Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Viết phương trình mp qua M chứa đường thẳng

Viết phương trình mp qua M chứa đường thẳng

Tải bản đầy đủ - 0trang

P

Từ đó viết phương trình mp  

Ví dụ: Cho

phẳng



 P



M  2;3;1



chứa



 



r

n

qua M có VTCP là



  :



và đường thẳng



x1 y 2 z





2

1 5 . Viết phương trình mặt



và đi qua M.

Lời giải



r r



P

n,u

Gọi

lần lượt là VTCP của   , VTCP của   .

Dễ thấy



M 0  1;2;0  �   � M 0 �P



\. Ta có



r

MM 0  1; 1; 1 , u  2; 1;5 



r r

r

r uuuuur



n

� u

�  6; 3; 3

u,MM

�r uuuuur � n  �

0�



n  MM 0



P

Vì mp   qua M chứa   nên �



�  P  : 6  x  2   3  y  3  3  z  1 � 2x  y  z  0

10. Viết phương trình đường thẳng



 



đi qua 2 điểm A, B



�qua A

r



 �

r

r uuu

r



VTCP

u



PP: Gọi u là VTCP của   � u  AB . Từ đó viết pt

11. Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2 mp



 P , Q



PP:

-



 P , Q

A x ; y ;z ,B x ; y ;z

Chọn 2 điểm  A A A   B B B  thỏa mãn hệ � A,B thuộc giao

Xét hệ gồm 2 phương trình của mp

tuyến



-



Viết phương trình đường thẳng



   qua A, B.



Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của



 P  : 3x  y  z  5  0,  Q  : x  2y  z  4  0



Lời giải



Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ



�3x  y  z  5  0



x  2y  z  4  0





�y  z  5

�y  1

x 0��

��

� A  0;1;6  �

2y



z



4

z



6





Cho

giao tuyến

�y  z  2

�y  1

x 1� �

��

� B  1;1;1

2y  z  3 �z  1



Cho



 



là giao tuyến



�    đi qua AB





A  0;1;6 



r uuur

�   : �

� PTTS  t �R 

VTCP u �AB  1;0; 5 



12. Phương trình đường thẳng

PP:



    mp  P 



r

VTCP u



   đi qua M vng góc với mp  P 

r

VTPT n



của mp



 P  . Từ đó viết pt



�quaA

r



 �

VTCP

u



Ví dụ: Cho



 



A  1; 2;3 và mp  P  : 3x  y  z  1  0 . Viết phương trình đường thẳng



qua A vả vng góc với mp



 P .

Lời giải



r r



P

u,n

Gọi

lần lượt là VTCP của   và VTCP của   ,

r r

    mp  P  u n  3;1;1

�x  1  3t

�quaA



r � PTTS    �y  2  t  t �R 

  �

VTCP

u



�z  3  t



13. Phương trình đường thẳng



 



qua M  với 2 đường thẳng 1 ,  2 cho trước



r

uu

r uu

r

�  1



r uu

r uu

r

�u �

u

,

u



1

2�









2

PP: Gọi u,u1 ,u 2 lần lượt là VTCP của , 1 ,  2 . Vì �

từ đó viết

r





u

phương trình

qua A có VTCP .

Ví dụ: Cho



M  2;3; 1



và 2 đường thẳng



�x  1  3t

x2 y z3



1 :





;  2 : �y  2  t

1

3

2

�z  1  5t



Viết phương trình đường thẳng



 



qua M vng góc với 1 ,  2

Lời giải



uu

r

uu

r

r uu

r uur

u

1;



3;2

,u

u,

u

,

u





2  3; 1;5 

1

2 lần lượt là VTCP của , 1 ,  2 có 1

Gọi

r uu

r



uu

r uu

r

r









u



u





1

1



� �r uu

u

;u



u

r�u��



�1 2 �  13;1;8 

  2 �

u



u

2

Vì �





�x  2  13t

qua A





r

�   �

� PTTS    �y  3  t

VTCP

u



13;1;8







�z  1  8t





14. Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt đường thẳng 1 và vng góc với



