Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bất đằng thức:

Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bất đằng thức:

Tải bản đầy đủ - 0trang

y

�x

�1  3





� �x 2  y 2  1 �



�x  y 3  2



MaxF  2 .



� 1

x



� 2



�y  3



2





y

�x



�1

3



�2

MinF  2 � �x  y 2  1 �



�x  y 3  2





� 1

�x  2





�y   3



2





2

2

Ví dụ 4: Cho x  y �2 x  4 y , tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của F  2 x  y .

Hướng dẫn giải:

2

2

x  y �2 x  4 y



� x 2  y 2  2 x  4 y �0

� ( x 2  2 x  1)  ( y 2  4 y  4) �5

�  x  1   y  2  �5

Mặt khác:

F  2 x  y  2 x  2  y  2  4  2.( x  1)  ( y  2)  4

� F  4  2.( x  1)  ( y  2)

2



2



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:



 F  4



2











  2.( x  1)  1.( y  2)  �(22  12 ). ( x  1) 2  ( y  2) 2 �25

2



� 5 �F  4 �5 � 1 �F �9

1

�2

�x  1  y  2



�x  3

2

2



max F  9 � �

 x  1   y  2   5 � �

�y  3



2x  y  9







1

�2



�x  1 y  2



�x  1

2

2



min F  1 � �

 x  1   y  2   5 � �

�y  1



2 x  y  1







Tất cả các ví dụ lúc nãy chỉ để tham khảo cách làm, các bạn có thể tự tìm kiếm được trên mạng

hay trong sách hay bất cứ tài liệu nào liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất bằng bất

13



phương trình. Điều mình muốn nói ở đây khơng chỉ là việc tìm và giải những bài khó, mà là đa số

các bạn ở đây đều theo hướng sư phạm và mình muốn các bạn tìm ra những phương thức khiến

học sinh dễ tiếp thu hơn thích thú hơn với việc học tập thay vì ngồi nghe những kiến thức khơ

khan, nhàm chán. Như ví dụ 1 các bạn có thể tìm ra những giải pháp để làm cho bài tốn đó trở

nên thực tế hơn ví dụ như bài làm chuồng của nhóm bạn Đạt đã thuyết trình, hay một bài tốn

liên quan đến thực tế và có ý nghĩa hay một bài tốn khiến học sinh thích thú. Những đứa học trò

mà bạn dạy khơng chỉ thích một người thầy hay một người cơ có kiến thức vững vàng mà còn

muốn người giáo viên của mình truyền cảm hứng cho mình nữa. vì thế mình mong rằng các bạn

hãy tự tìm ra sự hứng thú cho học sinh khi học bất đẳng thức nói riêng hay tốn học nói chung.

Ví dụ 5: Vào những ngày cận kề tết thì có ba Á với Á gói bánh tét với bánh chưng (ba Á thì gói

bánh còn Á thì cột dây bánh lại).Gói 10 cái bánh tét thì lãi được 200 ngàn, gói 10 cái bánh chưng

thì lãi được 160 ngàn. Muốn làm được 10 cái bánh tét thì phải mất 1 giờ 30 phút để gói và 30

phút cột dây bánh. Muốn làm 10 cái bánh chưng thì gói mất 30 phút gói bánh và 30 phút cột dây.

Ba Á đau lưng nên chỉ làm 3 tiếng một ngày là nghỉ, còn Á thì buồn ngủ nên chỉ làm khơng q 2

tiếng là đi ngủ mai rồi dậy làm tiếp. Vậy giờ gói bao nhiêu cái bánh tét bao nhiêu cái bánh chưng

trong 1 ngày để có lãi cao nhất?

Hướng dẫn giải:

Gọi x,y lần lượt là số cái bánh tét và bánh chưng làm được trong 1 ngày ( x, y �0 ). Khi đó số

tiền lãi một ngày là L=200.000x+160.000y và số giờ làm việc của mỗi người là:

Ba: 1,5x+0,5y và Á: 0,5x+0,5y.

