Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Tải bản đầy đủ - 0trang

• Nếu y ' = ax 3 + bx = 0 có nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng nghiệm ( xi ;+∞)

và đổi dấu liên tục xét từ phải sang trái của bảng xét dấu.

3. Đồ thị hàm số của một số hàm số

a. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)



b. Các dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)



c. Các dạng đồ thị hàm số : y =



ax + b

(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)

cx + d



Trang 16



4. Đồ thị hàm số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) .Đồ thị (C′ ) của hàm số y = f (x) có thể được suy

từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.

+ Đồ thị (C′ ) là hợp của hai phần trên.



Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) .

Đồ thị (C′ ) của hàm số y = f ( x ) có thể

được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.

+ Đồ thị (C′ ) là hợp của hai phần trên.



Trang 17



V.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2

* TXĐ D=R

* Sự biến thiên

+ y ' = 3x 2 − 6 x



* Đồ thị:

Bảng giá trị:

x -1

3

x = 0

x = 2



2

Cho y ' = 0 ⇔ 3x − 6 x = 0 ⇒ 



y -2



2



+ Hs tăng (−∞ ;0) và (2;+∞) . Hs giảm (0;2) .

+ Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

y = −∞ ; lim y = +∞

+ xlim

→−∞

x →+∞



+ BBT



Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau : y = x 4 − 2 x 2

*TXĐ: D=R

*Sự biến thiên :

+ Ta có : y’=4x3-4x=4x(x2-1) ;y’=0 ⇔ x = 0; x = ±1

+ Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

+ Cực trị:



Hàm số có hai cực tiểu tại x= ±1 ;yCT =y( ±1 ) = –1

Hàm số có một cực đại tại x=0; yCĐ =y(0) = 0



y = +∞ ; lim y = +∞

+ Giới hạn: lim

x →−∞

x →+∞



+ Bảng biến thiên:



Trang 18



(



*Đồ thị : Đồ thị đi qua gốc toạ độ và cắt trục Ox tại ± 2;0



Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =



)



x −1

đồ thị (C).

x +1



* TX Đ : D = R\{-1}

* Sự biến thiên :

+ y/ =



2

> 0, ∀ x ∈ D

( x + 1) 2



+ Hàm số đồng biến trên các khoảng : ( − ∞;−1) ; (−1;+∞)

+ Hàm số khơng có cực trị

+ Giới hạn và tiệm cận :



Lim y = 1 , Lim y = 1 . Tiệm cận ngang y = 1.

x → −∞



x → +∞



Lim y = −∞ , Lim− y = +∞ . Tiệm cận đứng x = -1.

x → −1



x → −1+



+Bảng biến thiên :



*Đồ thị: Giao với Oy tại A(0;-1), giao với Ox tại B(1;0)

y



1

-1



1



O



x

-1



V.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x 2 − 1



B. y = − x 3 + 3x 2 − 1



C. y = x 3 + 3 x 2 − 1



D. y = − x 3 − 3 x 2 − 1



Câu 2. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x



B. y = − x 3 + 3 x 2 − 3 x

Trang 19



C. y = x 3 + 3 x 2 − 3 x



D. y = − x 3 − 3 x 2 − 3x



Câu 3. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

1

4



A. y = x 4 − 3 x 2 − 3



B. y = − x 4 + 3x 2 − 3



C. y = x 4 − 2 x 2 − 3



D. y = x 4 + 2 x 2 − 3



Câu 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 4 − 3 x 2 + 1



B. y = − x 4 + 3 x 2 + 1



C. y = x 4 + 3 x 2 + 1



D. y = − x 4 − 3x 2 + 1



Câu 5. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

2x + 1

x +1

2x + 1

C. y =

x −1



A. y =



x −1

2x + 1

x+2

D. y =

1+ x



B. y =



Câu 6. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

2x + 1

x−2

x +1

C. y =

x−2



A. y =



x −1

2x + 1

x+3

D. y =

2+ x



B. y =



Câu 7. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x − 1

B. y = − x 3 + 3 x 2 + 1

C. y = x 3 − 3 x + 1

D. y = − x 3 − 3x 2 − 1

Câu 8. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1

B. y = − x 3 + 3 x 2 + 1



2



1



C. y = x 3 − 3 x + 1



O



D. y = − x 3 − 3x 2 − 1



1



Câu 9. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên. Đồ thị bên là đồ thị của

hàm số nào sau đây:

