Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Tải bản đầy đủ - 0trang

5



r

a

;a

;

a





1

2

3

a

• Ta gọi bộ ba số

là tọa độ của vectơ đối với hệ Oxyz.



Nhận xét: Trong hệ tọa độ Oxyz tọa độ của điểm M chính là tọa độ của

uuuu

r

uuuu

r

M



x

;

y

;

z



OM

 ( x; y; z ).





vectơ OM . Ta có:

4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ



r

a   a1; a2 ; a3 



• Định lý: Trong khơng gian Oxyz , cho hai vectơ

r

b   b1; b2 ; b3  .

Ta có:

r r

a �b   a1 �b1; a 2 �b2 ; a 3 �b3 



r

ka  k  a1; a2 ; a3    ka1; ka2 ; ka3  với k là một số thực.









• Hệ quả:



r

r

a



a

;

a

;

a

b





1 2 3 và   b1; b2 ; b3  .

i) Cho hai vectơ

�a1  b1

r r



a  b � �a2  b2 .



�a3  b3

Ta có:

r

0;0;0  .

0

ii) Vectơ có tọa độ là 

r

r r

r

b

b



0

a

iii) Với

thì hai vectơ và cùng phương khi và chỉ khi có một số

k sao cho: a1  kb1, a 2  kb2 , a 3  kb3.

iv) Trong không gian



Oxyz , cho bốn điểm A  x A ; y A ; z A  ,



B  xB ; y B ; zB  , C  xC ; yC ; xC 

+







D  xD ; y D ; z D  ,



uuu

r

AB   xB  x A ; yB  y A ; z B  z A  .



khi đó:



 Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

�x  xB y A  yB z A  z B �

M �A

;

;

.



2

2

2





 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì :



6



�x  xB  xC y A  yB  yC z A  z B  zC

G  �A

;

;

3

3

3







.







 Nếu K là trọng tâm tứ diện ABCD thì:

�x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD z A  zB  zC  zD

K  �A

;

;

4

4

4



uuu

r

uuu

r

k EA  k EB

 Nếu E chia đoạn AB theo tỉ số

thì:









.











�x  kxB y A  kyB z A  kzB �

E  �A

;

;

.



1 k

1 k �

� 1 k

B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP

1. Khởi động

Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:

Trước khi



Các mệnh đề



học

Tích của một số thực với một vectơ tùy ý luôn

thu

r r được kết quả là một số thực.

u , v cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số

r

r

m sao cho u  mv.



r

Trong không gian Oxyz , cho vectơ a khi đó



ln tồn tại vơ số bộ ba số  a1;a 2 ; a3  sao

r

r

r

r

a



a

i



a

j



a

k

1

2

3 .

cho:

A x ;y ;z ,B x ;y ;z ,

Cho  A A A   B B B  khi đó:

uuu

r

AB   x A  xB ; y A  yB ; z A  z B  .

2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài



uuuu

r r r

r

Oxyz

,

OM



i



j



2

k

.

Ví dụ 1:Trong khơng gian

cho vectơ



Tìm tọa độ điểm M .

Hướng dẫn:



Sau khi học



7



uuuu

r

Oxyz

OM

.

Trong hệ tọa độ

tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ

uuuu

r r r

r

OM  i  j  2k � M   1; 1;2  .

Ta có:

r r r r

r r r

Oxyz

,

v

Ví dụ 2: Trong khơng gian

cho hai vectơ u  i  2k và  i  j  k . Tính:

ur

r r r

r r

r r

m



2

u



5

v



j

.

n



u



2

v

 j.

a)

b)



Hướng dẫn:

r

r

r

u   1;0; 2  , v   1; 1;1 , j   0;1;0 

a) Ta có:

nên ta tính được:

ur

r r r

m  2u  5v  j   3; 6;1 .

r

r

r

u



1;0;



2

,

v



1;



1;1

,

j   0;1;0  nênta tính được:









b)Ta có:

r r

r r

n  u  2v  j   1;3; 4  .

Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho tứ giác ABCD có A  1;1;4  , B  2;4;6  ,



C  0;0;3 và D  3; 7;1 . Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của tứ giác

ABCD.

Hướng dẫn:

Gọi I  a; b; c  là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.



a  1   k1

a  1  k1









b  1   k1 � �

b  1  k1 .



uuur

uur



c  4   k1 �

c  4  k1



Ta có AI và AC cùng phương nên �

a  2  2 k 2 �

a  2  2 k2







b  4  4k2 � �

b  4  4k2 .



uuur

uur





c  6  3k2

c  6  3k2



Tương tự ta có BI và BC cùng phương nên �

2  2k2  1  k1





4  4k2  1  k1 � k2  1, k1  1 � I  0;0;3  .





