Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 Xác định quan hệ truy hồi cho dãy

2 Xác định quan hệ truy hồi cho dãy

Tải bản đầy đủ - 0trang

Ta để ý rằng các hệ số của các sai phân là các hệ số của tam giác Pascal (Pascal triangle)

với dấu được đan luân phiên.

Từ trên ta có:



Do đó: là quan hệ đệ qui cho dãy được cho. Thật ra mọi đa thức bậc 2 đều có sai phân

cấp 3 là 0 nên đây cũng là quan hệ đệ qui cho mọi dãy có số hạng là đa thức bậc 2 của n.

Chẳng hạn dãy 1, 4, 9, 16, 25, …, có thể được định nghĩa đệ qui là:



Và dãy tổng các số nguyên dương đầu: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …, cũng được định nghĩa

tương tự, chỉ khác các giá trị ban đầu:



Trường hợp được cho bởi đa thức bậc nhất theo n ta có hay . Chẳng hạn dãy các số

lẻ: 1, 3, 5, 7, 9, …, có thể được định nghĩa đệ qui là:



Và dãy các số chẵn: 2, 4, 6, 8, 10, …, có thể được định nghĩa tương tự, chỉ khác các giá

trị ban đầu:



Thật sự khơng có một cách chung nào để tìm định nghĩa đệ qui cho một dãy. Trường

hợp dãy giai thừa: 1, 2, 6, 24, 120, …, ; giả sử ta muốn tìm quan hệ truy hồi thuần (pure

recursion relation), nghĩa là quan hệ xác định số hạng của dãy chỉ theo các số hạng trước

đó; ta có thể khử n bằng nhận xét:



Do đó:



Vậy, dãy giai thừa 1, 2, 6, 24, 120, …, có thể được định nghĩa thuần truy hồi là:



Với dãy nghịch đảo: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …, ta có:



TRANG 6



Do đó:



Vậy, dãy nghịch đảo có thể được định nghĩa thuần truy hồi là:



1.3 Bài tập



1. Tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n và định nghĩa truy hồi cho dãy: 2, 6, 12,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.



20, 30, 42, 56, …

Tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n và định nghĩa truy hồi cho dãy: 1, 4, 7,

10, 13, 16, …

Tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n và định nghĩa truy hồi cho dãy: 1, 8, 27,

64, 125, 216, 343, …

Cho dãy truy hồi: , tìm cơng thức tường minh cho số hạng thứ n của dãy.

Tìm định nghĩa truy hồi cho dãy có số hạng thứ n được cho bởi: .

Xây dựng quan hệ truy hồi cho dãy có số hạng thứ n được cho bởi đa thức bậc 3 theo

n.

Tìm định nghĩa thuần truy hồi cho dãy .

Tìm định nghĩa thuần truy hồi cho dãy .



TRANG 7



2. Một số dãy truy hồi tiêu biểu

2.1 Cấp số cộng

Dãy truy hồi có quan hệ được gọi là cấp số cộng (arithmetic progression) với cơng sai và

số hạng đầu . Ví dụ dãy các số lẻ 1, 3, 5, 7, 9, … là cấp số cộng với công sai và số hạng

đầu còn dãy các số chẵn 2, 4, 6, 8, 10, … cũng là cấp số cộng với cùng công sai nhưng

số hạng đầu là .

Ta dễ dàng thấy số hạng tổng quát của dãy được cho tường minh bởi công thức:



Hay tổng qt hơn ta có:



Một tính chất quan trọng của cấp số cộng là với 3 số hạng kề nhau thì số hạng ở giữa là

trung bình cộng (arithmetic mean) của hai số hạng hai bên, tức là: .

Gọi là tổng n số hạng đầu của dãy , tức là . Với cấp số cộng có cơng sai d và số hạng đầu

, ta có:



Ví dụ: dãy các số nguyên dương 1, 2, 3, 4, 5 … là cấp số cộng với cơng sai và số hạng

đầu , có tổng n số hạng đầu là .

