Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
III. Mô tả bản chất của sáng kiến

III. Mô tả bản chất của sáng kiến

Tải bản đầy đủ - 0trang

a

b

a'



O



b'



Chú ý:

+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc

một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với

hai đường thẳng còn lại

+Nếu a song song với b hoặc a trùng với b thì góc giữa a và b bằng 00

+Nếu a⟘b thì góc giữa a và b bằng 900

+ Gọi là góc giữa a và b thi 00900

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng

góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 900

Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (P) thì góc d

và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng (P) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt

phẳng (P)

d

A



P



d'



O



H



Chú ý:

3



+ Nếu d nằm trong mặt phẳng (P) hoặc d//(P) thì góc giữa d và mặt phẳng

(P) bằng 00

+ Nếu d ⟘(P) thì góc giũa d và mặt phẳng (P) bằng 900

+ Gọi là góc giữa d và (P) ta có 00900

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳnglà góc giữa hai đường thẳng lần lượt

vng góc với hai mặt phẳng đó.

* Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)

+ Nếu (P) //(Q) hoặc (P) trùng với (Q) thì = 00

+ Giả sử (P) cắt (Q) theo giao tuyến d

- Từ điểm I bất kỳ trên d dựng (R) ⟘d

- Gọi a = (P)(R), b = (P)(R)

- =



a



b



R

P



Q



* Chú ý:

+ Nếu (P) ⟘(Q) thì = 900

+ Gọi là góc giữa (P) và (Q) ta có 00900

Vấn đề 2. Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên

đường thẳng a, ta có MH = d(M,a).

M



a



H



4



2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên

mặt phẳng (P), ta có MH = d(M,(P))

M



H



P



3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). M là một điểm bất kỳ trên đường

thẳng a, ta có d(a,(P) = d(M,(P).



M



a



H



P



4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). M là một điểm bất kỳ trên mặt

phẳng (P), ta có d((P),(Q)) = d(M,(Q))



M



P



H

Q



5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, để tìm khoảng cách giữa hai

đường thẳng a và b ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau

a) Nếu MN là đoạn vng góc chung của đường thẳng a và đường thẳng

b thì d(a,b) = MN

5



M

a

N

b



b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và (P) song song với a, ta có

d(a,b) = d(a,(P))

M



a



H

b

Q



c) Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng a,b và

song song với nhau, ta có d(a,b) = d((P),(Q))



M



a



P



H

Q



b



Ta nhận thấy để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng

cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hầu như đều

quy về việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Để tính khoảng

cách từ một điểm M tới mặt phẳng (P) ta có thể sử dụng một trong các phương

pháp sau

+ Nếu M thì d(M,(P)) =0

+ Nếu Mkhơng nằm trên mặt phẳng (P) thì ta có thể

Phương pháp 1:

+Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và (Q) ⟘(P)

+ Tìm giao tuyến của (P) và (Q)

6



+ Dựng MH ⟘

+ MH = d(M,(P))



M

a

Q



P



H



Phương pháp 2: Nếu MN//(P) thì d(M,(P) = d(N,(P)



M



N



K



H



P



Phương pháp 3: Nếu M,N,O thẳng hàng thì =

( Nếu biết và d(N,(P) ta dễ dàng tính được d(M,(P))



N

M

M

K

P



O



H



K



O

H



P



N



P

hương pháp 4: Phương pháp thể tích

Để tích khoảng cách bằng phương pháp này ta thường dựa vào công thức

sau: h=

Ở đây V,h,S lần lượt là thể tích,chiều cao và diện tích đáy của một hình

chóp nào đó( hoặc h= đối với hình lăng trụ)

Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp sau: Giả sử ta có thể

quy bài tốn này về tìm chiều cao của hình chóp (hay hình lăng trụ) nào đó. Dĩ

7



nhiên các chiều cao này thường khơng xác định được, hoặc khơng tính trực tiếp

được.....Tuy nhiên các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện

tích đáy. Như vậy chiều cao của nó sẽ được xác định dễ dàng bởi công thức trên

Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng hệ trục tọa độ trong không gian

Để sử dụng phương pháp này ta cần nhớ một số kiến thức cơ bản sau

a.Cho các véc tơ , ,

⟘ <=> . = 0

và cùng phương <=> [, ] =

, , đồng phẳng <=> [, ] = 0

b. Diện tích tam giác ABC là: SABC =

c. Thể tích khối tứ diện ABCD là: VABCD =

c. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: VABCD.A’B’C’D’ =

d. Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có véc tơ chỉ phương là và ’. Gọi

là góc giữa d và d’, ta có cos = .

e. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có véc tơ pháp tuyến là và ’. Gọi

là góc giữa (P) và (Q), ta có cos = .

f. Cho mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là và và đường thẳng d có vtcp

là . Gọi là góc giữa (P) và d, ta có sin = .

g. Cho điểm M( và mặt phẳng (P): Ax+By +Cz + D = 0 ( A 2 +B2 +C2 0),

ta có

d(M, (P) =

h. Cho điểm M và đường thẳng d qua điểm N và có véc tơ chỉ phương là ,

ta có d(M,d) =

i. Cho hai đường thẳng chéo nhau và’. Biết đường thẳng qua điểm M và

có véc tơ chỉ phương là , đường thẳng ’ qua điểm M’ và có véc tơ chỉ phương là ,

ta có d(,’) =

* Bài tập

Dạng 1: Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy

Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a

.SA = a và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt

phẳng đáy một góc 600.

a) Tính góc hợp bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (SAB).

b) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, tính khoảng cách từ điểm O tới mặt

phẳng (SBC).

d) Gọi H là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng

(SBC).

e) Tính khoảng cách giữa hai đưởng thẳng BD và SC.

8



Giải:

Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp

S



H

K

M



A



D

O

B



C



Ta có (SBC)(ABCD) = BC

Vì ABCD là hình vng => BCAB

Vì SAmp(ABCD) => BC.

Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600

a)

Tính góc hợp bởi SC với mặt phẳng (SAB)

Vì BC⟘(SAB) =>SB là hình chiếu vng góc của SC trên mặt phẳng

(SAB) => = =

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a, SB = 2a.

Tam giác SBC vuông tại B => tan = = => = arctan hay = arctan

b)

Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

Ta có (SBD)(ABCD) = BD

Vì ABCD là hình vng => BDAC

Vì SAmp(ABCD) => BD.

Từ đó => BD⟘(SAC) => = = .

Tam giác SAO vng tại O => tan = = => = arctan hay = arctan

c)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, tính khoảng cách từ điểm

O tới mặt phẳng (SBC)

Vì A,O C thẳng hàng => = = => d(O,(SBC) = d(A,(SBC)

Vì BC(SBC) => (SAB) ⟘(SBC). Dựng AK ⟘SB => AK⟘(SBC)

=> AK = d(A,(SBC).

Tam giác AKB vuông tại K => AK = AB.sin600 = .

Vậy d(O,(SBC) =

d)

Gọi H là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ H tới mặt

phẳng (SBC)

Vì OH//SB => OH //(SBC) => d(H,(SBC) = d(O,(SBC) = .

e)Tính khoảng cách giữa BD và SC

9



Vì ABCD là hình vng => BDAC

Vì SAmp(ABCD) => BD.

Từ đó => BD⟘(SAC) . Dựng OM ⟘SC. Vì BD⟘(SAC) => OM⟘DB. Vậy OM

là đoạn vng góc chung của BD và SC hay OM = d(BD,SC)

Tam giác SAC vuông tại A => SC =

=> = => OM = SA. =

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ

(Mục tiêu của phương pháp là giúp các em làm quen với phương pháp tọa

độ, phương pháp này thường kết hợp với phương pháp tổng hợp dùng để tính

góc, khoảng cách)

z

S



H



M



A



D



y



O

B



C



x



Ta có (SBC)(ABCD) = BC

Vì ABCD là hình vng => BCAB

Vì SAmp(ABCD) => BC.

Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( a;0;0),

D(0;a;0). Khi đó C(a;a;0)

a) Mặt phẳng (SAB) có vtpt là = ( 0;a;0). Đường thẳng SC có vtcp là

= ( a;a; a)

Gọi là góc giữa (SAB) và SC, ta có sin = = .

Vậy = arcsin.

b) Mặt phẳng( ABCD) có vtpt là = ( 0;0; a). Mặt phẳng (SBD) có VTPT

là = (

Gọi là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD), ta có cos = = .