A. y = − x 4 + 2 x 2 − 3

B. y = − x 4 + 2 x 2

C. y = x 4 − 2 x 2

D. y = x 4 − 2 x 2 − 3

Câu 10. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x − 4



-1



O



1



2



3



B. y = − x 3 + 3 x 2 − 4

-2



Trang 20

-4



C. y = x 3 − 3 x − 4

D. y = − x 3 − 3 x 2 − 4

VI. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

VI.1. Lý thuyết

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình:

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )

( với y0 = f ( x0 ) , hệ số góc k = f ' ( x0 ) = y’(x0))

VI.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại

điểm A (-1; 7).

Giải:

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )

+ Ta có x0 = -1 ; y0 = 7

2

+ Ta có y ' = 3 x − 3 ⇒ y '(−1) = 0 .



Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y − 7 = 0 hay y = 7.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

số góc của tiếp tuyến k = -3.

Giải:

+ Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0

+ Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x

+ Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:

3 x02 − 6 x0 = −3 ⇔ x02 − 2 x0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 1

+ Vì x0 = 1 ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2) .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3 x + 1

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 (C). Biết tiếp

tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.

Giải:

+ Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0

+ Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x

+Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 6

⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 ⇒

 x0 = −1 ⇒ M (−1; −3)

3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔ 

 x0 = 3 ⇒ M (3;1)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − 3 ⇔ y = 9 x + 6 (loại)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y = 9( x − 3) + 1 ⇔ y = 9 x − 26

Trang 21



Ví dụ 4. Cho hàm số y = x3 − 3x + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp

−1

x.

tuyến đó vng góc với đường thẳng y =

9

Giải:

+ Tiếp tuyến vng góc với y =



−1

x nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.

9



+ Ta có y ' = 3 x 2 − 3 . Do đó y ' = k ⇔ 3 x 2 − 3 = 9 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2.

Với x = 2 ⇒ y = 4 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 2 là:

y = 9( x − 2) + 4 ⇔ y = 9 x − 14.

Với x = −2 ⇒ y = 0 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = - 2 là:

y = 9( x + 2) + 0 ⇔ y = 9 x + 18 .

VI.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x0= -1 bằng.

A. – 2



B. 2



C. 0



D. Đáp số khác



Câu 2. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

số với trục tung bằng:

A. – 2



B. 2



x −1

tại giao điểm của đồ thị hàm

x +1



C. 1



Câu 3. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

trình:

A. y = -9x - 43



x4 x2

+ − 1 tại điểm có hoành độ

4

2



B. y = -9x + 43



D. – 1



x3

+ 3 x 2 − 2 có hệ số góc k = – 9 có phương

3



C. y = -9x - 11



D. y = -9x - 27



Câu 4. Phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) : y = x − 3x + 2 tại điểm M thuộc (C)



là:

A.

B.

C.

D.

2



Câu 5. Cho hàm số y = x 2 − 4 x + 3 có đồ thị (P). Nếu tiếp tuyến tại điểm M của (P) có hệ

số góc bằng 8 thì hồnh độ tiếp điểm M là:

A. 12

B. 6

C. -1

D. 5

Câu 6. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số y =

tuyến với đồ thị trên tại M là:

3

4



A. y = x +



1

2



3

4



B. y = − x +



1

2



2x − 1

với trục Oy. Phương trình tiếp

x−2

3

4



C. y = − x −



1

2



3

4



D. y = x −



1

2



Câu 7. Số tiếp tuyến đi qua A(1; -6) của đồ thị hàm số

là:

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Câu 8. Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 2 khi m bằng:

A. 1 hoặc -1

B. 4 hoặc 0

C. 2 hoặc – 2

D. 3 hoặc – 3

Trang 22



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×