6  3k2  4  k1

Từ đó ta có hệ �

3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp

a. Bài tập tự luận

Bài tự luyện số 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với



8



A  1;0;0  , B  0;0;1 và C  2;1;1 . Tính:

a) Trọng tâm tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm của đoạn BC.

Bài tự luyện số 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A  1;1;1 , B  2;1;0  ,

uuur

uuur uuur r

C  3; 2;2  . Tìm điểm M thỏa mãn MA  2MB  3MC  0.

r

a   m  2; n  5;0 

Bài tự luyện số 3: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ



r

r

r

b   m; n  6;0  . Tìm tất cả các cặp giá trị  m; n  để a và b cùng phương.

b. Bài tập trắc nghiệm



r r r

r

Oxyz

,

u



k



2

i

.

u

Câu 1: Trong không gian

cho vectơ

Tọa độ của vectơ là:



A:



 0;1;2 



B:



 2;1;0 



 2;0;1

 0;2;1

C: uuuu

D:

r r r uuur

r r

Oxyz

,

OM



3

i



j

,

ON



2

j  k.

Câu 2: Trong không gian

cho hai vectơ

uuuu

r

MN

Tọa độ của

là:

A:



 3;3;1



B:



 3;1;1



C:



 3;3;1



D:



 3;1;1



r

r

r r r

u   1;2; 1

Oxyz

,

v



2

u

 j  k.

Câu 3: Trong không gian

cho hai vectơ



Mệnh đề nào dưới đây đúng?

r r r r

r r r

r

v



2

i



5

j



3

k

.

v



2

i



3

j



2

k

.

A:

B:

r r r r

r r r

r

v



3

i



3

j



k

.

v



i



5

j



2

k

.

C:

D: r

u   2  x; y  1;3

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ



r

r

r

v   1  y; 1  x; z  . Biết v  2u, giá trị của x, y, z lần lượt là:

A: 1;1;6.



B: 1;1;6.

C: 1;2;3.

D: 2;1; 3.

A 1;2;5  , B  3;6;1 .

Câu 5:Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 

Tọa độ trung

điểm M của đoạn thẳng AB là:



M 2;4;3 .

M 2; 4;3 .

A: 

B: 

C- BÀI TẬP VỀ NHÀ



C:



M  2;4;3 .



D:



M  2;4; 3 .



9



1. Bài tập tự luận



r

r

r

a   2;1;3 , b   3;1;4  , c   3; 3; 1 .



Bài tập 1: Cho các vectơ

Tìm tọa độ

r

r

r r

x



2

a



3

b

 c.

của vectơ

r

r

r

a   1; 2;3 , b   2; 2; 1 , c   4; 0; 4  .

Bài tập 2: Cho vectơ

Tìm toạ độ của

u

r

r r r u

r r

y

2

a



b



c



3

y

 0.

vectơ sao cho

Bài tập 3: Cho ba điểm A  1;1;1 , B  5;1; 2  , C  7;9;1 là đỉnh của tam giác



ABC.

a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

uuuu

r

uuu

r

uuu

r

uuuu

r

AM



3

AB



2

CB



4

OM

.

M

b) Tìm tọa độ điểm

thỏa mãn điều kiện

2. Bài tập trắc nghiệm



r

r r

r

Oxyz

,

u



2

i



3

j



2

k

. Tọa

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ

cho vectơ

r

u

độ của vectơ là:



A:  2;3;2  .

B:  2;3; 2  .

C:  2; 3;2  . r r D:r  3; 2;2  .

Câu 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u  2i  k . Tọa độ của

r

vectơ u là:

A:  0;1;2  .



 2;1;0  .

 2;0;1 .

 0;2;1 .

B:

C:

D:

r

a  3; 5; 6 

Câu 3:Cho vectơ

có toạ độ điểm đầu là  0; 6; 2  . Toạ độ điểm cuối

r

a

của vectơ là:

A:  3;2;8  .



 4;1;6  .

 5;2;3 .

B:  3;1;8 r.

r rC: r r

r

r r D:

r r

r

a





6

i



8

j



4

k

,b



4

j



2

k

,c



i



4

j



2

k

, vectơ

Câu 4:Trong các vectơ sau

r

nào cùng phương với vectơ x có điểm đầu là A  1; 1;3 và điểm cuối là



B  2;3;5  .



r

a

A:



r

c

B:



r

b

C:



D: A,B đều đúng.



