Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

Tải bản đầy đủ - 0trang

6



chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để

giải các bài tốn về dòng điện xoay chiều.

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ thứ XVI, đó là thời kì Phục

hưng của tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ. Nhà

toán học người Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định

nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "khơng thể

có" hoặc "số ảo" trong cơng trình Đại số (Bologne, 1572) cơng

bố ít lâu trước khi ơng mất. Ơng đã định nghĩa các số đó (số

phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa

ra căn bậc hai của -1.

Năm 1746, Nhà toán học Pháp D’Alembert đã xác định

được dạng tổng quát "a + bi" của số phức, đồng thời chấp

nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n.

Nhà tốn học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "

i " để chỉ căn bậc hai của -1 , và năm 1801, nhà bác

học Gauss đã dùng lại ký hiệu này.

Số phức được biểu diễn dưới dạng a + bi, với a và b là

các số thực và i là đơn vị ảo, thỏa mãn i2 = −1. Ví dụ: 4 + 2i là

một số phức.

Số thực a được gọi là phần thực của a + bi; số thực b được

gọi là phần ảo của a + bi. Theo đó, phần ảo khơng có chứa

đơn vị ảo: do đó b, khơng phải bi, là phần ảo. Tâp hợp các số

phức gọi là trường số phức, ký hiệu là C.

Một số thực a có thể được biểu diễn ở dạng phức là a +

0i với phần ảo là 0. Số thuần ảo bi là một số phức được viết

là 0 + bi với phần thực bằng 0. Ngồi ra, khi phần ảo âm, nó

được



viết



là a − bi với b >



ví dụ: 2 − 4i thay vì 2 + (−4)i.



0 thay



vì a +



(−b)i,



7



Khi xét các cặp số thực (x,y) lấy theo thứ tự xác định. Ta

coi cặp số thực (x,y) là một véctơ trong mặt phẳng Đề-các

xOy. Mỗi cặp số thực biểu diễn một số phức và mặt phẳng Đềcác xOy được coi là mặt phẳng số phức. Khi đó tập hợp các

số phức (x,y) chính là tập hợp các điểm z của mặt phẳng xOy,

do đó ta có thể viết đẳng thức.[1]

z = (x,y)

Khi số phức dạng z = (x,0) thì thành phần thực của số

phức là x, thành phần ảo bằng 0, điểm z sẽ nằm trên trục

hoành trên mặt phẳng xOy. Nên trục hồnh của mặt phẳng

Đềcac xOy còn gọi là trục thực.

Khi số phức dạng z = (0,y) thì thành phần thực của số

phức là 0, thành phần ảo bằng y, điểm z sẽ nằm trên trục

tung trên mặt phẳng xOy. Nên trục tung của mặt phẳng

Đềcac xOy còn gọi là trục ảo.

Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hay ℜ(z);

phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hay ℑ(z). Nên nếu

xét theo phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ được viết là .

Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của z.

1.1.2. Dạng đại số của số phức

Xét song ánh:



f : R R {0}, f(x) = (x,0).



Ta có :

(x,0) + (y,0) = (x + y,0); (x,0).(y,0) = (xy,0)

(1.1)

Đặt (0,1) = i. Như ta đã biết (x,0) = x với mọi x. Dựa vào

định nghĩa của phép nhân ta có:

z = (x,y) = (x,0) + (y,0) = (x,0) + (y,0).(0,1)

= x + yi = (x,0) + (0,1).(y,0) = x + iy



8



Số phức bất kì z = (x,y) được biểu diễn duy nhất dưới dạng

z = x + yi với

Hệ thức được suy ra từ phép nhân :

(1.2)

Vậy biểu thức x + yi được gọi là dạng đại số của số phức z

= (x,y).

Các phép toán trên các số phức viết dưới dạng đại số:

Cho hai số phức z = a + bi và = + i với .





Phép



cộng



các



số



phức:



=











(1.3)

Phép trừ các số phức: = () + ()i .

Phép nhân số phức: = – + ( – )i .

Phép

chia

số

phức:



()



+



()i



.



(1.4)

(1.5)

=



=



(1.6)

1.1.3. Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a + bi ≠ 0. Gọi M (a,b) là một điểm trong mặt phẳng phức

biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia

cuối OM được gọi là một

của z.

Nếu ϕ là một acgumen của z,



acgumen



y



thì



a

M



acgumen đều có dạng: ϕ + 2kπ, k

φ



Xét số phức z = a + bi ≠ 0 (a,

Gọi r là môđun của z và ϕ là



O



b



mọi



∈ Z.

b ∈ R)

xmột



acgumen của z. Với r = .

Ta có: a = rcosϕ , b = rsinϕ thì

z = r(cosϕ +isinϕ), trong đó r > 0, Hình 1.1. Biểu diễn hình

được gọi là dạng lượng giác của số phức



học của số phức



9



z ≠ 0.



