Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
PHẦN 6. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

PHẦN 6. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

Tải bản đầy đủ - 0trang

2α : góc ở đỉnh.

2. Hình nón và khối nón:

a.Hình nón: Cho mặt nón N với trục



∆ , đỉnh O và góc ở đỉnh là 2α .

Gọi ( P ) là mặt phẳng vng góc với ∆ tại I ( I ≠ O ) , cắt mặt phẳng theo thiết diện

là đường tròn (C ) ; ( P ' ) là mặt phẳng vng góc với ∆ tại O.



( )



( )



Khi đó phần của mặt nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng P và P ' cùng với đường

tròn (C ) được gọi là hình nón.

b. Khối nón: Là phần khơng gian giới hạn bởi hình nón, kể cả hình nón đó.

3. Diện tích hình nón và thể tích khối nón:

Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R.

* Diện tích xung quanh của hình nón



1

S xq = chu vi đá

y . đườ

ngsinh

2



hay



S xq = π Rl



hay



1

V = π R2h

3



* Thể tích khối nón



1

V = diệ

n tích đá

y . chiề

u cao

3



II. Mặt trụ tròn xoay

1. Định nghĩa: Cho đường thẳng ∆ . Một đường thẳng l song song với ∆ và cách ∆ một

khoảng khơng đổi R. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là mặt

trụ tròn xoay (hay đơn giản là mặt trụ).

∆ : trục của mặt trụ.

l : đường sinh của mặt trụ.

R : bán kính của mặt trụ.

2. Hình trụ và khối trụ:

a. Hình trụ: Cho mặt trụ có trục ∆ , đường sinh l và bán kính R.

Cắt mặt trụ bởi 2 mặt phẳng

hai đường tròn (C ) và (C’ ).



( P)







( P ')



cùng vng góc với



( )



∆ ta được thiết diện là



( )



Khi đó phần của mặt trụ giới hạn bởi hai mặt phẳng P và P ' cùng với hai đường

tròn (C ) và (C’ ) được gọi là hình trụ.

b. Khối trụ: Là phần không gian giới hạn bởi hình trụ, kể cả hình trụ đó.

3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ:

Cho hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy R.

* Diện tích xung quanh của hình trụ



S xq = chu vi đá

y . đườ

ng sinh



hay



S xq = 2π Rl



* Thể tích khối trụ



V = diệ

n tích đá

y . chiề

u cao



hay



Trang 52



V = π R2h



III. Mặt cầu

1. Định nghĩa: Cho điểm O cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M

trong không gian cách O một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R.

K/h:



S ( O; R )



2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:



S ( O; R ) và mặt phẳng ( P ) . Gọi H là hình chiếu vng góc của O lên ( P )

⇒ d = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( P ) . Khi đó:



Cho mặt cầu



d > R : mặt cầu và mặt phẳng khơng có điểm chung.

+ Nếu d = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.

Lúc đó: ( P ) tiếp diện của mặt cầu

+ Nếu



H : tiếp điểm.



d < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm H và bán

kính r = R 2 − OH 2



+ Nếu



3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:



S ( O; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của O lên ∆ . Khi đó:

+ OH > R : ∆ khơng cắt mặt cầu.

+ OH = R : ∆ tiếp xúc với mặt cầu.

+ OH < R : ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.



Cho mặt cầu



4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

Cho



S ( O; R ) . Khi đó:



* Diện tích mặt cầu:

* Thể tích khối cầu:



S = 4π R 2

4

V = π R3

3



IV. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung

quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD và A’B’C’D’.

π a2 2

Diện tích S là : A. π a 2

B. π a 2 2

C. π a 2 3

D.

2



Câu 2. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vng tại A, có SA vng góc với mặt

phẳng (ABC) và có SA= a, AB= b, AC= c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r

bằng:

A.



2( a + b + c )

3



B. 2 a 2 + b 2 + c 2



C.



1 2

a + b2 + c2

2



Câu 3. Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

A. 0

B. 1

C. 2



Trang 53



D. a 2 + b 2 + c 2

D. vơ số



Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm

của hình vng ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng A’B’C’D’. Diện tích

xung quanh của hình nón đó là:

A.



π a2 3

3



π a2 2

2



B.



C.



π a2 3

2



D.



π a2 6

2



Câu 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình

nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là :

A. π a 2



B. 2π a 2



C.



1 2

πa

2



D.



3 2

πa

4



Câu 6. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng

B. mọi hình chóp ln nội tiếp trong mặt cầu

C. có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau

D. ln có hai đường tròn có bán kính khác nhay cùng nằm trên một mặt nón

Câu 7. Cho hình trụ bán kính bằng r. Gọi O, O’ là tâm hai đáy với OO’=2r. Một mặt cầu (S)

tiếp xúc với 2 đáy của hình trụ tại O và O’. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A. diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ

B. diện tích mặt cầu bằng



2

diện tích tồn phần của hình trụ

3



3

thể tích khối trụ

4

2

D. thể tích khối cầu bằng thể tích khối trụ

3



C. thể tích khối cầu bằng



Câu 8. Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a,b,c. Khi đó bán kính

r của mặt cầu bằng:

A.



1 2

a + b2 + c2

2



B. a 2 + b 2 + c 2



C. 2( a 2 + b 2 + c 2 )



D.



a 2 + b2 + c 2

3



Câu 9. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương

cạnh a. Thể tích của khối trụ đó là:

A.



1 3



2



B.



1 3



4



C.



