Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Tải bản đầy đủ - 0trang

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ ;0) và (2;+∞) ; nghịch biến trên (0;2) ;

Ví dụ 2. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau: y =

+ TX Đ : D = R\{-1},



Ta có : y’ =



x −1

x +1



2

> 0, ∀ x ∈ D

( x + 1) 2



Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng : ( − ∞;−1) ; (−1;+∞)

Ví dụ 3. Định m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m luôn đồng biến

+ TXĐ: D=R,



Ta có y ' = 3x 2 + 6 x + m

∆ ' ≤ 0

⇒ 9 − 3m ≤ 0 ⇒ m ≥ 3

a = 1 > 0



+ Hàm số luôn đồng biến ⇔ y ' ≥ 0 ⇔ 



Vậy: với m ≥ 3 thì hs ln đồng biến trên D.

Ví dụ 4. Định m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + (m − 1) x + 4m nghịch biến trên ( - 1; 1)

+ TXĐ:D=R,



Ta có: y ' = 3x 2 + 6 x + m − 1

af ( −1) < 0

af (1) < 0



+ Hàm số nghịch biến trong (- 1; 1) ⇔ y '≤ 0 và x1 < −1 < 1 < x 2 ⇔ 

3(3 − 6 + m − 1) < 0

m < 4

⇔

⇔

⇒ m < −8

3(3 + 6 + m − 1) < 0

 m < −8



Vậy: m < −8 thì hàm số nghịch biến trên (- 1; 1).

I.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số y = x4 – 2x2 +1 đồng biến trên khoảng nào?

A. (-1;0) B.(-1;0) và (1; + ∞ )

C. (1; + ∞ )

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Tính đạo hàm tại x = - 0.5 như sau:

đạo hàm tại x = 2 như sau:



D. ∀x ∈ R



d 4

( x − 2 x 2 + 1) | x =−0.5 kết quả = 3/2 >0. Và tính

dx



d 4

( x − 2 x 2 + 1) | x =2 kết quả = 24 >0 => Chọn đáp án B

dx

y=



2x + 1

x + 1 là đúng?



Câu 2. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R;

B. Hàm số luôn đồng biến trên R;

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞);

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Nhập biểu thức tính đạo hàm tại x = 0 như sau:

tính đạo hàm tại x = -2 như sau:

Câu 3. Hàm số y =



d  2x + 1 



 | x =0 kết quả = 1>0, và

dx  x + 1 



d  2x + 1 



 | x=−2 kết quả = 1>0 nên ta loại đáp án D.

dx  x + 1 



2x − 5

đồng biến trên :

x+3

Trang 5



B. ( −∞;3)



A. R



C. ( −3; +∞ )



D. R\{-3}



3

2

Câu 4. Hàm số y = − x + 6 x − 9 x có các khoảng nghịch biến là:



A. (−∞; +∞)



C. ( 1;3)



B. (−∞; −4) vµ (0; +∞)



D. (−∞;1) vµ (3; +∞)



Câu 5. Hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 đồng biến trên các khoảng:

A. ( −∞;1)



B. ( 0; 2 )



C. ( 2; +∞ )



D. R



Câu 6. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 − 3x − 1 là:

A. ( −∞; −1)



B. ( 1; +∞ )



Câu 7. Hàm số y =



C. ( −1;1)



D. ( 0;1) .



x+2

nghịch biến trên các khoảng:

x −1



A. ( −∞;1) va ( 1; +∞ )



B. ( 1; +∞ )



C. ( −1; +∞ )



D. R\{1}.



Câu 8. Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x3 − 6 x là:

A. ( −∞; −1) va ( 1; +∞ )



C. [ −1;1]



B. ( −1;1)



D. ( 0;1)



Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 + 1 là:

A. ( −∞;0 ) va ( 1; +∞ )



C. [ −1;1]



B. ( 0;1)



D. R.



Câu 10. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = − x3 + 3x 2 + 1 là:

A. ( −∞; 0 ) va ( 2; +∞ )



C. [ 0; 2]



B. ( 0; 2 )



D. R.



Câu 11. Các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3 là:

7







 7







A. ( −∞;1) va  ; +∞ ÷

3





C. [ −5; 7 ]



B. 1; ÷

3



D. ( 7;3) .



Câu 12. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3 x − 4 x 3 là:





1



1







A.  −∞; − ÷ va  ; +∞ ÷

2



2





 1 1







B.  − ; ÷

2 2









1



C.  −∞; − ÷

2





1







D.  ; +∞ ÷.

2





Câu 13. Hàm số y = − x + mx − m đồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:

3



A. [ 3;+∞ )

Câu 14. Hàm số y =



2



B. ( −∞; 3)



3 

2 



C.  ; 3÷









3

2



D.  −∞; ÷



m 3 (

1

x − m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên ( 2;+∞ ) thì m thuộc

3

3



tập nào:



2



−2− 6 

A. m ∈  ; +∞ ÷ B. m ∈  −∞;

÷

3





2 









2

3



C. m ∈  −∞; ÷



Trang 6



D. m ∈ ( −∞; −1)



II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

II.1. Lý thuyết

1.Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm cực trị:

a/ Quy tắc 1:

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)

B3: Tìm các điểm xi thoả mãn điều kiện: xi ∈ D và là nghiệm của y' = 0 hoặc làm cho

y' không xác định.

B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận.

b/ Quy tắc 2: (thường sử dụng cho những bài toán lượng giác)

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)

B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm xi (nếu có)

B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f''(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu :

+ Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0)

+ Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0)

2.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

 y ' ( A) = 0

 y ' ' ( A) < 0



- Hàm số nhận x = A làm cực đại ⇔ 



 y ' ( A) = 0

 y ' ' ( A) > 0



- Hàm số nhận x=A làm cực tiểu ⇔ 

II.2. Ví dụ minh họa



Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2

+ TXĐ D=R

+ y ' = 3x 2 − 6 x ,



x = 0

y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇒ 

x = 2



+ BBT



+ Hàm số đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số sau: y =



x −1

đồ thị (C).

x +1



+ TX Đ : D = R\{-1}

+ y’ =



2

> 0, ∀ x ∈ D

( x + 1) 2



+Bảng biến thiên:

Trang 7



+ Hàm số khơng có Cực đại và Cực tiểu.

Ví dụ 3. CMR hs y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − m 3 luôn có cực đại, cực tiểu:

TXĐ D=R;



y ' = 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1)



Cho y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) = 0

∆' = 9m 2 − 9m 2 + 9 > 0 ⇒ hs ln có cực đại, cực tiểu



Ví dụ 4. Tìm m để hs y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu

TXĐ D=R;



y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m



Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y '= 0 có 2 nghiệm phân biệt

m ≠ −2

 m ≠ −2

 m ≠ −2

 m ≠ −2

⇔

⇔

⇔





2

∆ ' > 0

9 − 3m( m + 2) > 0

− 3 < m < 1

− 3m − 6m + 9 > 0



 m ≠ −2

thì hàm số có cực đại, cực tiểu.

− 3 < m < 1



Vậy: 



II.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x là:

A. ( 1; 4 )



B. ( 3;0 )



C. ( 0;3)



D. ( 4;1) .



HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

 y ' ( A) = 0

 y ' ' ( A) < 0



* Cơ sở lý thuyết: Hàm số y nhận x = A làm cực đại ⇔ 



d 3

( x − 6 x 2 + 9 x ) | x=? tại x =1 và tại x = 3

dx

kết quả = 0; tại x = 0 và tại x = 4 có kết quả ≠ 0 nên ta loại đáp án C và D.



- Nhập biểu thức tính đạo hàm như sau:



- Nhập biểu thức tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên như sau:



d

(3 x 2 − 12 x + 9) | x =1

dx



tại x = 1 có kết quả = -6 < 0 nên ta chọn A

Câu 2. Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Tính y’ = -3x2 + 6x – 3. Giải y’= 0 bằng máy tính như sau: MODE -> 5 -> 3, nhập

hệ số a = -3, b = 6, c = -3 kết quả X=1 là nghiệm duy nhất .

- Vì y’ = 0 có một nghiệm, nên hàm số y cùng dấu với a, suy ra chọn A

Câu 3. Trong các khẳng định sau về hàm số

A. Hàm số có một điểm cực trị;



y=



2x − 4

x − 1 , hãy tìm khẳng định đúng?



Trang 8



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

I. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×