Nếu z = r(cosϕ +isinϕ)

z' = r’(cosϕ’ +isinϕ’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0)

thì: z.z’ = r.r[cos(ϕ +ϕ’) +isin(ϕ +ϕ’)]

1.2. Các phương pháp biểu diễn dao động điều hoà

1.2.1. Phương pháp lượng giác

Một dao động điều hòa được mơ tả bởi các phương trình

lượng giác sau:

x = A sin(ωt + α)

(1.7)

hoặc x = A cos(ωt + α)

(1.8)

Trong đó: x: li độ dao động.

A: biên độ dao động.

ω: tần số góc.

α: pha ban đầu.

Hai dao động điều hoà được biểu diễn dưới dạng:

(1.9)

(1.10)

Tổng hai dao động điều hồ cùng phương:

x=

(1.11)

Áp dụng cơng thức lượng giác: cos a + cos b = 2cos cos

- Nếu hai dao động cùng biên độ



10



x=

= 2Acos(



(1.12)



- Nếu hai dao động cùng tần số , cùng biên độ thì:



x =)

= 2Acos(



= cos



(1.13)



Nhận xét: Khi hai dao động điều hòa cùng tần số thì tổng

hai dao động là một dao động có tần số với biên độ là và pha

dao động là



.



1.2.2. Phương pháp hình học (giản đồ vectơ Fresnel)

Dao động điều hòa có thể xem như là hình chiếu của một

chuyển động tròn đều lên một đường kính của nó. Nếu bán

kính chuyển động tròn đều là A, chiều dương quy ước là

ngược chiều kim đồng hồ, chọn một đường kính làm trục

chuẩn, quan sát hình chiếu của đầu mút vectơ A lên trục

chuẩn.

Khi vectơ quét theo đường tròn, hình chiếu của nó di

chuyển qua lại trên trục chuẩn, nếu chọn tâm O của đường

tròn làm gốc tọa độ, ta thấy hình chiếu di chuyển giữa 2

điểm –A và A.

Giả sử ban đầu điểm A đang ở vị trí mà bán kính vectơ của

nó hợp với trục chuẩn góc φ, khi điểm A chuyển động tròn

đều, góc qt của vectơ là ωt. Đối với trục chuẩn, vị trí của A

được xác định bằng góc lượng giác (ωt+φ). Độ dài đại số của

hình chiếu hay tọa độ của hình chiếu tìm được từ

x = Acos(ωt+φ).



11



Vậy nếu một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường

tròn bán kính A với vận tốc góc ω thì hình chiếu của nó lên

một đường kính bất kì sẽ dao động điều hòa với biên độ A và

tần số góc ω. Pha ban đầu của dao động tùy thuộc cách ta

chọn đường kính nào làm trục chuẩn, chiều dương quy ước

cho đường tròn lượng giác cũng như chiều dương quy ước cho

trục chuẩn.



Hình 1.2. Giản đồ Fresnel hay giản đồ pha



Hai dao động điều hòa được biểu diễn dưới dạng:

x 1 = A1cos(ωt + )

(1.14)

x2 = A2cos(ωt + )

(1.15)

Thì dao động tổng hợp sẽ là: x = x1 + x2 = Acos(ωt + ) với A

và φ được xác định bởi:

Vì hai dao động cùng phương và cùng tần số nên ta có:



12



A 2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(1 – 2)

(1.16)



tan =



(1.17)



Trong phần điện học, khi sử dụng phương pháp hình học thì

các đại lượng vơ hướng như cường độ dòng điện, hiệu điện

thế,…được biểu diễn bằng các vectơ quay như

1.2.3. Phương pháp số phức

Hàm điều hòa x = Acos().

+, Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay tại t = 0:

x = Acos



như hình (1.3) sao cho:



Từ hình 1.3, ta thấy: a = A cosϕ , b = A sinϕ

Mặt khác, có thể biểu diễn x bởi số phức:

= A=A(cos



y

b



(1.18)



A



Với A = và tan =



φ

a



+, Tại thời điểm t bất kì, có thể biểu diễn xO



xbởi



số phức:

=A



Hình 1.3. Biểu diễn dao



= Acos((1.19)



động điều hòa dưới dạng



Trong đó: Phần thực: a = Acos(



vectơ



Phần ảo: b = A sinϕ

Số phức liên hợp của a + bi là = a – bi nên :

=







một



số



thực.



(1.20)

1.3. Lý thuyết về dòng điện xoay chiều

Dòng điện xoay chiều là dòng điện có cường độ biến thiên tuần hồn theo

thời gian (theo hàm cos hay sin của thời gian). [7,8]

Biểu



thức:



i



=



I0



cos(ωt



+



φi)



(A)



13



(1.21)

Trong đó: i: giá trị cường độ dòng điện xoay chiều tức thời, đơn vị là (A)

I0 > 0: giá trị cường độ dòng điện cực đại của dòng điện xoay chiều.

ω, φi: là các hằng số.

ω > 0 là tần số góc.