Vì mỗi ngày Ba khơng là việc q 3 giờ và Á không làm việc quá 2 giờ nên x,y thỏa mãn hệ bất

phương trình:

1,5 x  0,5 y �3





0,5 x  0,5 y �2



�x, y �0



(*)

Khi đó bài tốn trở thành:

 x  x0 , y  y0  sao cho

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm

L=200.000x+160.000y lớn nhất.

Vẽ biểu diễn các miền nghiệm của hệ bất phương trình trên trục số ta sẽ nhận được kết quả bài

toán.

 Đáp số: 440.000đ



3.3. SỬ DỤNG CÁC ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:

Giả sử



f  x



f  x

xác định trên tập M , để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

trên M ,



người ta có thể giải bằng cách tìm tập

là tập giá trị của



f  x



f M



hay còn gọi là tập giá trị của



f  x



trên M . Gọi G



f  x  y

trên M , thì y �G khi và chỉ khi tồn tại x �M để

Điều này



14



f  x  y

tương đương với phương trình

có nghiệm trong M .Đến đây người ta dùng kiến thức

phương trình để rút ra điều kiện của y và từ đó xác định được G .



Ví dụ 1: Tìm tập giá trị của các hàm



f ( x)  ax 2  bx  c với a �0 và g ( x )  a cos x  b sin x  c .

Hướng dẫn giải:

2

Gọi G là tập giá trị của f ( x )  ax  bx  c .



y �G khi và chỉ khi phương trình ax 2  bx  c  y có nghiệm.

� ax 2  bx  c  y  0



(*)



  b 2  4a  c  y  �0

Để (*) có nghiệm thì

2

Hay   b  4ac �4ay









y�

4a

Nếu a  0 thì



�



; ��





� Tập giá trị của f  x  là �4a









y�

4a

Nếu a  0 thì



�  �

��;



� Tập giá trị của f  x  là � 4a �

 Nhận xét :









4a .

Nếu a  0 thì

có giá trị nhỏ nhất là



max f  x  

f

x





4a .

Nếu a  0 thì

có giá trị lớn nhất là

f  x



min f  x  



g  x

Gọi D là tập giá trị của



y �D khi và chỉ khi phương trình a cos x  b sin x  c  y  0 có nghiệm.

15



a cos x  b sin x  c  y  0

�  a cos x  b sin x    y  c 

2



2



.



Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars:



 a cos x  b sin x  �a 2  b2

2

�  y  c  �a 2  b 2

2



�  a 2  b2 �y  c � a 2  b 2

� c  a 2  b 2 �y �c  a 2  b 2

�D�

c  a 2  b2 ; c  a 2  b2 �





 Kết luận:



max g  x   c  a 2  b 2 .

min g  x   c  a 2  b 2 .



Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



f  x 



2cos x  sin x  1

cos x  sin x  2 .



Hướng dẫn giải:

Vì cos x  sin x  2  0



x



Nên hàm số xác định với mọi x

f  x

Gọi G là tập giá trị của



2cos x  sin x  1

y

y �G khi và chỉ khi phương trình cos x  sin x  2

có nghiệm.

�  2  y  cos x   1  y  sin x   1  2 y   0



��

 2  y  cos x   1  y  sin x �



�  1  2 y 

2



có nghiệm.



2



Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars:





 2  y  cos x   1  y  sin x �



�� 2  y    1  y 

2



2



2



16



�  1  2 y  � 2  y    1  y 

2



2



2



� 2 y 2  2 y  4 �0

� 1 �y �2

� G   1; 2

 Kết luận:



min f  x   1

max f  x   2



Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



y



sin 2 x

cos x  sin x  2 .



Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định với mọi x

Gọi G là tập giá trị của y

m �G khi và chỉ khi phương trình sin 2 x  m  cos x  sin x   2m  0 có nghiệm.



sin 2 x  m  cos x  sin x   2m  0



Đặt t  sin x  cos x



,



 *



t ��

 2; 2 �







� t 2  cos 2 x  sin 2 x  2cos x sin x

� t 2  1   sin 2 x

� sin 2 x  1  t 2



 *



trở thành:



t 2  mt  2m  1  0

Đặt



f  t   t 2  mt   2m  1



t 2  mt  2m  1  0



,



t ��

 2; 2 �







 1



17



  m 2  8m  4



m  4  2 3

0� �

m  4  2 3





 2; 2 �

 1 có một nghiệm t  2  3 ��





Với m  4  2 3 khi đó

 2; 2 �

 1 có một nghiệm t  2  3 ��





Với m  4  2 3 khi đó









  0 � m 2  8m  4  0













� m � �; 4  2 3 �

4  2 3; �

�U �

Khi đó

Để



 1



có hai nghiệm phân biệt



 1 có nghiệm thuộc



 2



x1, x2





 2; 2 �



�khi một trong các trường hợp sau xảy ra:





 2; 2 �



Trường hợp hai nghiệm thuộc �



���۳

2 x1 x2



2



� 2 2

m�



2



 2 �0

� 2 2

۳ �

m

2 0

2







2 2�

2 2 �m �2 2

S



m





2

2;







2� � 2

2 � *



2







�f





�f











 

 





 2; 2 �



Trường hợp một nghiệm thuộc �



 2 �x1 � 2 �x2

� f  2 f



x1 � 2 �x2 � 2











  2  �0 � 2m



2





2 2 2 2�

 4m  1 �0 � m ��

;



2 � **

� 2





2 2�

� m ��

2 2;



2 �  3

 * và  **



Kết hợp



2 2�

� m ��

4  2 3;



2 �

2

3







Giao



18





2 2 �

m ��

4  2 3;



 2; 2 �

2 �

 1 có nghiệm thuộc �







Vậy với

thì phương trình



2 2 �

4  2 3;





2 �

 Vậy tập giá trị của hàm đã cho là �

 Do đó :



min y  4  2 3

max y 



2 2

2

.



Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



y



x2

x  x 1

2



Hướng dẫn giải:

Vì mẫu số dương với mọi x nên hàm xác định với mọi x .

Gọi G là tập giá trị của y



x2

m

m �G khi và chỉ khi phương trình x  x  1

có nghiệm.

2



� mx 2   m  1 x   m  2   0

mx 2   m  1 x   m  2   0









có nghiệm.



 *



 * có nghiệm x  2

Với m  0 thì phương trình

Với m �0 :



  3m 2  10m  1

Để



 * có nghiệm



�   3m 2  10m  1 �0



52 7 5 2 7 �

� m ��

;



3 �

� 3





52 7 5 2 7 �

m ��

;



3

3 �



Kết hợp với m  0 , ta được

19





52 7 52 7 �

G�

;



3

3 �



Vậy tập giá trị

 Do đó:

min y 



52 7

3



max y 



5 2 7

3



Bài tập tự luyện:



Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số



y



x2

x  2x  1 .



y



2x 1

x  2 x  10 .



y



cos 2 x  cos x sin x

cos 2 x  1

.



y



cos 4 x  sin 4 x

cos6 x  sin 6 x  cos 2 2 x .



y



cos 4 x  sin 4 x  1

cos6 x  sin 6 x .



2



2



3.4 PHƯƠNG PHÁP  LẶP:

2

2

Lý thuyết: Cho tam giác bậc hai f ( x )  ax  bx  c với biệt thức   b  4ac . Khi đó chúng



ta có:





f ( x ) có nghiệm khi và chỉ khi  �0 .







f ( x ) �0 với mọi x khi và chỉ khi a  0 và  �0 .







f ( x ) �0 với mọi x khi và chỉ khi a  0 và  �0 .



Sử dụng các tính chất này, người ta dễ dàng giải quyết được các vấn đề về cực trị cũng như các

bất đẳng thức đối với các đa thức bậc hai nhiều biến.



20



2

2

2

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2x  2 y  3z  2 zy  2xz  2x-2y+2z+3 > 0 với mọi

x,y,z.