Vậy = arccos

c) O( ;, mp(SBC) có phương trình +z - a = 0

d(O, (SBC) = =

10



d) Vì H là trung điểm của SD => H(0; ;), mp(SBC) có phương trình +z a=0

d(O, (SBC) = =

e) = ( a;a; -a),= ( -a;a; 0), = ( a;0; -a)

[= (a2 a2;2a2)

d(BD) = =

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật .SA = a

và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng đáy

một góc 600. Cạnh bên SD hợp với đáy một góc 300.

a) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn SB sao cho SM = 2MB, tính khoảng cách

từ điểm M tới mặt phẳng (SDC).

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Giải:

Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp tổng hợp

S



M

H



K

A



B

E

C



D

F

d



* Ta có (SBC)(ABCD) = BC

Vì ABCD là hình chữ nhật => BCAB

Vì SAmp(ABCD) => BC.

Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600

* Vì SAmp(ABCD) =>AD là hình chiếu vng góc của SD trên

mp(ABCD)

=> = = = 300

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a.

Tam giác SAD vuông tại A => AD= SA. cot300 = 3a.

a) Tính góc hợp bởi mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

Ta có (SBD)(ABCD) = BD

Dựng AEBD

Vì SAmp(ABCD) => BD.

Từ đó => BD⟘(SAE) => = =

11



Tam giác ABD vuông tại A => <=> =

Vậy AE = . Tam giác SAE vuông tại A => tan = =

Do đó arctan

b) Gọi M là điểm nằm trên đoạn SB sao cho SM = 2MB, tính khoảng cách

từ điểm M tới mặt phẳng (SDC)

Vì B,M S thẳng hàng => = = => d(M,(SDC) = d(B,(SDC)

Vì AB//DC => AB //(SDC) => d(B,(SDC)= d(A,(SDC)

Vì ABCD là hình chữ nhật => DC⟘AD

Vì SA⟘(ABCD) => SA⟘DC

Từ đó => DC(SAD) => (SAD) ⟘(SDC). Dựng AH ⟘SD => AH⟘(SDC)

=> AH = d(A,(SDC)).

Tam giác AHD vuông tại H => AH = AD.sin300 = .

Vậy d(M,(SDC) =

c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD

Vì ABCD là hình chữ nhật => AB⟘AD

Vì SA⟘(ABCD) => SA⟘AB

Từ đó => AB(SAD). Dựng AH⟘SD. Vì AB(SAD) => AB AH. Vậy AH là

đoạn vng góc chung của SD và AB. Do đó AH = d(AB,SD) =

d. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.

Dựng đường thẳng d qua C và d// BD => BD //(SC,d) => d(BD,SC) =

d(BD,(SC,d).Dựng AF⟘d . Vì d//BD => A,E,F thẳng hàng và EF = AF=>

d(BD,SC) = d(BD,(SC,d))= d(E,(SC,d) = d(A,(SC,d))

Ta có AF⟘d

Vì SAmp(ABCD) => BD.

Từ đó => d⟘(SAF). => (d,SC) ⟘(SAF) Dựng AK ⟘SF => AK⟘(SC,d) => AK

= d(A, (SC,d))

Tam giác SAF vuông tại A có AF = 2AE =

=> <=> = => AK = .

Vậy d(BD,SC) =

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp tọa độ



12



z



S



M

H



K

A



B



y



E

C



D

x



F



d



* Ta có (SBC)(ABCD) = BC

Vì ABCD là hình chữ nhật => BCAB

Vì SAmp(ABCD) => BC.

Từ đó => BC⟘(SAB) => = = = 600

* Vì SAmp(ABCD) =>AD là hình chiếu vng góc của SD trên

mp(ABCD)

=> = = = 300

Tam giác SAB vuông tại A => AB = SA. cot600 = a.

Tam giác SAD vuông tại A => AD= SA. cot300 = 3a.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0), S(0;0;a), B( 0;a;0),

D(3a,;0;0). Khi đó C(3a;a;0). M(0;

a) Mặt phẳng( ABCD) có vtpt là = ( 0;0; a). Mặt phẳng (SBD) có VTPT

là = (

Gọi là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD), ta có cos = = .

Vậy = arccos

b) M(0;mp(SDC) có phương trình +z - a = 0

d(O, (SBC) = =

c) = (3a;0; -a),= ( 0;a; 0), = ( 0;0; a)

[= (-a2 0;-3a2)

d(BD) = =

= (3a; a; -a),= ( 3a;-a; 0), = ( 3a;0; -a)

[= (a2 3a2;6a2)

d(BD) = =



13



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

III. Mô tả bản chất của sáng kiến

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×