Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn:

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn:

Tải bản đầy đủ - 0trang

/

2

* f ( x)  0 �  x  2 x  2  0



Ta có:



Vậy:



f (1) 



11

3 ; f (0)  1



max f ( x) 

 1;0



11

min f ( x)  1

3 ;  1;0

y



Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số



2 x 2  3x  3

 0; 2 .

x 1

trên đoạn



Hướng dẫn giải:

y



 4 x  3  x  1   2 x 2  3x  3



2

 x  1



/



Ta có:



Lại có y (0)  3 ,



y (2) 







2 x2  4x



 x  1



2



0



x � 0; 2 



.



17

3



17

min y  3 max y 

x� 0;2

3

Suy ra:

,

x� 0;2



Nhận xét:











�min f ( x)  f (a)

x� a ;b

 a; b � �



max f ( x)  f (b)



f đồng biến trên

�x� a ;b

;

�min f ( x )  f (b)

x� a ;b

 a; b � �



max f ( x )  f (a )



f nghịch biến trên

�x� a ;b



Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số



y



ln 2 x

1; e3 �



�.

x trên đoạn �



Hướng dẫn giải:

� ln x �

2

2



�x  ln x 2 ln x  ln 2 x

x



y/  �



x2

x2

Ta có:



Với mọi



x � 1; e3 



ta có

5



y /  0 � 2ln x  ln 2 x  0 � ln x  0 hoặc ln x  2

� x  1 hoặc







x  e 2 � x  e 2 1� 1; e3 







Vậy



� 9 4�

min y  min  y (1); y(e3 ); y (e2 )  min �

0; 3 ; 2 � 0

�e e

đạt được � x  1

� 9 4� 4

max y  max  y (1); y (e3 ); y (e)  max �

0; 3 ; 2 � 2

e đạt được � x  e 2 .

�e e

Bài tập tự luyện:

Tìm GTLN,GTNN của các hàm số:

2

Bài 1: y  x  2 x  5 trên đoạn [  2;3] .

2

Bài 2: y   x  2 x  4 trên đoạn [2; 4] .



3

[-3; ]

3

y



x



3

x



3

2 .

Bài 3:

trên đoạn

1

y  x3  2 x 2  3x  4

3

Bài 4:

trên đoạn [-4;0] .

3

2

Bài 5: y  x  3 x  9 x  1 trên đoạn [-4; 4] .

3

Bài 6: y  x  5 x  4 trên đoạn [-3;1] .

4

2

Bài 7: y  x  8 x  16 trên đoạn [1;3] .



Bài 8:



y



2 x2  5x  4

 0;1 .

x2

trên đoạn



 7 �



; �



y



s

inx

6

6 �.



Bài 9:

trên đoạn



2 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một miền vô hạn:

Đối với dạng toán này khi giải ta nên lập bảng biến thiên.

 Tìm tập xác định của hàm số.

'

'

 Tìm y , cho y  0 giải nghiệm.

6



 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận.



Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số



y  x 5



1

x trên khoảng (0; �)



Hướng dẫn giải:

Trên khoảng (0; �) , ta có

y/  1



1 x2 1

 2

x2

x ;



y /  0 � x 2  1  0 � x  1.

Bảng biến thiên



x



0

-



y/

y



�



1

0



+



�



�

-3



Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0; �) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá

trị nhỏ nhất của hàm số.

Vậy



min f ( x)  3



 0;�



(tại x=1).



 Không tồn tại giá trị lớn nhất của f ( x ) trên khoảng (0; �) .



Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số



y  f ( x) 



9

x

 �;0  .

x

trên khoảng



Hướng dẫn giải:

y  f ( x) 



y/ 



y 

/







9

x

x



f / ( x)  1 



9

x2



f / ( x)  0 � 1 



x3



9

0� �

2

x  3

x





x � �;0  nên ta lấy x  3 , loại x  3

7



Bảng biến thiên:



x



y

y



3

0



�

/



+



0

+



6

�



�



Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy GTLN của hàm số trên khoảng

khơng có GTNN vì hàm số giảm xuống �.