Hướng dẫn giải:

Ta xem x là biến còn y,z là các tham số. Ta có:



2x 2  2 y 2  3z 2  2 zy  2xz  2x-2y+2z+3 > 0

� 2x 2  2(1  z ) x  (2 y 2  3z 2  2zy  2 y  2z  3)  0 với mọi x,y,z

�a  3  0

� �'

�1  0 với mọi y,z

� 1'  (1  z ) 2  2(2 y 2  3z 2  2zy  2 y  2z  3)  0 với mọi y,z.

� 1'  4 y 2  4( z  1) y  (5z 2  6z  5)  0 với mọi y,z.



Ta xem y là biến còn z là tham số nên ta có:



�a  4  0

� �'

� 2  0

với mọi z

�  '2  4( z  1) 2  4(5z 2  6z  5)  0 với mọi z.

�  '2  16z 2  16z  16  0 với mọi z.



a  16  0



� �'

3  0



�  3'  64  162  192  0 ln đúng.



 Điều cần chứng minh.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có của biểu thức với các biến x,y,z



A  x 2  2 y 2  3z 2  2zy  xz  2x  2 y .

Hướng dẫn giải:

Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

۳ A m với mọi x,y,z ( tồn tại x,y,z để xảy ra đẳng thức).

21



� x 2  2 y 2  3z 2  2zy  xz  2x  2 y  m �0 với mọi x,y,z.

Ta xem z là biến còn x,y là các tham số. Ta có:



3z 2  (2 y  x) z  ( x 2  2 y 2  2x  2 y  m) �0 với mọi z,x,y.

�a  3  0

��

�1 �0



với mọi x,y



� 1  (2 y  x) 2  12( x 2  2 y 2  2x  2 y  m) �0 với mọi x,y.

� 1  20 y 2  4( x  6) y  (11x 2  24x  12m) �0 với mọi x,y.



Ta xem y là biến còn x là tham số nên ta có:



a  20  0



� �'

 2 �0



với mọi x

�  '2  4( x  6) 2  20(11x 2  24x  12m) �0 với mọi x.

�  '2  24 �

9x 2  22x  (6  10m) �



��0



với mọi x.



�  '2  9x 2  22x  (6  10m) �0 với mọi x.



�a  9  0

� �'

� 3 �0

Để x tồn tại:

�  3'  121  9(6  10m)  0

�m



35

18



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là min



A



35

18



2

2

2

Ví dụ 3: Với điều kiện nào của m thì x  y  z  mzy - xz  x  y  1 �0 với mọi x,y,z ?



Hướng dẫn giải:

Ta xem x là biến còn y,z là tham số. Ta có:

22



x 2  y 2  z 2  mzy - xz  x  y  1 �0 với mọi x,y,z.

� x 2  (1  z ) x  ( y 2  z 2  mzy  y  1) �0 với mọi x,y,z.

a 1 0



��

1 �0



với mọi y,z

� 1  (1  z ) 2  4( y 2  z 2  mzy  y  1) �0 với mọi y,z.

� 1  4 y 2  4( mz  1) y  (3z 2  2z  3) �0 với mọi y,z.



Ta xem y là biến còn z là tham số nên ta có:



�a  4  0

� �'

� 2 �0

với mọi z

�  '2  4(mz  1) 2  4(3z 2  2z  3) �0 với mọi z.

�  '2  4 �

( m 2  3) z 2  2( m  1) z  2 �



��0 với mọi z.



�  '2  (m 2  3) z 2  2(m  1) z  2 �0 với mọi z.



a  m3 0



� �'

 3 �0



�m  3

� �'

2

2

�3  (m  1)  2(m  3) �0

5

�m �1

Giải hệ ta được 3

:

2

2

2

Ví dụ 4: Chứng minh tồn tại giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  4 y  z  2x  8 y  6z+15 và tìm

giá trị đó?



Hướng dẫn giải:

2

2

2

Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biếu thức x  4 y  z  2x  8 y  6z+15



� x 2  4 y 2  z 2  2x  8 y  6z+15 �m

23



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bất đằng thức:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×