳng hạn,

với lượng vốn 1000000đ đầu tư vào tài khoản lãi suất 9.6%, ta có giá trị nhận được sau 1

năm là đ.

Nếu sau 6 tháng, nhà đầu tư rút tiền ra, giá trị nhận được khi đó là . Nếu khoản tiền

này được đầu tư trở lại vào tài khoản thì sau 6 tháng nữa giá trị nhận được là đ.

Nếu cứ sau 3 tháng, nhà đầu tư rút cả vốn lẫn lời rồi đầu tư trở lại, thì sau 3 tháng đầu,

giá trị nhận được và cũng là lượng vốn đầu tư cho 3 tháng kế tiếp là đ. Tương tự, giá trị

nhận được sau 6 tháng, 9 tháng và 1 năm lần lượt là đ, đ và đ.

Rõ ràng khi đều đặn nhập chung lãi của chu kỳ trước vào vốn tính lãi cho chu kỳ sau,

giá trị nhận được lớn dần khi chu kỳ nhập lãi vào vốn giảm dần. Phương thức này được

gọi là tính theo lãi kép: lãi mẹ đẻ lãi con. Chính xác hơn, một dịch vụ tài chính được gọi

là tính theo lãi kép (compound interest) khi vào cuối mỗi chu kỳ xác định trước, tiền lời

của vốn đầu tư tính theo lãi đơn trong chu kỳ đó được nhập vào vốn nhằm sinh lãi trong

chu kỳ kế tiếp.

Gọi V0 là lượng vốn đầu tư ở thời điểm t = 0, n là thời gian đầu tư tính bằng số các

chu kỳ, i là lãi suất trên mỗi chu kỳ, Vn là giá trị nhận được bởi lượng vốn V0 sau n chu kỳ

đầu tư tính theo lãi kép, ta có:



Do đó là cấp số nhân với cơng bội là . Từ cơng thức tính số hạng tổng quát của cấp số

nhân ở phần trên ta có giá trị nhận được của lượng vốn V0 sau n chu kỳ đầu tư tính theo

lãi kép với lãi suất chu kỳ i là:



2.4 Dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci (Fibonacci numbers) là dãy được định nghĩa truy hồi như sau:



Dãy Fibonacci có khai triển là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …



TRANG 9



Dãy Fibonacci là lời giải cho bài tốn đếm số cặp thỏ: có một cặp thỏ mới sinh được

đem lên một đảo vắng, sau một tháng trưởng thành, cặp thỏ có thể sinh ra một cặp thỏ

con mới kể từ tháng thứ hai. Giả sử các cặp thỏ không bao giờ chết và mỗi cặp thỏ có thể

sinh ra một cặp thỏ con mỗi tháng kể từ tháng thứ hai sau khi chúng được sinh ra. Câu

hỏi được đặt ra là sau tháng thứ n (chẳng hạn sau 1 năm, n = 12) thì có bao nhiêu cặp

thỏ?

Gọi là số cặp thỏ sau tháng thứ n, hình ảnh sau đây gợi ý về quan hệ truy hồi của

dãy . Rõ ràng, số cặp thỏ ở cuối tháng n bao gồm số cặp thỏ đã có ở cuối tháng trước

(tháng n – 1) cộng thêm số cặp thỏ mới sinh, mà số cặp thỏ mới sinh bằng với số cặp thỏ

cha mẹ của chúng, chính là số cặp thỏ ở tháng n – 2. Vậy ta có quan hệ truy hồi: , do đó

số lượng cặp thỏ sau tháng thứ n lập thành dãy Fibonacci.

Ta xác định được công thức tường minh cho số hạng tổng quát như sau (Xem phần

3.2):



với và là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: . Đặc biệt là con số rất có ý nghĩa trong mỹ

thuật và nhiều lãnh vực khác và được gọi là tỉ lệ vàng (golden ratio). Cũng lưu ý là: .



TRANG 10



Hình minh họa việc sinh sản của các cặp thỏ (Nguồn:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/FibonacciRabbit.svg/1024

px-FibonacciRabbit.svg.png)

Một dãy số rất gần gũi với dãy Fibonacci là dãy Lucas (Lucas numbers). Dãy này có

cùng quan hệ truy hồi như dãy Fibonacci nhưng khác các số hạng đầu:



Dãy Lucas có khai triển là: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, … Cũng như dãy

Fibonacci, tỉ lệ của hai số hạng kề nhau của dãy Lucas cũng hội tụ về tỉ lệ vàng.

2.5 Bài tốn Tháp Hà Nội

Bạn có biết số phận của ta (hay thậm chí là cả vũ trụ) nằm trong tay một nhà sư

không? Tương truyền rằng trong một ngôi tháp ở Hà Nội (Tower of Hanoi) có một nhà sư

đang ngày đêm chuyển 64 cái đĩa vàng mà khi hoàn thành là lúc tận thế. Cụ thể là có n =

64 cái đĩa kích thước tăng dần và có 3 chồng đĩa mà ban đầu cả n cái đĩa đều đặt trên

chồng 1 với đĩa lớn ở dưới, nhỏ ở trên. Nhà sư phải tìm cách chuyển toàn bộ n cái đĩa ở

chồng 1 sang chồng 2 (có thể dùng chồng 3 làm trung gian) theo qui định:



- Mỗi lần chỉ được di chuyển một đĩa từ đỉnh một chồng này sang đỉnh một chồng

-



khác.

Không được để đĩa lớn ở trên đĩa nhỏ hơn.



Bài toán này có thể được giải theo nhiều cách nhưng cách giải đệ qui là hay nhất. Để

chuyển n đĩa từ chồng nguồn 1 sang chồng đích 2 (lấy chồng 3 làm trung gian) ta làm đệ

qui như sau:



- Chuyển n – 1 đĩa (ở trên) từ chồng 1 sang chồng 3 (lấy chồng 2 làm trung gian).

- Chuyển 1 đĩa (dưới cùng) từ chồng 1 sang chồng 2.

- Chuyển n – 1 đĩa (trước đó) từ chồng 3 sang chồng 2 (lấy chồng 1 làm trung gian)

Hình dưới đây minh họa các bước chuyển đĩa với n = 4.

Điều ta quan tâm ở đây là thời gian đến ngày tận thế, tức là thời gian để nhà sư chuyển

xong n đĩa. Gọi là số bước để chuyển n đĩa từ chồng nguồn sang chồng đích theo qui

định ở trên. Từ cách làm trên ta dễ thấy định nghĩa truy hồi sau cho :



Bằng cách tính thử các số hạng đầu của dãy, ta có khai triển của là: 1, 3, 7, 15, 31, 63,

127, … Từ khai triển này ta có thể đốn rằng cơng thức tường minh cho số hạng tổng

quát của dãy là: . Ta có thể dùng qui nạp để chứng minh khẳng định này là đúng hoặc

bằng cách đặt và nhận xét rằng:



TRANG 11



Do đó lập thành cấp số nhân với công bội . Từ công thức của cấp số nhân ta có và do

đó .

Giả sử truyền thuyết về ngày tận thế trên là thật thì ta cũng đừng nên quá lo lắng. Thật

vậy, từ phân tích trên ta có số bước để nhà sư chuyển xong 64 đĩa là . Giả sử nhà sư tốn 1

giây để chuyển một đĩa thì nhà sư cần khoảng 585 tỉ năm để hoàn thành việc chuyển 64

đĩa. Hú hồn!:)



TRANG 12



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Một số dãy truy hồi tiêu biểu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×