2

PP: Chuyển đường thẳng 1 về dạng tham số (nếu 1 cho ở dạng chính tắc):



�x  x1  at



1 : �y  y1  at

r uu

r uu

r

�z  z  ct

u,u

,u

� 1

1

2 là VTCP của , 1 ,  2

. Gọi



 �1  H � H  x1  at; y1  bt;z1  ct 

uuuu

r uu

r

   qua M, H vng góc với   2  � MH.u 2  0 � t



Giả sử



Từ đó tìm được tọa độ điểm H.



r uuuu

r

r





u



MH

u

Ta có

viết PTTS

qua A có VTCP

Ví dụ: Cho



M  3;2; 1







 1  :



x 1 y  3 z

x 3 y z3



 ; 2  :





2

1

5

1 2

1



Viết phương trình đường thẳng  đi qua M vng góc với 1 và cắt  2



r uu

r uur

u,

u

1 , u 2 là VTCP của , 1 ,  2

Gọi

Giả sử





Lời giải



uuuu

r

 � 2  N � N  3  t; 2t; 3  t  � MN   t; 2t  2;t  2 



uuuu

rr

  1 � MN.u  0 � 2   t   1 2t  2   5  t  2   0



9t  8 � t 



r �8 2 10 � r �8 2 10 �

8 uuuu

� MN � ; ;

�� u � ; ;



9

�9 9 9 � �9 9 9 �



�x  3  4t

r



u  4;1;5  � PTTS    : �y  2  t  t �R 



z  1  5t



Ta chọn

Chú ý: Cách viết phương trình đường thẳng  qua M cắt 1 và vng góc với một véc tơ

r

a cho trước cũng tương tự.





15. Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt hai đường thẳng 1 và 2 .

PP: Cách 1:



r uu

r uu

r

u,u

,u

1

2 là VTCP của , 1 ,  2

- Gọi

- Giả sử  �1  A;  � 2  B � M, A, B thẳng hàng

�1;B � 2 là các điểm có tọa độ bằng tham số t, t '

- Lấy Auu

uu

r uuur

MA,MB

- Tính

uuuu

r

uuur

- M, A, B thẳng hàng � MA  kMB



Tìm t, t '



r

Viết phương trình  qua M có VTCP u



PP: Cách 2:  qua M và cắt 1 ;  2



�  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ;  Q  . Trong đó  P  qua M chứa 1 ,  Q  qua



Q

P

M chứa  2 , viết phương trình   là giao tuyến của   và   (dạng 2)

Chú ý: Trong 1 số dạng tốn thay vì viết  qua M cắt 1;  2 có thể viết là: Viết đường

uuuu

r

uuur



;



MA



kMB.

1

2



thẳng qua M cắt

tại A, B mà



M 1; 1;1 cắt cả hai đường thẳng

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng  qua 

�x  2  2t

�x  2  t '





1 : �y  1  t ;  2 �y  3  3t '

�z  2  t



� z  t '



Lời giải



Cách 1: Giả sử



 �1  A � A  2  2t; 1  t;2  t 

 � 2  B � B  2  t ';3  3t ';  t ' 



uuuu

r

uuur

MA  1  2t; t;1  t  ;MB  3  t ';4  3t '; 1  t ' 

Ta có

uuur

uuuu

r



A,M,

B



MB



k.MA



Vì qua A, M, B

thẳng hàng





3  t '  k  1  2t 



3  t '  k  2kt  1





� � 4  3t '  kt

� � 4  3t '  kt  2 

�1  t '  k  t  1

�1  t '  kt  k  3





Từ



 2







 3



19





5



3t'



3k



t'





� 3 2t'  k . Từ  1 và  3

4



uuur �13 6 5 � r uuur �13 6 5 �

�MB� ; ; � u MB� ; ; �

�6 9 9�

�6 9 9 �



Chọn



�x  1 13t

r



u 13;6;5 � PTTS   �

y  1 6t

�z  1 5t





,Q

là mp qua M chứa 1   là mặt phẳng qua M chứa  2

uu

r

uu

r



M

2;



1

;2

M



2;3;0

u

2;1

;