10



Câu 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm



A  1; 2; 1 ,B  2;1; 3 và C  3; 0;1 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Tọa độ của điểm G là:

A:  3; 0;1 .

B:  6;3; 3 .

D- ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN



C:  1; 0; 3 .



D:  3;1; 1 .



1. Bài tập trên lớp

Bài tự luyện số 1:

a) Gọi G  x, y, z  là trọng tâm tam giác ABC.

�x  xB  xC y A  y B  yC z A  z B  zC

G   x; y; z   � A

;

;

3

3

3



Ta có:



1 2�

� �

1

;

.

� � 3; 3 �



��



b) Do M là trung điểm của BC nên:

y  yC z B  zC

�x  x

M �B C ; B

;

2

2

� 2



� �1 �

1; ;1�

.

� �

� �2 �



Bài tự luyện số 2:

Gọi điểm M  x; y; z  , ta tính được

uuur uuur uuur

MA  2 MB  3MC   14  6 x; 3  6 y;7  6 z  .

uuur

uuur uuur r

�7 1 7 �

7

1

7

M � ; ; �

.

MA  2MB  3MC  0 � x  ; y   ; z 

3

2

6





3

2

6



hay

Bài tự luyện số 3:



m  2  km





n  5  k  n  6 .



r

r



0  k .0

Hai vectơ a và b cùng phương khi và chỉ khi �

Vì m, n nguyên âm nên m �0, ta xét các trường hợp sau:

r r

b

n





6

TH1:

để hai vectơ cùng phương thì  0 � m  0 (loại).

r r

a

n





5

TH2:

để hai vectơ cùng phương thì  0 � m  2 (thỏa mãn).

m2

m



TH3: n �6 và n �5, ta có n  5 n  6 biến đổi được 2n  m  12.



11



Với m, n nguyên âm nên 0  2n  12 � 0  n  6.

Vì thế ta tìm được n � 5; 4; 3; 2; 1 .

Bài tập trắc nghiệm

Câu

Đáp án

2.Bài tập về nhà



1

C



2

C



3

A



4

A



r

r

r

a   2;1;3 , b   3;1;4  , c   3; 3; 1



5

C



Bài tập 1: Ta có:

nên ta tính được

r

r r r

x  2a  3b  c   8; 4; 7  .

r

r

r

a   1; 2; 3 , b   2; 2; 1 , c   4; 0; 4  .

Bài tập 2: Ta có:

r r r

u

r

r r r u

r r

2

a



b



c



0

;

6

;

9

y

  a;b;c  .





2

a



b



c



3

y



0

Mặt khác:

với

và ta gọi

3a  0

a0









6  3b  0 � �

b  2 .







9  3c  0

c  3



Ta có hệ phương trình: �

u

r

y   0; 2; 3 .

Vậy:

Bài tập 3:

a) Ta có: A  1;1;1 , B  5;1; 2  , C  7;9;1 thì trọng tâm G có tọa độ là:

�x  xB  xC y A  y B  yC z A  z B  zC

G  �A

;

;

3

3

3





13 11 �

��



.

� � ; ;0 �

� �3 2 �



b) Gọi M  a;b;c  là tọa độ điểm M cần tìm.

uuuu

r

uuu

r

uuu

r

AM



a



1;

b



1;

c



1

,

AB



4;0;



3

,

CB

  2; 8; 3  và









Ta có:

uuuu

r

OM   a; b;c  .

uuuu

r

uuu

r

uuu

r

uuuu

r

AM



3

AB



2

CB



4

OM

Mà:

hay ta có hệ phương trình:



12



� 17

a



3

a  1  12  4  4a







� 17

�17 17 2 �

b  1  16  4b

��

b

�M � ;

; �

.



3

3

3

3









c  1  9  6  4c



� 2

c



� 3



Bài tập trắc nghiệm

Câu

Đáp án



1

B



2

C



3

B



4

A



5

D



13



1.2. Kế hoạch bài học: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG

DỤNG

A- LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng



r

a   a1; a2 ; a3 

Oxyz

,

Định lý:Trong khơng gian

tích vô hướng của hai vectơ



r

rr

b   b1; b2 ; b3 

a

được xác định bởi công thức: .b  a1b1  a2b2  a3b3

2. Ứng dụng



r

r

a  a12  a22  a32 .

a



a

;

a

;

a





1

2

3

• Độ dài của một vectơ. Cho vectơ

Khi đó:

• Khoảng cách giữa hai điểm. Cho hai điểm



A  xA ; y A; z A 







B  xB ; y B ; z B  .



uuu

r

Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ AB.

uuu

r

2

2

2

AB  AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  .