Vậy



max y  6

 �;0



 �;0 



là 6 và



tại x  3



 Hàm số khơng có GTNN

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  x  x  4

Hướng dẫn giải:

TXĐ: D  [4; �)

y/  1



1

2 x4



y/  0 � 1



1

0�

2 x4



x4 



1

1

17

� x4 � x 

2

4

4



Bảng biến thiên:



x



17

4



4



y



/



-



0



�

+



8



y



�



4



15

4

15

Nhận xét: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy GTNN của hàm số là 4 và khơng có GTLN vì hàm

số tăng lên �



Vậy



min y 



 4; �



15

17

x

4 tại

4



Hàm số khơng có GTLN

3

2

Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  x  3 x  9 x  5 trên tập xác định.



Hướng dẫn giải:

3

2

Hàm số y  x  3 x  9 x  5 .







TXĐ: D=R

y /  3x2  6 x  9









x  1



y /  0 � 3x2  6 x  9  0 � �

x3



Bảng biến thiên:







x



y

y



�



+



/



-1

0



-



3

0



�

+



�



10

�



-22



 Hàm số khơng có GTLN và GTNN.

Bài tập tự luyện:

3

 0;� .

Bài 1: y   x  3 x  1 trên khoảng



9



Bài 2:



Bài 3:



Bài 4:



Bài 5:



Bài 6:



y  x



4

x trên khoảng  0;� .



y  x



1

x  1 trên khoảng  1; � .



y  x



1

x trên khoảng  2;� .



y  x



1

x trên nửa khoảng  0; 2 .



y



x

x  2 trên nửa khoảng  2; 4 .



�  �

� ; �

Bài 7: y  sin x  cos 2 x  s inx  2 trên khoảng � 2 2 �

.

3



Bài 8:



Bài 9:



y  x  3 



y



1

x  2 trên nửa khoảng  4; 2  .



x2  3

x  2 trên khoảng  �; 2  .



3

 0; � .

Bài 10: y   x  3 x  1 trên khoảng



3.2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC:

1. Trước tiên định nghĩa của bất đẳng thức là gì?

+ Là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng.

ab

ab

a �b

a �b



(với a,b là hai đối tượng để so sánh)



2. Các bất đẳng thức thường sử dụng:

 Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)

 Sơ lược về bất đẳng thức AM-GM:



10



 Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách để chứng minh

bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều

người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách

chứng minh rất hay của mình chứ khơng phải là người phát hiện ra đầu tiên.

 Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân

của n số thực khơng âm được phát biểu như sau:

 Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng,

và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Với 2 số :

ab

� ab

2

Dấu bằng xảy ra khi a=b



Với n số :



x1  x2  ...  xn n

� x1 .x2 .....xn

n

lưu ý: n là số tự nhiên lớn hơn 1.

 Sơ lượt về bất đẳng thức Cauchy-schwars:

 Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức

Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski–

Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS.

 Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường:

a b

 a²   b²   c²   d ²    �  ac    bd  ² Dấu bằng xảy ra khi c  d



3. Ứng dụng của Bất đẳng thức vào trong thực tế:

Trong thực tế bất đẳng thức được sử dụng thường xuyên mà bạn không hề biết. ví dụ như bạn hay

so sánh chiều cao của bạn với một người nào đó cũng là bất đẳng thức. Nếu khơng có bất đẳng thức

trong cuộc sống bạn nghĩ điều gì sẽ xảy ra? Mệnh giá tiền sẽ như nhau, bạn khơng thể biết được 1 bó

rau và 2 bó rau bó nào nhiều rau hơn, Và bạn sẽ không biết được người yêu cũ và người yêu mới ai yêu

bạn nhiều hơn, ai hợp với bạn hơn…

Đó là những điều đời thường nhất mà bất đẳng thức có trong cuộc sống của bạn. Còn trong nghiên

cứu toán học, bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn

trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vơ hạn và tích

phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai…, và còn

trong nhiều lĩnh vực thuộc nhiều ngành khoa học khác nữa.

Một trong những ứng dụng của bất đẳng thức là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.



11



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×