Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Công thức và tính chất của tích phân

Công thức và tính chất của tích phân

Tải bản đầy đủ - 0trang

I.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:

1



1



1

B = ∫ ( x 3 + x 2 − 3)dx

2

0



A = ∫ (2 x + e )dx

x



0



Giải:



Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:

e2



a) I =



ln x

dx

x





e



Ta suy ra: 2tdt =



Đổi cận : khi x = e => t = 1;



khi x = e2 => t = 2



2



2 2

I = ∫ 2.t 2 dt = t 3

3 1

1

π



1

dx

x



Giải: Đặt t = ln x => t2=lnx,



2



b) I = ∫ sin 3 x. cos x.dx



=



2 3 

 2 −1



3



Giải: Đặt t = sinx



=> dt = cosxdx



0



Đổi cận: khi x = 0 => t =0; khi x =



π

=> t= 1

2



1



1



t4

1

I

=

t

.

dt

=

=

=>

∫0

40 4

3



Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:

1



2

a) I = ∫ 1 −x .dx

1



2



 π π

;

 6 2





Giải: Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t ∈ −

π



Khi đó:



I =



2



∫π







π



1 − sin 2 t .cos t.dt =



∫π cos t .cos t.dt







6



π



2



π



6



π



1 + cos 2t

t sin 2t 2

π

3.

= ∫ cos t.dt = ∫

.dt = ( +

) / = +

π

2

2

4

3

8

π

π







2



6



2



2



6



6



1



dx

b) I =∫

1 +x 2

0

Trang 36



Giải: Đặt x = tant ta có dx =



1

 π

.dt = (1 + tan 2 t ) dt với t ∈ 0; 

2

cos t

 4



π



π



4

dx

1 + tan t

π

Khi đó: I =

=

.

dt

=

∫0 1 + x 2 ∫0 1 + tan 2 t

∫0 dt = 4

1



2



4



Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:

a) I=



π



e







b)



x ln xdx



1



2







c)



x cos xdx



1



∫ xe dx

x



0



0



Giải:

dx



du =



u = ln x



x =>

⇒

a) Đặt 

2

v = x

dv = xdx





2



e







π



π 2

π

π

π

x cos xdx = ( x sin x ) 2 − sin xdx = + cos x 2 = − 1

2

2

0

0 0

0











1



u = x

 du = dx =>



c) Đặt 



x

x

 dv = e dx v = e



(







π

2



u = x

du = dx =>

⇒

b) Đặt 

dv = cos xdx

v = sin x



I.3. Bài tập trắc nghiệm



e



e 1

x2

e2 x 2 e e2 + 1

x ln xdx = ln x − xdx = −

=

1

1

2

2

2

4

4

1

1



1



1

1

xe dx = xe − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1

0 0

0

0







x







x



)



3

Câu 1. Nguyên hàm của 2 x 1 + 3 x là:



(



)



2

3

A. x x + x + C



Câu 2.



∫ x ( 1− x )



2 10



2 11



22



A.



6 x3 

2

x

1

+

D. 

÷+ C

5







C. 3ln 2 x + 5 + C



D)



1− x )

C. − (



1− x )

D. − (



(



)



3



1− x )

A. − (



Câu 4.



)



3

C. 2x x + x + C



∫ 2 x + 5 dx bằng:



A. 2 ln 2 x + 5 + C

Câu 3.



(



2

2

B. x 1 + 3 x + C



∫ sin



5



3

ln 2 x + 5 + C

2



+C



3

ln 2 x − 5 + C

2



dx bằng:

1− x )

B. (



2 11



22



2 22



+C



11



2 11



+C



11



x.cosxdx bằng:



sin 6 x

+C

6

4



B.



B. −



sin 6 x

+C

6



C. −



cos6 x

+C

6



D.



cos6 x

+C

6



D.



208

17



2



1



Câu 5. ∫  x + ÷ dx bằng:

x

2



A.