Do đó ta có:

r

a   a1; a2 ; a3 



• Góc giữa hai vectơ. Nếu là góc giữa hai vectơ



rr

a.b

cos   r r .

r

r

r

r

a.b

b   b1; b2 ; b3  với a và b khác 0 thì

Do đó:

r r

a1b1  a2b2  a3b3

cos   cos a, b 

.

2

2

2

2

2

2

a1  a2  a3 . b1  b2  b3

r r

Từ đó suy ra: a  b � a1b1  a2b2  a3b3  0.

3. Hình chiếu của điểm lên trục tọa độ và mặt phẳng tọa độ

• Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M  x; y; z  , khi đó:



 



+ Hình chiếu của M trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là: M1  x;0;0  , M 2  0; y;0 

và M 3  0;0; z  .

+ Hình chiếu của M lên ba mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx) lần lượt là:

M 4  x; y;0  , M 5  0; y; z  , M 6  x;0; z  .



B- HOẠT ĐỘNG TRÊN LỚP



14



1. Khởi động

Trả lời Đúng hoặc Sai đối với các mệnh đề được cho bởi bảng sau:

Trước khi

học



Các mệnh đề

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A  x A ; y A ; z A  và B  xB ; y B ; z B  .

Khi đó:

uuu

r

2

2

2

AB  AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  .



Sau khi

học



Tích vơ hướng của hai vectơ tùy ý ln thu được

kết quả là một số dương.



r

r

u



kv

, k ��.

Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi

o

Góc giữa hai vectơ ln nhỏ hơn 90 .



2. Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài

r

r

r

a



3;0;1

,

b



1;



1;



2

,

c

  2;1;  1 .

Oxyz

,









Ví dụ 1: Với hệ tọa độ

cho

Hãy tính



r r r

a. b  c







 và



r r

ab.



Hướng dẫn:

r

r

r

a



3;0;1

,

b



1;



1;



2

,

c

  2;1;  1 .









Ta có:

r r r rr rr

� a. b  c  a.b  a.c  �

3.1  0. 1  1. 2  �

3.2  0.1  1. 1 �



� �



� 6.

r r

a

 b   3  1; 0  1; 1  2    4; 1;  1 .

Lại có:

r r

a  b  16  1  1  18  3 2.

Nên:

r

r

Oxyz

,

a

b

Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ

tính góc giữa hai vectơ và trong các











trường hợp sau:

r

r

a   2; 3; 1 , b   6; 4; 2  .

a)

Hướng dẫn:



r

r

a   3; 2; 2  , b   5; 1; 0  .

b)



15



rr

r r

a.b

2

1

cos a, b  r r 

 .

4  9  1. 36  16  4 14

a.b



 



a) Ta có:



r r

1

a, b  arccos .

14

Vậy:

rr

r r

a.b

1

1

cos a, b  r r 

 .

2. 2 2

a .b



 



 



b) Ta có:



Vậy:



r r

a, b  120o.



 



A 1;2;3

B 5;4; 3 .

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 

và 

Gọi M

là điểm thuộc đoạn AB và H , I , K lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên

ba mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx). Tìm giá trị nhỏ nhất của MH  MI  MK .

Hướng dẫn:

Gọi



M  x; y; z 



thuộc đoạn AB.



�x  1  4k

�x  4k  1





�y  2  2k � �y  2k  2 .

uuuu

r

uuur

�z  3  6k �z  6k  3



Vì AM và AB cùng phương nên �

H là hình chiếu của M trên  Oxy  nên H  4k  1;2k  2;0  � MH  3  6k .

I là hình chiếu của M trên  Oyz  nên I  0;2k  2; 6k  3 � MI  4k  1 .

K là hình chiếu của M trên  Ozx  nên I  4k  1;0; 6k  3 � MK  2k  2 .

Từ đó: MH  MI  MK �3  6k  4k  1  2k  2  6.

3. Học sinh tự làm các bài tập sau trên lớp

a. Bài tập tự luận



A 1; 2; 1 và

Bài tự luyện số 1: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 

B  1; 1; 2  .

uuu

r uuu

r

a) Tính OA.OB.



b) Tính







uuu

r uuu

r

OA, OB .







Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×