2.2 Cấp số nhân

Dãy truy hồi có quan hệ được gọi là cấp số nhân (geometric progression) với công bội

và số hạng đầu . Ví dụ dãy 1, 2, 4, 8, 16, …, là cấp số nhân với cơng bội và số hạng đầu

còn dãy 2, 6, 18, 54, 162, …, cũng là cấp số nhân nhưng với công bội và số hạng đầu .

Ta dễ dàng thấy số hạng tổng quát của dãy được cho tường minh bởi công thức:



Hay tổng quát hơn ta có:



Một tính chất quan trọng của cấp số nhân là với 3 số hạng kề nhau thì số hạng ở giữa là

trung bình nhân (geometric mean) của hai số hạng hai bên, tức là: . Ta cũng có:



TRANG 8



Ví dụ: dãy 1, 2, 4, 8, 16, … là cấp số nhân với công bội và số hạng đầu , có tổng n số

hạng đầu là .

Lưu ý: nếu là cấp số cộng với cơng sai , tức là thì khi đó nên dãy là cấp số nhân với

cơng bội ; ngược lại, nếu là cấp số nhân với công bội , tức là thì khi đó nên dãy là cấp

số cộng với công sai .

2.3 Lãi kép

Khi đầu tư dài hạn, nhà đầu tư mong muốn rằng các khoản lãi thu được lại tiếp tục sinh

lãi bằng cách nhập các khoản lãi thu được vào vốn đầu tư một cách đều đặn. Chẳng hạn,

với lượng vốn 1000000đ đầu tư vào tài khoản lãi suất 9.6%, ta có giá trị nhận được sau 1

năm là đ.

Nếu sau 6 tháng, nhà đầu tư rút tiền ra, giá trị nhận được khi đó là . Nếu khoản tiền

này được đầu tư trở lại vào tài khoản thì sau 6 tháng nữa giá trị nhận được là đ.

Nếu cứ sau 3 tháng, nhà đầu tư rút cả vốn lẫn lời rồi đầu tư trở lại, thì sau 3 tháng đầu,

giá trị nhận được và cũng là lượng vốn đầu tư cho 3 tháng kế tiếp là đ. Tương tự, giá trị

nhận được sau 6 tháng, 9 tháng và 1 năm lần lượt là đ, đ và đ.

Rõ ràng khi đều đặn nhập chung lãi của chu kỳ trước vào vốn tính lãi cho chu kỳ sau,

giá trị nhận được lớn dần khi chu kỳ nhập lãi vào vốn giảm dần. Phương thức này được

gọi là tính theo lãi kép: lãi mẹ đẻ lãi con. Chính xác hơn, một dịch vụ tài chính được gọi

là tính theo lãi kép (compound interest) khi vào cuối mỗi chu kỳ xác định trước, tiền lời

của vốn đầu tư tính theo lãi đơn trong chu kỳ đó được nhập vào vốn nhằm sinh lãi trong

chu kỳ kế tiếp.

Gọi V0 là lượng vốn đầu tư ở thời điểm t = 0, n là thời gian đầu tư tính bằng số các

chu kỳ, i là lãi suất trên mỗi chu kỳ, Vn là giá trị nhận được bởi lượng vốn V0 sau n chu kỳ

đầu tư tính theo lãi kép, ta có:



Do đó là cấp số nhân với cơng bội là . Từ cơng thức tính số hạng tổng qt của cấp số

nhân ở phần trên ta có giá trị nhận được của lượng vốn V0 sau n chu kỳ đầu tư tính theo

lãi kép với lãi suất chu kỳ i là:



2.4 Dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci (Fibonacci numbers) là dãy được định nghĩa truy hồi như sau:



Dãy Fibonacci có khai triển là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …



TRANG 9



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 Xác định quan hệ truy hồi cho dãy

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×