Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
PHẦN 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

PHẦN 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

3.



α

∫ x dx =



xα + 1

+C

α +1



ax

+C

6. ∫ a dx =

ln a



x

x

5. ∫ e dx = e + C



x



7.



∫ cos x.dx = sin x + C



9.



∫ cos



1

2



x



dx

∫ x = ln x + C



4.



8.



dx = ∫ (1 + tg 2 x).dx = tgx + C



∫ sin x.dx = − cos x + C



10. ∫



1

dx = ∫ (1 + cot 2 x).dx = − cot x + C

2

sin x



2. Công thức và tính chất của tích phân

b



a. Cơng thức tính tích phân :



∫ f ( x).dx = F ( x)



b

a



= F (b) − F ( a )



a



Tính chất :

b



b



a



a



a. ∫ f ( x).dx = − ∫ f ( x).dx

b



b



a



a



b



b



b



a



a



a



b. ∫ ( f1 ( x) ± ... ± f n ( x)).dx = ∫ f 1( x).dx ± ... ± ∫ f n ( x).dx



c. ∫ k . f ( x).dx = k .∫ f ( x).dx



d.



b





a



c



b



a



c



f ( x).dx = ∫ f ( x).dx + ∫ f ( x).dx (với a < c < b)



b. Tích phân đổi biến số

b



Phương pháp tích phân đổi biến số dạng 1 có dạng



∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx :

a



+ Chọn biến t = u(x) ⇒ t’.dt = u’(x).dx ( lấy vi phân 2 vế)

+ Đổi cận: Khi x = a ⇒ t = u(a),

khi x = b ⇒ t= u(b)

+ Chuyển về tích phân theo biến mới

u (b)



b



Khi đó :



∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx

a



=



∫ f (t )dt



u (a)



Phương pháp đổi biến số dạng 2

Bước 1: Chọn x = u(t) thích hợp với bài toán

Bước 2: Lấy vi phân dx = u’(t)dt

Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt, sau đó tính các cận:

u ( a) = α ;u ( b) = β

b



Bước 4: Khi đó tính tích phân:



β



∫ f ( x).dx = α∫ f (u(t )).u '(t ).dt

a



c. Tích phân từng phần

Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ a; b ] thì:

b





a



b



b

udv = uv − vdu ( du = u’dx , dv = v’dx )

a a







* Cách đặt u trong phương pháp tích phân từng phần: Nhất lốc, nhì đa, tam lượng,

tứ mũ.

Trang 35



I.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:

1



1



1

B = ∫ ( x 3 + x 2 − 3)dx

2

0



A = ∫ (2 x + e )dx

x



0



Giải:



Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:

e2



a) I =



ln x

dx

x





e



Ta suy ra: 2tdt =



Đổi cận : khi x = e => t = 1;



khi x = e2 => t = 2



2



2 2

I = ∫ 2.t 2 dt = t 3

3 1

1

π



1

dx

x



Giải: Đặt t = ln x => t2=lnx,



2



b) I = ∫ sin 3 x. cos x.dx



=



2 3 

 2 −1



3



Giải: Đặt t = sinx



=> dt = cosxdx



0



Đổi cận: khi x = 0 => t =0; khi x =



π

=> t= 1

2



1



1



t4

1

I

=

t

.

dt

=

=

=>

∫0

40 4

3



Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:

1



2

a) I = ∫ 1 −x .dx

1



2



 π π

;

 6 2





Giải: Đặt x = sint, ta có dx = costdt với t ∈ −

π



Khi đó:



I =



2



∫π







π



1 − sin 2 t .cos t.dt =



∫π cos t .cos t.dt







6



π



2



π



6



π



1 + cos 2t

t sin 2t 2

π

3.

