Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 2: SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Chương 2: SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

F



C



O

1

Q



P

M



D



E



H



A



B



Gọi

H là giao điểm của OM và AB.

P là giao điểm của OA và CD.

Q là giao điểm của OB và EF.



Ta có:

Trong ∆OAC vng tại C có CP là đường cao nên:

(1)

Trong ∆OBF vng tại F có FQ là đường cao nên:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó:



; góc



đồng dạng với



Suy ra:



chung.



(c.g.c)



(3)



Mặt khác,



nên tứ giác OPMQ nội tiếp đường tròn.

(4)



Ta lại có:



( kề bù) (5)



Từ (3), (4), (5) suy ra

Do đó tứ giác AHMP nội tiếp đường tròn.





Vậy



.



Nhận xét:

Xét đường tròn (O) xuất hiện tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại A và tiếp

tuyến tại E và F cắt nhau tại B nên ta nghĩ đến việc sử dụng cực và đối cực

của 1 điểm đối với một đường tròn.

Cách 2:



F



C



O



M

E



D



B

A



Ta xét cực và đối cực đối với (O).

Ta thấy:

Đường đối cực của A là CD đi qua M nên đường đối cực của M sẽ đi

qua A (1)

Đường đối cực của B là EF đi qua M nên đường đối cực của M sẽ đi

qua B (2)

Từ (1) và (2), suy ra: đường đối cực của M là AB

OM



AB.



Nhận xét:

Bài toán trở nên thật dễ dàng và ngắn gọn khi ta sử dụng cực và đối cực

để giải:

Ta thấy với (O) đường đối cực của A và đường đối cực của B đều đi

qua M nên OM



AB



Bài toán 2: Cho ∆ABC với trung tuyến AM và phân giác AN. Đường thẳng

vng góc với AN tại N cắt AB, AM lần lượt tại P, Q. Đường thẳng vng góc

với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh:

Lời giải

Cách 1:

A



B



L



Q



N



M



P



J



I



C



O

R



Từ P vẽ đường thẳng song song với BC cắt AM tại I, cắt AN tại J, cắt

AC tại R, L=AC ∩ PQ.

Do BM = MC và BC // PR

Nên ta có: IR = PI ( định lí Ta- lét)

IN // AC

Ta có:

Lại có:



( tính chất đường phân giác) (2)



Lấy (1) nhân với (2) theo vế ta được:





Nên



( do NI//AR)



Suy ra: QJ // AP

J là trực tâm ∆QPO

Vậy

Cách 2:

A



y

B



Q



N



M



P



C

O

R



x



Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, O nằm trên trục hồnh.

Giả sử AB có phương trình y = ax + b.

Khi đó:

và AC có phương trình: y = -ax – b

( Do A thuộc trục hoành và AB, AC đối xứng nhau qua trục hồnh)





nên có phương trình y =



Mặt khác ta có: BC qua gốc tọa độ N

Nên BC có phương trình là: y = cx (1)

Suy ra:



Do đó:



và O( ab; 0)



Phương trình AM là: cy = a2 x+ ab

Vậy QO có phương trình là: x - ab+ cy = 0 (2)

Từ (1) và (2)

Cách 3:



A



l

B



R



Q

P



E



N

M

C



O



Giả sử đường thẳng qua O vng góc với BC cắt PR tại Q’.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng qua A song song BC ( đặt tên là l) và PR.

Xét cực và đối cực của (O).

Ta có:

Q thuộc đường đối cực của A nên A thuộc đường đối cực của Q nên l là

đường đối cực của Q ( do l



OQ).



E là cực của AQ ( Do đường đối cực của A là PR và đường đối cực của Q

là l).

Gọi M’ là giao của AQ và BC, ta có:

(P, R, Q’, E) = A(P, R, Q’, E) = A(B, C, M’, N) = -1

M’ là trung điểm của BC. Suy ra Q trùng Q’.

Vậy

Nhận xét:



Ta thấy trong các cách giải bài tốn trên thì cách sử dụng cực và đối cực là

đơn giản và ngắn gọn nhất: Xét cực và đối cực của (O) có l là đường đối cực

của A, A cũng là đường đối cực của Q nên OQ

Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). Gọi M, N, P,

Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn. Gọi

K là giao điểm của MQ với NP. Chứng minh rằng OK vng góc với AC.

Nhận xét:

Bài toán xuất hiện các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, từ đó ta dễ

dàng nhận thấy đường thẳng AC là đường đối cực của điểm K và đường thẳng

QK là đường đối cực của điểm A.

Lời giải

K



A



E



M



Q

O



B



.



N



F

C

Gọi E và F là hai

D giao điểm của

P AC với đường tròn (O).



Ta có:

Đường thẳng AC là đường đối cực của điểm K.

Đường thẳng QK là đường đối cực của điểm A.

Hai tiếp tuyến qua E và F với đường tròn (O) cắt nhau tại K’.

Các điểm K’, N, P thẳng hàng và K’, M, Q thẳng hàng.

Từ đó suy ra K’ là giao điểm của MQ với NP hay K’ ≡ K.

Vậy KE, KF là hai tiếp tuyến kẻ từ K với đường tròn (O).

KO ⊥ EF hay KO ⊥ AC.