(ωt + φi): pha tại thời điểm t.

φi: Pha ban đầu của dòng điện.

Khi dùng suất điện động xoay chiều trên gắn vào một mạch

nào đó thì trong mạch có dao động điện cưỡng bức với tần số

bằng tần số của suất điện động xoay chiều, khi đó hiệu điện

thế và dòng điện giữa hai đầu đoạn mạch cũng là hiệu điện

thế và dòng điện xoay chiều:

u = U 0 cos(ωt + φu) (V)

(1.22)

i = I0 cos(ωt + φi) (A)

(1.23)

Khi đó : φ = φu – φi : là độ lệch pha của hiệu điện thế và

dòng điện.

Nếu φ > 0 Thì u sớm pha hơn so với i

Nếu φ < 0 Thì u trễ pha hơn so với i

Nếu φ = 0 Thì u đồng pha so với i

Giá trị hiệu dụng của một đại lượng trong dòng điện xoay chiều là giá trị

bằng với giá trị của dòng điện không đổi. [2, 6]

Uhd = (V); Ihd = (A)



(1.24)



Tần số góc của dòng điện xoay chiều:

ω = = 2πf (rad/s)



(1.25)



Chu kỳ của dòng điện xoay chiều:

T =



(1.26)



= (s)



14



Tần số của dòng điện xoay chiều:

f =



=



(Hz)



(1.27)

- Mạch điện chỉ có điện trở thuần R.

cùng pha với i, φ = φu – φi = 0 : I = và =

Lưu ý: Điện trở R cho dòng điện khơng đổi đi qua và có I

=

- Mạch điện chỉ có cuộn thuần cảm L:

nhanh pha hơn i là , φ = φu – φi =

I = và =

với ZL = ωL ( Ω ) là cảm kháng

Lưu ý: Cuộn thuần cảm L cho dòng điện khơng đổi đi

qua hồn tồn (khơng cản trở).[10,11]

- Mạch điện chỉ có tụ điện C:

chậm pha hơn i là , φ = φu – φi =

I = và =

với = ( Ω ) là dung kháng.

Lưu ý: Tụ điện C khơng cho dòng điện khơng đổi đi qua

(cản trở hoàn toàn).[10,11]

- Mạch điện RLC mắc nối tiếp.

Tổng trở của mạch.







• L R



C

Z=



R2 + (ZL − ZC )2



( Ω)



(1.28)



Với: R : điện trở thuần.

ZL = ωL ( Ω ) : Cảm khángHình 1.4. Sơ đồ mạch điện

ZC =



1

ωC ( Ω ) : Dung kháng.



Độ lệch pha của dòng điện và hiệu điện thế:

tan ϕ =



Z L − ZC

;

R



sin ϕ =



Z L − ZC

;

Z

ω>



1

LC



cosϕ =



R

Z



+ Khi ZL > ZC hay

⇒ ϕ > 0 thì u nhanh pha hơn i.



với







π

π

≤ϕ ≤

2

2



15



L



< ZC hay



ω<



1

LC



+ Khi Z

⇒ ϕ < 0 thì u chậm pha hơn i.

ω=



1

LC



+ Khi ZL = ZC hay

⇒ ϕ = 0 thì u cùng pha với i.

Định luật Ơm :



I0 =



U0

;

Z



I=



U

Z



1.4. Phương pháp dùng số phức để giải bài toán mạch

điện xoay chiều

Giả sử dòng điện xoay chiều có dạng: i = cos(ωt + ) thì

điện áp xoay chiều có dạng tổng quát là: u = cos(ωt + ).

Một dao động mơ tả bằng hàm điều hòa có thể biểu diễn

bằng dạng số phức như sau:

u = cos(ωt +) + i.sin(ωt +) = = a + bi.



(1.29)



Khi đó, phần thực a = cos(ωt +), phần ảo: b = sin(ωt +).

Tương tự, ta có bảng dạng thực và dạng phức của các đại

lượng trong dòng điện xoay chiều như Bảng 1.1.



16



Bảng 1.1. Dạng thực và dạng phức của các đại lượng trong

dòng điện xoay chiều.

Dạng thực

Cảm

kháng

Dung

kháng

Tổng trở

Cường độ

dòng

điện

Điện áp

Định luật

Ơm



Mạch

khác



Dạng phức

i

-i

= R + i(



Z=

i = cos(ωt + )



i=.=

u=.

=

i = u = i.



u = cos(ωt + )

I=

I = nhưng i

U = I.Z nhưng iZ

= I.Z nhưng i

U = I.Z = .Z nhưng u

I. =

nhưng u



i

i

i.



.Z



u



.



Đại lượng dao động điều hồ bất kì có dạng = Acos() có

thể biểu diễn bằng một số phức kí hiệu .

= Acos( = a + bi

Trong mạch RLC mắc nối tiếp, tổng trở trong mạch là:

Z = được biểu diễn dưới dạng số phức:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×