= ∫ cos t.dt = ∫

.dt = ( +

) / = +

π

2

2

4

3

8

π

π







2



6



2



2



6



6



1



dx

b) I =∫

1 +x 2

0

Trang 36



Giải: Đặt x = tant ta có dx =



1

 π

.dt = (1 + tan 2 t ) dt với t ∈ 0; 

2

cos t

 4



π



π



4

dx

1 + tan t

π

Khi đó: I =

=

.

dt

=

∫0 1 + x 2 ∫0 1 + tan 2 t

∫0 dt = 4

1



2



4



Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:

a) I=



π



e







b)



x ln xdx



1



2







c)



x cos xdx



1



∫ xe dx

x



0



0



Giải:

dx



du =



u = ln x



x =>

⇒

a) Đặt 

2

v = x

dv = xdx





2



e







π



π 2

π

π

π

x cos xdx = ( x sin x ) 2 − sin xdx = + cos x 2 = − 1

2

2

0

0 0

0











1



u = x

 du = dx =>



c) Đặt 



x

x

 dv = e dx v = e



(







π

2



u = x

du = dx =>

⇒

b) Đặt 

dv = cos xdx

v = sin x



I.3. Bài tập trắc nghiệm



e



e 1

x2

e2 x 2 e e2 + 1

x ln xdx = ln x − xdx = −

=

1

1

2

2

2

4

4

1

1



1



1

1

xe dx = xe − e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1

0 0

0

0







x







x



)



3

Câu 1. Nguyên hàm của 2 x 1 + 3 x là:



(



)



2

3

A. x x + x + C



Câu 2.



∫ x ( 1− x )



2 10



2 11



22



A.



6 x3 

2

x

1

+

D. 

÷+ C

5







C. 3ln 2 x + 5 + C



D)



1− x )

C. − (



1− x )

D. − (



(



)



3



1− x )

A. − (



Câu 4.



)



3

C. 2x x + x + C



∫ 2 x + 5 dx bằng:



A. 2 ln 2 x + 5 + C

Câu 3.



(



2

2

B. x 1 + 3 x + C



∫ sin



5



3

ln 2 x + 5 + C

2



+C



3

ln 2 x − 5 + C

2



dx bằng:

1− x )

B. (



2 11



22



2 22



+C



11



2 11



+C



11



x.cosxdx bằng:



sin 6 x

+C

6

4



B.



B. −



sin 6 x

+C

6



C. −



cos6 x

+C

6



D.



cos6 x

+C

6



D.



208

17



2



1



Câu 5. ∫  x + ÷ dx bằng:

x

2



A.



275

12



B.



305

16



C.



196

15



Trang 37



+C



HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Nhập vào máy tính, kết quả tích phân sau:

5



Câu 6.



∫ ( 3x − 4 )



4



, chọn đáp án A



dx bằng:



2



A.



89720

27



B.



18927

20



C.



960025

18



D.



161019

15



1



Câu 7.



∫ x ( x + 1) dx

3



bằng:



0



A.



8

3



9

20



B.



π

4



Câu 8. Nếu đặt t = 3 tan x + 1 thì tích phân I =



0



1



2



1

2

A. I = ∫ 2t dt

30



11

15



C.



C. I =



B. e − 1



C. 1



20

27



6 tan x

dx trở thành:

cos x 3 tan x + 1

2



3



4

B. I = ∫ ( t 2 − 1) dt

31



D.





1



2 2

( t − 1) dt D. I =

3



3



4



∫ 3 t dt

2



0



1



Câu 9.



∫ xe dx

x



bằng:



0



A. e



D.



1

e −1

2



π

4



Câu 10. xcos2 xdx bằng:



0



A.



π −2

8



B.



π −1

4



C. 3 −



π

2



D. 2 −



π

2



HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

+ Chuyển sang đơn vị radian: shift -> mode -> 4.

+ Nhập vào máy tính



kết quả tích phân sau:



, chọn đáp án A



II. Ứng dụng tích phân

II.1. Cơng thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục

hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

b



S = ∫ f ( x ) dx

a



Chú ý: Nếu phương trình f ( x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 ; x2 ;...; xk trên ( a; b ) thì trên mỗi

khoảng ( a; x1 ) , ( x1; x2 ) ,..., ( xk ; b ) biểu thức f ( x) khơng đổi dấu.