1

,



u

 1  : qua 1 

 có VTCP 1 

 có VTCP 2  1;3;1

  2  qua 2 



Cách 2: Gọi



+ mp



 P



 P





qua MM 1 chứa  1 



uur

uu

r uuuuur



n

�  MM1 uur �

� � Puur uu

u1;MM 1 �

r � nP  �



� nP  u1



� mp P :1 x  1  3 y  1  1 z  1  0 � x  3y  z  3  0  1

+ mp



 Q : qua MM 2 chứa



uur uu

r



uur uu

r uuuuur

� nQ  u2



1, 2 � �uur uuuuur � nQ �

u

�2;MM 2 �

n



MM

�Q

2

uuuuur

uur

MM 2  3;4;1 � nQ  1;2;5



mp Q :1 x  1  2 y  1  5 z  1  0 � x  2y  5z  4  0  2



P

Q

+ Đường thẳng  là giao tuyến của   và  



Mọi điểm thuộc  có tọa độ là nghiệm của hệ



� x  3y  z  3



x  2y  5z  4  0







� 18

x





18 1 �

�x  3y  3 �



z  0� �

� � 5 � A � ; ;0�

� P 

x



2y



4

1

5

5







�y 

� 5



Cho



� 19

y



19 18�

�3y  z  0 �



3 � B�

x  0� �

��

0;

; �



2y



5z



4

18

3

3�





�z 



3



Cho



r uuur �18 149 18�

u�AB� ;

; � PTTS

� 5 15 13�

 qua AB



� 18 18

�x  5  5 t



1 149

y

t

�



5

15



18



� z  13t





Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng



�x  3 t

x 2 y1 z 3



d1 :





, d2 : �

y  7  2t

3

1

2

�z  1 t





M 3;10;1

Viết phương trình đường thẳng  cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm 

Lời giải

Giả sử đường thẳng  cắt hai đường thẳng  cắt d1 và d2 lần lượt tại hai điểm



A  2  3a;1 a;3 2a







B 3 b;7  2b;1 b



uuuu

r

uuur

M









k

:

MA



kMB

Ta có



Từ đó ta có hệ phương trình:

� 3a  1 kb

� 3a  kb  1

�a  1







a  11  2kb  3k � �

a  3k  2kb  11� �

k2



� 4  2a   kb





�b  1

� 2a  kb  4





�x  3 2t

uuuu

r



� MA   2;10;2 �  : �

y  10  10t

�z  1 2t



Chú ý: Việc tìm ra  có 2 cách khác nhau về mặt hình thức nhưng bản chất đó là 1

phương trình. Bạn đọc tự suy nghĩ tại sao?

16. - Tìm hình chiếu vng góc của điểm M lên đường thẳng 



- Tìm điểm M1 đối xứng với M qua đường thẳng  .

PP:

-



 � H �   �

Gọi H là hình chiếu vng góc cúa M lên  

tọa độ H theo

uuuu

r

uuuu

rr

r

 MH     � MH.u  0 u



phương trình tham số của   .

( là VTCP của   )

Từ đó giải phương trình tìm giá trị tham số � H .





Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua   � H là trung điểm của MM 1 .



xM1  2xH  xM





��

yM1  2yH  yM �



�zM1  2zH  zM

tọa độ M 1

M 1;0;2

Ví dụ: Tìm hình chiếu vng góc của 

lên đường thẳng

x  2 y 3 z1

:





1

2

2

Từ đó suy ra tọa độ điểm M 1 đối xứng với M qua  .

Lời giải

r

u

1;2;2

Đường thẳng  có VTPT 

đi qua

x  2  t





M 0  2;3;1 � PTTS   �y  3 2t

�z  1 2t



.