Bài toán 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường thẳng d1, d2 bất kì qua

A. Các đường thẳng qua B, C tương ứng vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại D.



Đường thẳng qua B vng góc với AB cắt d1 tại E. Đường thẳng qua C vng

góc với AC cắt d2 tại F. Chứng minh rằng AD vng góc với EF.

Nhận xét:

Bài tốn này khơng xuất hiện đường tròn nhưng ta nhận thấy ∆ABC cân nên

ta sẽ xác định được 1 đường tròn tâm A, bán kính AB đi qua B và C. Sau đó

lại áp dụng cực và đối cực đối với đường tròn.

Lời giải



A



d



d



C



B

d



d

E



D



F



Ta gọi:

d3 là đường thẳng qua B và vng góc với d1

d4 là đường thẳng qua C và vng góc với d2

Xét cực và đối cực đối với ( A, AB). Kí hiệu (A).

Ta có: BE, CF là các tiếp tuyến của (A).

Đường đối cực của E sẽ đi qua B và vng góc với AE, hay chính là d3

Đường đối cực của F sẽ đi qua C và vng góc với AF, hay chính là d4

Cực của EF chính là D

Vậy: AD EF.



Bài tốn 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính UV. Lấy hai điểm P, Q trên

đường tròn (O) sao cho UP < UQ. Tiếp tuyến với đường tròn tại P, Q cắt nhau

tại R. Gọi S là giao điểm của UP và VQ. Chứng minh rằng RS



UV.



Nhận xét:

Trong bài toán này ta thấy xuất hiện các tiếp tuyến của đường tròn nên

ta nghĩ ngay đến việc sử dụng cực và đối cực để giải.

Lời giải

S



R

Q

P

K

U



O



V



Xét cực và đối cực với đường tròn (O).

Gọi K = PQ∩ UV, theo tính chất của cực và đối cực suy ra đường đối

cực của K đi qua S (1).

Tiếp tuyến với (O) tại P và Q cắt nhau tại R



Đường đối cực của R là PQ.



Vì K nằm trên PQ nên R nằm trên đường đối cực của K (2).

Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của K là RS

Mà K nằm trên đường kính UV



RS UV



Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử AC cắt BD ở

M, AB cắt CD ở N, AD cắt BC ở P. Chứng minh rằng O là trực tâm của tam

giác MNP.

Nhận xét:

Trong bài tốn này xuất hiện đường tròn (O) và các cát tuyến nên ta sẽ sử

dụng cực và đối cực để giải.



Lời giải

P



B



A



M

O

C



D



N



Xét cực và đối cực đối với (O).

Ta thấy:

PM là đường đối cực của N nên: ON



PM (1)



MN là đường đối cực của P nên: OP



MN (2)



Từ (1) và (2) suy ra O là trực tâm của ∆MNP.

Bài toán 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử AC cắt BD tại

I và (AOB), (COD) cắt nhau tại điểm L khác O. Chứng minh rằng KO ⊥ IL.



Lời giải

K



C



M

B



L

I



O

D



A



N



Gọi K là giao điểm của AB và CD

Ta có: KA.KB = KC.KD

K thuộc trục đẳng phương của (AOB) và (COD)

K, L, O thẳng hàng.

KL.KO = KA.KB = KM.KN (với M, N là giao điểm của KO với (O) ).

Từ đó, ta có: (KOMN) = -1 hay L thuộc đường đối cực của K.

Mà đường đối cực của K đi qua I



IL chính là đường đối cực của K



Vậy: KO ⊥ IL.

Bài toán 8: Cho tam giác ABC. Đường tròn đường kính AB cắt CA, CB lần

lượt tại P, Q. Các tiếp tuyến tại P, Q với đường tròn này cắt nhau tại R. Chứng

minh rằng CR ⊥ AB.

Nhận xét:

Bài tốn trên xuất hiện đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABPQ và các tiếp tuyến

tại P, Q nên ta nghĩ đến sử dụng cực và đối cực với đường tròn.



Lời giải



C



R



Q



P



S



A



O



B



Gọi O là trung điểm AB và S là giao điểm của PQ và AB.



Xét tứ giác nội tiếp APQB ta thấy:

CR là đường đối cực của S.

R ⊥ OS hay CR ⊥ AB.

Bài toán 9: Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm O. Các cạnh AB, BC, CA,

AD tiếp xúc (O) lần lượt tại G, H, K, L. Gọi E là giao điểm cuả AB và CD, F

là giao điểm của AD và BC và P là giao điểm của GK và HL. Chứng minh

rằng PO EF.

Lời giải



F



A



E



B



G

P



L



H

C



O

K



D



Xét cực và đối cực với đường tròn (O).

AB và CD là các tiếp tuyến với đường tròn (O) với các tiếp điểm G, K.

GK là đường đối cực của E.

Tương tự, ta có HL là đường đối cực của F.

Mặt khác:

GK ∩ HL = P

OP



Đường đối cực của P là đường thẳng EF.



EF.



2.2. Một số bài toán chứng minh song song

Nhận xét:

Để chứng minh tính song song ta làm như sau:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 2: SỬ DỤNG CỰC VÀ ĐỐI CỰC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×