b



b



x1



x2



b



a



a



a



x1



xk



Khi đó S = ∫ f ( x) dx được tính như sau: S = ∫ f ( x ) dx =



∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ... + ∫ f ( x)dx



Trang 38



Ví dụ 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

hai đường thẳng x = −1; x = 0

Giải: ∀x ∈ [−1;0] ta có



−x − 2

,trục hồnh, và

x −1



−x−2

= 0 => − x − 2 = 0 ⇔ x = −2 ∉ [−1;0]

x −1

0



Gọi S là diện tích cần tìm : S = ∫



−1



−x − 2

dx =

x −1



= ( − x − 3ln x − 1 )



0



 −x − 2 

∫−1  x − 1 ÷ dx =

0

−1



0







3 



∫  −1 − x − 1 ÷dx



−1



= 3ln 2 − 1 (đvdt)



Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành, và hai

đường thẳng x = −1; x =



3

2



Giải: Ta có :

 3

x 3 = 0 ⇔ x = 0 ∈  −1; 

 2

0



=> S = ∫



−1



3

2



3

2



0



 x4 

x4

x 3 dx + ∫ x 3 = ∫ x 3dx = ∫ x 3dx =  ÷ +

4

 4  −1

0

−1

0

0



3

2

0



 1  81 97

= − ÷ +

=

 4  64 64



(đvdt)



Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 , trục

hoành , trục tung và đường thẳng x = 2

Giải:

 x =1

x 3 − 3 x 2 + 2 = 0 ⇔ ( x − 1) x 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ 

x = 1 ± 3



(



Vậy



2



S = ∫ x3 − 3x 2 + 2 dx =

0



)



1



∫(



)



2



x3 − 3x 2 + 2 dx +



0



∫( x



3



)



− 3x 2 + 2 dx



1



Đs: S=5/2



II.2. Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f ( x) và y = g ( x) và hai

b



S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx



đường thẳng x = a; x = b (a < b) :



a



Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 − 3x + 2 và y = x − 1

Giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x = 1

x 2 − 3x + 2 = x − 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 

x = 3

3



3



1



1



Gọi S là diện tích cần tìm: S = x 2 − 3x + 2 − x − 1 dx = x 2 − 4 x + 3 dx

) ( ) ∫

∫(

Trang 39



3



S = ∫ x − 4 x + 3 dx =

3



1



3



∫(

1



3



 x4



4 4 (đvdt)

x − 4 x + 3 dx =  − 2 x 2 + 3 x ÷ = − =

3 3

 4

1



)



3



Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x3 − 3 x + 2 và y = x + 2

Giải:

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

x = 0

x3 − 3x + 2 = x + 2 ⇔ x 3 − 4 x = 0 ⇔ 

 x = ±2

0



Gọi S là diện tích:



S=







−2



2



0



x 3 − 4 x dx + ∫ x3 − 4 x dx



=



)



−2



0



0



∫(



x 3 − 4 x dx +



2



∫( x



3



)



− 4 x dx



0



2



 x4



 x4



=  − 2 x 2 ÷ +  − 2 x 2 ÷ = 4 + −4 = 8

 4

 −2  4

0



II.3. Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục

hồnh.

Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = f ( x) , trục hoành , hai đường thẳng x = a; x = b ( a < b) và quay quanh trục Ox , được tính

b



2

theo cơng thức: V = π ∫ ( f ( x)) dx

a



Ví dụ 1. Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các

đường: y = x3 − 3 x; y = 0; x = 0; x = 1 và quay quanh trục Ox

1



1



0



0



3

2

6

4

2

Giải: Gọi V là thể tích cần tìm: V = π ∫ ( x − 3x) dx = π ∫ ( x − 6 x + 9 x ) dx =



68π

(đvtt)

35



Ví dụ 2. Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các

2

đường: y = x + 2 x ; y = 0; x = 0; x = 1 và quay quanh trục Ox

1



1



Giải: V = π ∫ x + 2 x dx = π ∫ (

2



0



2



0



1



 x5

4 x3 

38π

(đvtt)

x + 4 x + 4 x dx = π  + x 4 +

÷ =

3  0 15

 5

4



3



2



)



II. 4. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x3, y = 0, x = -1, x = 2

A. 1/4

B. 17/4

C. 15/4

D. 19/4

3

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x – 3x, y = x, x = -2,

x = 2.

A. 0

B. 4

C. 8

D. 16

Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = –x2 + 6x - 5, y = 0,

x = 0, x = 1.