Gọi H là hình chiếu vng góc của M lênuuu

u

r

� H �   � H  2  t;2t  3;1 2t � MH  t  3;2t  3;2t  1



uuuu

r

uuuu

rr

MH   � MH.u  0 � 1 t  3  2 2t  3  2 2t  1  0



-



� t  1� H  1;5;1



M 1 đối xứng với M qua  � H là trung điểm của MM1



xM1  2xH  xM  3





� �yM1  2yH  yM  10 � M1  3;10;4



�zM1  2zH  zM  4



P

17. Viết phương trình hình chiếu vng góc của đường thẳng  lên mp  



 1 và mp  P . Nếu  1 � P  I ta làm như sau:



Chọn 1 điểm M trên  1  (M không trùng với I)

P

Tìm hình chiếu vng góc của M lên mp   . Gọi là điểm H



PP: Tìm giao điểm của

-



 cần tìm là đường thẳng đi qua I và H

 � P   � 1 / /  P  �

 Nếu    

đường thẳng  cần tìm là đường thẳng song

uuu

r uuur

U  U1

song với 1

Chọn 1 điểm M bất kì thuộc 1



P

Tìm hình chiếu vng góc của M lên   là Hur

 cần tìm là đường thẳng đi qua H có VTCP U

  P

P

 Nếu 1   thì hình chiếu vng góc của 1 lên mp   là giao điểm I.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng

:



x 1 y z 2





2

3

1 và mp  P  : x  y  3z  3  0



Viết phương trình hình chiếu vng góc của



 



lên mp



 P



Lời giải

Giả sử



 1 � P  I



� I �  



PTTS



�x  1 2t

  �

�y  3t � I  1 2t;3t;2  t



z  2  t





I � P � 1 2t   3t  3 2  t  3  0

� 4t  4 � t  1� I  3;3;1



Xét



M  1;0;2 �  



. Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên



 P



� H là giao



P

P

M 1;0;2

điểm của đường thẳng 1 (qua 

vng góc với mp   ) và mp  

uur r

P

u

Gọi 1;n là VTCP của đường thẳng 1 và VTPT của mp  



�x  1 t'

uu

r r

 P � u1  n 1;1;3 � PPTS 1  �

� y  t' � H  1 t';t;2  3t'

�z  2  3t'



H � P � 1 t' t  3 2  3t'  3  0 � 11t'  4 � t 



4

11



uu

r uur �26 29 1 �

�7 4 10 �

� H� ; ;



VTCP



u

; ; �

2

2  IH  �

11 11 11 �





�11 11 11�





Chọn



�x  3 26t

uu

r



u2  26;29;1 � PTTS  2  �

y  3 29t

� z  1 t





Ví dụ 2: Cho



1 :



x1 y z 2

 

2

1

2 và mp  P : x  4y  3z  1  0



P

Viết phương trình đường thẳng  là hình chiếu vng góc của 1 lên  

Lời giải



PPTS



�x  1 2t



1 : � y  t



z  2  2t





. Giả sử



 1  � P  I � I � 1  � I  1 2t;t;2  2t

I � P � 1 2t  4t  3 2  2t  1 0 � 8  0

(vơ lí)



�  1 



khơng cắt



 P



�  1  / /  P



 là hình chiếu vng góc của 1 lên  P  thì

r

 / / 1 � VTCP của  là u 2;1;2



M  1;0;2 �1



Xét



của mp 



P



. Gọi H là hình hiếu vng góc của M lên mp



 P



� H là giao tuyến



P

và đường thẳng  2 (đi qua M và vng góc với   )



M 1;0;2

Phương trình  2 : qua 

r

r

P



u





 1;4;3

Có VTCP u �VTPT của mp

�x  1 t'



PPTS 2 : � y  4t'



z  2  3t'









H � 2 � H  1  t ';4t '; 2  3t '



H � P  � 1  t ' 4.4t ' 3  2  3t '   1  0 � 26t '  8

� t' 



4

�9 16 14 �

� H� ;

;



13

13 13 13 �





9



x



� 13  2t



� 16

� PTTS    : �y 

t

13



� 14

z

 2t



3



Vì  cần tùm đi qua H



P

18. Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với đường thẳng 1 quan mp  

PP: Tìm giao điểm của



 1 







 P



 Trường hợp 1:



1 � P 



-



Nếu



=I



-



P

Xét 1 điểm M �1 . Tìm hình chiếu vng góc của M lên  



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Viết phương trình mp qua M chứa đường thẳng

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×