275

12



B.



305

16



C.



196

15



Trang 37



+C



HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính, kết quả tích phân sau:

5



Câu 6.



∫ ( 3x − 4 )



4



, chọn đáp án A



dx bằng:



2



A.



89720

27



B.



18927

20



C.



960025

18



D.



161019

15



1



Câu 7.



∫ x ( x + 1) dx

3



bằng:



0



A.



8

3



9

20



B.



π

4



Câu 8. Nếu đặt t = 3 tan x + 1 thì tích phân I =



0



1



2



1

2

A. I = ∫ 2t dt

30



11

15



C.



C. I =



B. e − 1



C. 1



20

27



6 tan x

dx trở thành:

cos x 3 tan x + 1

2



3



4

B. I = ∫ ( t 2 − 1) dt

31



D.





1



2 2

( t − 1) dt D. I =

3



3



4



∫ 3 t dt

2



0



1



Câu 9.



∫ xe dx

x



bằng:



0



A. e



D.



1

e −1

2



π

4



Câu 10. xcos2 xdx bằng:



0



A.



π −2

8



B.



π −1

4



C. 3 −



π

2



D. 2 −



π

2



HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

+ Chuyển sang đơn vị radian: shift -> mode -> 4.

+ Nhập vào máy tính



kết quả tích phân sau:



, chọn đáp án A



II. Ứng dụng tích phân

II.1. Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục

hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

b



S = ∫ f ( x ) dx

a



Chú ý: Nếu phương trình f ( x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 ; x2 ;...; xk trên ( a; b ) thì trên mỗi

khoảng ( a; x1 ) , ( x1; x2 ) ,..., ( xk ; b ) biểu thức f ( x) khơng đổi dấu.

b



b



x1



x2



b



a



a



a



x1



xk



Khi đó S = ∫ f ( x) dx được tính như sau: S = ∫ f ( x ) dx =



∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ... + ∫ f ( x)dx



Trang 38



Ví dụ 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

hai đường thẳng x = −1; x = 0

Giải: ∀x ∈ [−1;0] ta có



−x − 2

,trục hồnh, và

x −1



−x−2

= 0 => − x − 2 = 0 ⇔ x = −2 ∉ [−1;0]

x −1

0



Gọi S là diện tích cần tìm : S = ∫



−1



−x − 2

dx =

x −1



= ( − x − 3ln x − 1 )



0



 −x − 2 

∫−1  x − 1 ÷ dx =

0

−1



0







3 



∫  −1 − x − 1 ÷dx



−1



= 3ln 2 − 1 (đvdt)



Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành, và hai

đường thẳng x = −1; x =



3

2



Giải: Ta có :

 3

x 3 = 0 ⇔ x = 0 ∈  −1; 

 2

0



=> S = ∫



−1



3

2



3

2



0



 x4 

x4

x 3 dx + ∫ x 3 = ∫ x 3dx = ∫ x 3dx =  ÷ +

4

 4  −1

0

−1

0

0



3

2

0



 1  81 97

= − ÷ +

=

 4  64 64



(đvdt)



Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 , trục

hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Giải:

 x =1

x 3 − 3 x 2 + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ 

x = 1 ± 3



(



Vậy



2



S = ∫ x3 − 3x 2 + 2 dx =

0



)



1



∫(



)



2



x3 − 3x 2 + 2 dx +



0



∫( x



3



)



− 3x 2 + 2 dx



1



Đs: S=5/2



II.2. Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f ( x) và y = g ( x) và hai

b



S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx



đường thẳng x = a; x = b (a < b) :



a



Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 − 3x + 2 và y = x − 1

Giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x = 1

x 2 − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 

x = 3

3



3



1



1



Gọi S là diện tích cần tìm: S = x 2 − 3x + 2 − x − 1 dx = x 2 − 4 x + 3 dx

) ( ) ∫

∫(

Trang 39



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Công thức và tính chất của tích phân

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×