Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
+ Tập xác định D = [a;b].

+ Tập xác định D = [a;b].

Tải bản đầy đủ - 0trang

= 2 2 khi x = 2 ; Miny = −2 khi x = −2 .

Vậy: Maxy

x∈[ −2;2]

x∈[ −2;2]

Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số :

x − m2 + m

f ( x) =

trên đoạn [ 0;1] bằng −2 .

x +1

+ Tập xác định: D = [0;1]

+ Ta có: f ' ( x ) =



m2 − m + 1



( x + 1)



2



Do m 2 − m + 1 > 0 ∀m ∈ R nên f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ [ 0;1]



Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;1] .

2

+ Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0;1] là f ( 0 ) = − m + m .



 m = −1

2

+ Theo giả thuyết ta có: Min f ( x ) = −2 ⇔ − m + m = −2 ⇔ 

.

x∈[ 0;1]

m = 2

Vậy m ∈ { −1;2} thỏa u cầu của bài tốn.

Ví dụ 5. Tìm GTLN-GTNN của y =

+ y' =



x 2 − 2x − 5

( x − 1) 2



x 2 + 2x + 3

trên tập xác định D ∈ (1;3]

x −1



; Cho y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 5 = 0 ⇒ x = 1 ± 6



+ BBT:



y = 9 ⇔ x = 3 và Max y không tồn tại.

Vậy: xMin

∈(1;3]

x∈(1; 3]



III.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = −x3 + 3x + 1

A. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = –1;

B. Có giá trị lớn nhất là Max y = 3;

C. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = 3;

D. Có giá trị lớn nhất là Max y = –1.

Câu 2. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 trên đoạn [ −4; 4] .

A. M = 40; m = −41 ; B. M = 15; m = −41 ; C. M = 40; m = 8 ; D. M = 40; m = −8.

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- MODE -> chọn TABLE -> Nhập hàm f(X) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 -> Chọn “ = ” ->

Nhập Start = -4 , End = 4 ; Nhập Step =

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =



4 − (−4)

20 . Kết quả



, chọn A .



2x + 1

trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng:

1− x



A. 0

B. – 2

C. 1

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Trang 11



D. – 5



- MODE -> chọn TABLE -> Nhập hàm f(X) =



2x + 1

-> Nhập Start = 2 ;

1− x



3−2

Nhập End = 3; Nhập Step = 20 . Kết quả



, chọn D .

 π π

; 

 2 2



Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 3 x − cos 2 x + sin x + 2 trên khoảng  −

bằng:

A.



23

27



B.



1

27



C. 5



D. 1



Câu 5. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [0;2].

A. M=11, m =2

B. M=3, m=2

C. M=5, m=2

D. M=11, m=3

Câu 6. Cho hàm số y =

y = −1

A. max

[ 0;1]



4x −1

, chọn phương án đúng trong các phương án sau:

x +1

y=0

B. min

[ 0;1]



y=3

C. max

[ −2; 0 ]



y=

D. min

[ 0;1]



3

2



Câu 7. Giá trị lớn nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x là :

A. 0



B. 4



C. -2



D. 2



Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + x là :

A. 0



B.



3

2



C.



2

3



D. 2



π π

Câu 9. Cho hàm số y = 3sinx – 4sin3x. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (− ; )

2 2



bằng:

A. -1

B. 1

C. 3

D. 7

Câu 10. Trong số các hình chữ nhật có chu vi 24cm. Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

là hình có diện tích bằng:

A. S = 36 cm 2

B. S = 24 cm 2

C. S = 49 cm 2

D. S = 40 cm 2

Câu 11. Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều khơng nắp với thể

tích lớn nhất từ một tấm nhơm hình vng có cạnh là 1m . Tính thể tích của hộp cần làm.

A. V =



1 3

m

27



2

9



B. V = m3



1

9



C. V = m3



D. V =



Câu 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − 2x − 3

A. -1



B. 0



C. 1



D. 2



Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= 2x.ex trên đoạn [ −1; 2]

A. 4.e



B. 4.e2



C. 4



Trang 12



D. e2



2 3

m

27



 π π

Câu 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin2x - x trên đoạn  − ; 

 2 2

A.