A. 5/2

B. -7/3

C. 7/3

D. -5/2

 y = x2 + 2x

Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau 

y = x + 2

Trang 40



A. 2

B. 2/3

C. 4/3

D. 0

2

Câu 5. Gọi S là hình thang giới hạn bởi các đường y =4-x và trục tung. Tính thể tích của

khối tròn xoay khi cho S xoay xung quanh trục Oy.

16π

512π

A.

B.

C. 4π 2

D. 4π

15



15



 y = x

khi cho nó xoay

 y = x



Câu 6. Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường 

quanh trục Ox.

A. 0



B. −π



C. π



Trang 41



D.



π

6



PHẦN 4. SỐ PHỨC

I. Các khái niệm



Số thuần ảo (số ảo)



II. Các phép toán trên số phức.

* Phép cộng và phép trừ, nhân hai số phức.

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

 z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i

+

 z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i

+ zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i

* Phép chia số phức khác 0.

Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )

z'

z ' z '.z

của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được tính: =

z z.z

z

*Phương trình bậc hai trên tập số phức

Cho phương trình bậc hai: az2 +bz +c = 0 (1) (a ≠ 0)

Thương



Phương pháp:

Tính ∆ = b2 – 4ac

+ Nếu ∆ < 0 thì pt(1) có hai nghiệm phân biệt: z1 =



−b+i |∆|

,

2a



z2 =



−b−i |∆ |

2a



*Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho số phức z =



3 1

− i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2

2 2



3 1

3 1

− i ⇒z =

+ i

2 2

2 2



*Vì z =



2



 3 1  3 1 2

3

1

3

− i÷

*Ta có z = 

= + i − i= − i

÷

2

2 2

 2 2  4 4

2



2



 3 1 

3 1

3

1

3

⇒ ( z ) = 

+ i÷

= + i2 +

i= +

i

÷

4 4

2

2 2

 2 2 

2



Trang 42



1



3  3



1 



3



1



3



3



i ÷

( z )3 =( z )2. z =  +

÷ 2 + 2 i ÷

÷= 4 + 2 i + 4 i − 4 = i

2

2









Ta có: 1 + z + z2 = 1 +



3 1 1

3

3 + 3 1+ 3

− i+ −

i=



i

2 2 2 2

2

2



Ví dụ 2. Tìm số phức z biết z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i

Gọi z = a+ bi (a,b ∈ R )

Ta có: z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i ⇔ a + bi − ( 2 + 3i ) ( a − bi ) = 1 − 9i

−a − 3b = 1 a = 2

⇔ −a − 3b − ( 3a − 3b ) i = 1 − 9i ⇔ 

⇔

3a − 3b = 9

b = −1

Vậy z = 2-i. Suy ra mô đun: z = a 2 + b 2 =



2

3



Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) z 2 − z + 1 = 0

∆ = (-1)2 – 4.1.1 = -3.

Phương trình có nghiệm: z1 =



1+ i 3 1

3

1

3

= +

i , z2 = −

i

2

2 2

2 2



b) x 2 + 2 x + 5 = 0

∆ = -16. Phương trình có nghiệm: x1 = −1 − 2i, x2 = −1 + 2i

c) z 4 + 2 z 2 − 3 = 0

Đặt t = z2. Phương trình trở thành:

z2 = 1

 z = ±1

t = 1

t + 2t − 3 = 0 ⇔ 

⇔ 2

⇔

t = −3

 z = ±i 3

 z = −3

2



Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, −i 3, i 3

III. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy

B. Số phức z = a + bi có mơđun là



a2 + b2



a = 0

b = 0



C. Số phức z = a + bi = 0 ⇔ 



D. Số phức z = a + bi có số phức đối z’ = a - bi

Câu 2. Cho số phức z = a + bi. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. z + z = 2bi

B. z - z = 2a

C. z. z = a2 - b2

Câu 3. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức:

A. z’ = -a + bi

B. z’ = b - ai

C. z’ = a - bi

Câu 4. Cho số phức z = a + bi. Số phức z2 có phần thực là :

Trang 43



D. z2 = z 2

D. z’ = -a - bi



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

PHẦN 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×