1 3



3



D. a 3π



Câu 10. Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn

lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là :

A.



1 2

πa 3

2



B.



1 2

πa 2

3



1

3



C. π a 2 3



D. π a 2 3



Câu 11. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp

B. bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

C. bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

D. bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

Câu 12. Gọi tên hình tròn xoay biết nó sinh ra bởi nửa đường tròn khi quay quanh trục

quay là đường kính của nửa đường tròn đó:

Trang 54



A.Hình tròn

B. Khối cầu

C. Mặt cầu

D. Mặt trụ

Câu 13. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là:

A.Hình tròn

B. Đường tròn

C. Hai điểm phân biệt D.Duy nhất 1 điểm

Câu 14. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a là:

A.



3π a 2

4



B.



π a3

3



C. 2π a 3



D.



3π a 2

2



Câu 15. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:

A.



8π a 3

3



B.



2π a 3

3



C. 2π a 3



D.



4 2a 3

3



Câu 16. Diện tích mặt cầu có đường kính 4a là:

A. 16π a

B. 16π a 2

C. 8π a 2

D. 64π a 2

Câu 17. Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện vng có tất cả các cạnh tại đỉnh góc

vng bằng a là:

4π a 3

B.

3



π 3a 3

A.

2



16π a 3

D.

3



π 3a 3

C.

3



Câu 18. Một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có kích a; a 2; a 3 có diện tích là:

A. 24π a 2

B. 16π a 2

C. 20π a 2

D. 6π a 2

Câu 19. Một mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Khi đó khối cầu tương ứng có thể

tích là:

A.



3π a 3

3



B.



4π a 3

3



C.



3π a 3

2



D.



16π a 3

3



Câu 20. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón có độ dài đường sinh và đường kính cùng

16π a 2

2π a 2

4π a 2

bằng a là: A.

B.

C. π a 2

D.

3



3



3



Trang 55



PHẦN 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Kiến thức liên quan

I.1. Một số phép toán vectơ

uuu

r

1. AB = ( xB − x A , y B − y A , z B − z A )

uuu

r

2

2

2

2. AB = AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )

r r

r

r

3. a ± b = ( a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 )

r

4. k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 )

r

5. a = a12 + a22 + a32

6.

7.

8.

9.



 a1 = b1

r r



a = b ⇔ a2 = b2

a = b

3

 3

rr

a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

r

r

r

r

a

a

a

a cp b ⇔ a = k .b ⇔ 1 = 2 = 3

b1 b2 b3

r r

rr

a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0



r r a

10. [a, b] =  2

 b2



a3 a3

,

b3 b3



11. M là trung điểm AB:



a1 a1

,

b1 b1



a2 

÷

b2 



Và suy ra : [a, b] ⊥ b , [a, b] ⊥ a



 x + xB y A + y B z A + z B 

M A

,

,

÷

2

2 

 2



x +x +x y +y +y z +z +z 

12. G là trọng tâm tam giác ABC: G  A B C , A B C , A B C , ÷

3

3

3





I.2. Phương trình mặt phẳng



1. Phương trình mp(α) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0



(α) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt n = (A; B; C)

2. Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là :



x y z

+ + =1

a b c



3. Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (α) : Ax + By + Cz + D = 0

d(M,α ) =



Ax o + Byo + Cz o + D

A 2 + B2 + C 2



I.3. Phương trình đường thẳng

r

1. Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3)

x = xo + a1t



d: y = yo + a2t ( t∈ ¡ )

z = z + a t

o

3



Trang 56



2. Phương trình chính tắc của d :



d:



x − xo

a



=



y − yo



1



a2



=



z- z0

a3



I.4. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r

Phương trình : (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = r 2

2



2



2



+ (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz+ d = 0



i a2 + b2 + c2 − d > 0 )

( vớ



+ Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và r = a2 + b2 + c2 − d > 0 (đ/k để (S) là pt mặt cầu)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z +1 =0.

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng (P)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P)

c) Xác định tọa độ hình chiếu vng góc của A trên mặt phẳng (P)

d) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;1) và tiếp xúc với (P)

Giải:

a) Gọi đường thẳng d đi qua A và vng góc với mặt phẳng (P)

Vì d ⊥ (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương

⇒ u = n = ( 2;2;−1)

 x = 3 + 2.t



Phương trình đường thẳng d :  y = 1 + 2.t

 z = −t





b) Khoảng cách d ( A, ( P)) =



| 2.3 + 2.1 − 0 + 1 |

2 2 + 22 + (−1) 2



=3



c) Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A lên mặt phẳng (P)

x = 3 + 2t





y = 1 + 2t



Vì H = d ∩ ( P) ⇔ 

=> t = −1 ⇒ H (1;−1;1)

z = −t



2 x + 2 y − z + 1 = 0



d) Vì (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính R của (S) bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)

Ta có R = d ( I , ( P)) =



2

4

2

2

2

, Phương trình mặt cầu (S) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 1) =

3

9



Ví dụ 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–2;2;3) và mặt phẳng

(P): x – 3y + 2z – 4 = 0.

a) Viết phương trình đường thẳng AB và tìm giao điểm của AB với mặt phẳng (P)

b) Gọi I là trung điểm AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P). Viết phương

trình mặt phẳng trung trực đoạn AB.

c) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A, B và vng góc với mặt phẳng (P).

Giải:

a) + Phương trình đường thẳng AB có vectơ chỉ phương u = AB = (−4;−2;2)

Trang 57



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

PHẦN 6. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×