−π

3



B.



−π

4



C.



−π

2



D. 1



IV. ĐƯỜNG TIỆM CẬN

IV.1. Lý thuyết

1. Tiệm cận ngang (TCN)

f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0 thì đường thẳng y = y 0 là TCN của

Nếu tính được xlim

→+∞

x→−∞



đồ thị hàm số y = f(x).

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y =

D = R \ {1} ;



x+2

x −1



lim y = 1 ⇒ y = 1 là đường tiệm cận ngang.



x →+∞



2. Tiệm cận đứng (TCĐ)

f (x) = +∞

f ( x) = −∞

f (x) = +∞

Nếu tìm được xlim

, hoặc xlim

, hoặc xlim

, hoặc

→ x+

→ x+

→ x−

0



lim f (x) = −∞



x→ x0−



0



0



thì đường thẳng x= x0 là TCĐ của đồ thị hàm số y = f(x).



Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y =

D= R \ {1} ;



x +1

x −1



lim y = +∞ => x = 1 là đường tiệm cận đứng.



x →1+



3. Kiến thức bổ trợ

(ax 3 + bx 2 + cx + d ) = a (± ∞) ;

• xlim

→± ∞



lim (ax 4 + bx 2 + c) = a (± ∞)



x →± ∞



ax + b a

= ;

x→± ∞ cx + d

c



• lim









lim



 −d 

x→



 c 



lim



 −d 

x→



 c 



+



+

ax + b

 − d  (ngược dấu = − ∞ ).

nếu

,

cùng

dấu

khi

=

+∞

ax

+

b

cx

+

d

x







cx + d

 c 









ax + b

 − d  (ngược dấu = − ∞ ).

nếu

,

cùng

dấu

khi

=

+∞

ax + b cx + d

x→



cx + d

 c 



IV.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

A. y = 1 và x = -2

C. y = 1 và x = 1



B. y = x+2 và x = 1

D. y = -2 và x = 1



Câu 2. Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

A. 1



x+2

là:

x −1



B. 2



C. 3

Trang 13



1− x

.

1+ x



D. 0



Câu 3. Có bao nhiêu đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x3 − mx 2 + 2 .

A. 1



B. 2



C. 3



Câu 4. Tìm m để hàm số y =

A. m ≠ 0



D. 0



x −1

có đường tiệm cận đứng (hoặc tiệm cận ngang)?

mx + 1



B. m ≠ −1



m≠0



C. m ≠ 1



D. 

 m ≠ −1



Câu 5. Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sao đây?

1+ x

1− x



2x − 2

x+2



2 x 2 + 3x + 2

D. y =

2− x

x+2

Câu 6. Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

là:

x −1



A. y =



B. y =



1+ x2

C. y =

1+ x



A. y = 1 và x = -2 B. y = x+2 và x = 1

Câu 7. Đồ thị hàm số y =

A. 1



A. 0



C. 4



B. 1



C. 2



B. 2



Câu 10. Cho hàm số y =

A. (1; 2)



D. 2



3

. Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng

x−2



Câu 9. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =

A. 3



D. y = -2 và x = 1



x2 + x + 1

có bao nhiêu tiệm cận:

−5x2 − 2x + 3



B. 3



Câu 8. Cho hàm số y =



C. y = 1 và x = 1



D. 4



2x + 1

. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

x −1



C. (1; -1)



D. (-1; 1)



3x + 1

của một đồ thị. Khẳng định nào sau đây đúng?

2x −1



A. Đồ thị có tiệm cận ngang là y =

C. Đồ thị khơng có tiệm cận

Câu 12. Cho hàm số y =



3x + 1

x2 − 4



C. 1



B. (2; 1)



Câu 11. Cho hàm số y =



D. 3



3

2



B. Đồ thị có tiệm cận đứng là y =



3

2



D. Đồ thị có tiệm cận đứng là x= 1



2x + m

. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm

mx − 1



cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích

bằng 8.

A. m = 2



B. m = ±

y=



1

2



C. m =



1

2



D. m ≠ ±2



3 − 2x

x − 2 . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số bằng



Câu 13. Cho hàm số

A. 0

B. 1



C. 2

Trang 14



D. 3



Câu 14. Cho hàm số



y=



3x + 1

2 x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng ?



A. Đồ thị có tiệm cận ngang là



y=



3

2



B. Đồ thị có tiệm cận đứng là



C. Đồ thị có tiệm cận đứng là x= 1



D. Đồ thị có tiệm cận ngang là



x=



3

2



y=



1

2



V. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

V.1. Lý thuyết

1.Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

* Tìm tập xác định của hàm số (TXĐ).

* Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y′ , giải phương trình y′ = 0.

+ Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị của hàm số (nếu có).

+ Tìm các giới hạn.

+ Lập bảng biến thiên.

* Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Xác định điểm CĐ, CT trên đồ thị (nếu có).

+ Để vẽ chính xác hơn ta lập bảng giá trị x,y để xác định tọa độ thuộc đồ thị.

2.Lý thuyết bổ trợ

 Đạo hàm của một số hàm số





y = ax 3 + bx 2 + cx + d







y ' = 3ax 2 + 2bx + c + 0







y = ax 4 + bx 2 + c







y ' = 4ax 3 + 2bx + 0







y=



ax + b

, (ad − bc ≠ 0) →

cx + d



y' =



ad − bc

(cx + d ) 2



 Giải một số phương trình y’= 0

• Phương trình: y ' = ax 2 + bx + c = 0 (cách giải phương trình bậc 2 của lớp 9)

Lưu ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay thông dụng để giải; hoặc nhẫm nghiệm với

phương trình có dạng đặc biệt như:

c

a



i.



Nếu a + b + c = 0 thì có 2 nghiệm x = 1 và x =



ii.



Nếu a − b + c = 0 thì có 2 nghiệm x = −1 và x =



−c

a



• Phương trình: y ' = ax 3 + bx = 0 . Ta đưa về phương trình tích:

ax 3 + bx = 0 ⇔ x(ax 2 + b) = 0



 Xét dấu hàm số y’

• Nếu y ' = ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng 2 nghiệm

đó và y’ cùng dấu với a trên các khoảng còn lại (y’=0 có 1 nghiệm hoặc vơ

nghiệm thì y’ cùng dấu với a trên các khoảng).

Trang 15



• Nếu y ' = ax 3 + bx = 0 có nghiệm thì y’ trái dấu với a trong khoảng nghiệm ( xi ;+∞)

và đổi dấu liên tục xét từ phải sang trái của bảng xét dấu.

3. Đồ thị hàm số của một số hàm số

a. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)



b. Các dạng đồ thị hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)



c. Các dạng đồ thị hàm số : y =



ax + b

(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)

cx + d



Trang 16



4. Đồ thị hàm số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

• Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

• Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

• Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) .Đồ thị (C′ ) của hàm số y = f (x) có thể được suy

từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hồnh qua trục hoành.

+ Đồ thị (C′ ) là hợp của hai phần trên.



Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) .

Đồ thị (C′ ) của hàm số y = f ( x ) có thể

được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.

+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.

+ Đồ thị (C′ ) là hợp của hai phần trên.



Trang 17



V.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2

* TXĐ D=R

* Sự biến thiên

+ y ' = 3x 2 − 6 x



* Đồ thị:

Bảng giá trị:

x -1

3

x = 0

x = 2



2

Cho y ' = 0 ⇔ 3x − 6 x = 0 ⇒ 



y -2



2



+ Hs tăng (−∞ ;0) và (2;+∞) . Hs giảm (0;2) .

+ Hs đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

y = −∞ ; lim y = +∞

+ xlim

→−∞

x →+∞



+ BBT



Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau : y = x 4 − 2 x 2

*TXĐ: D=R

*Sự biến thiên :

+ Ta có : y’=4x3-4x=4x(x2-1) ;y’=0 ⇔ x = 0; x = ±1

+ Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0 ) và ( 1; +∞ ) .

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) .

+ Cực trị:



Hàm số có hai cực tiểu tại x= ±1 ;yCT =y( ±1 ) = –1

Hàm số có một cực đại tại x=0; yCĐ =y(0) = 0



y = +∞ ; lim y = +∞

+ Giới hạn: lim

x →−∞

x →+∞



+ Bảng biến thiên:



Trang 18



(



*Đồ thị : Đồ thị đi qua gốc toạ độ và cắt trục Ox tại ± 2;0



Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: y =



)



x −1

đồ thị (C).

x +1



* TX Đ : D = R\{-1}

* Sự biến thiên :

+ y/ =



2

> 0, ∀ x ∈ D

( x + 1) 2



+ Hàm số đồng biến trên các khoảng : ( − ∞;−1) ; (−1;+∞)

+ Hàm số khơng có cực trị

+ Giới hạn và tiệm cận :



Lim y = 1 , Lim y = 1 . Tiệm cận ngang y = 1.

x → −∞



x → +∞



Lim y = −∞ , Lim− y = +∞ . Tiệm cận đứng x = -1.

x → −1



x → −1+



+Bảng biến thiên :



*Đồ thị: Giao với Oy tại A(0;-1), giao với Ox tại B(1;0)

y



1

-1



1



O



x

-1



V.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x 2 − 1



B. y = − x 3 + 3x 2 − 1



C. y = x 3 + 3 x 2 − 1



D. y = − x 3 − 3 x 2 − 1



Câu 2. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x



B. y = − x 3 + 3 x 2 − 3 x

Trang 19



C. y = x 3 + 3 x 2 − 3 x



D. y = − x 3 − 3 x 2 − 3x



Câu 3. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

1

4



A. y = x 4 − 3 x 2 − 3



B. y = − x 4 + 3x 2 − 3



C. y = x 4 − 2 x 2 − 3



D. y = x 4 + 2 x 2 − 3



Câu 4. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 4 − 3 x 2 + 1



B. y = − x 4 + 3 x 2 + 1



C. y = x 4 + 3 x 2 + 1



D. y = − x 4 − 3x 2 + 1



Câu 5. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

2x + 1

x +1

2x + 1

C. y =

x −1



A. y =



x −1

2x + 1

x+2

D. y =

1+ x



B. y =



Câu 6. Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? Chọn 1 câu đúng.

2x + 1

x−2

x +1

C. y =

x−2



A. y =



x −1

2x + 1

x+3

D. y =

2+ x



B. y =



Câu 7. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x − 1

B. y = − x 3 + 3 x 2 + 1

C. y = x 3 − 3 x + 1

D. y = − x 3 − 3x 2 − 1

Câu 8. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x 2 + 3 x + 1

B. y = − x 3 + 3 x 2 + 1



2



1



C. y = x 3 − 3 x + 1



O



D. y = − x 3 − 3x 2 − 1



1



Câu 9. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình bên. Đồ thị bên là đồ thị của

hàm số nào sau đây:

A. y = − x 4 + 2 x 2 − 3

B. y = − x 4 + 2 x 2

C. y = x 4 − 2 x 2

D. y = x 4 − 2 x 2 − 3

Câu 10. Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

A. y = x 3 − 3 x − 4



-1



O



1



2



3



B. y = − x 3 + 3 x 2 − 4

-2



Trang 20

-4



C. y = x 3 − 3 x − 4

D. y = − x 3 − 3 x 2 − 4

VI. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

VI.1. Lý thuyết

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình:

y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 )

( với y0 = f ( x0 ) , hệ số góc k = f ' ( x0 ) = y’(x0))

VI.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 − 3x + 5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại

điểm A (-1; 7).

Giải:

+ Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )

+ Ta có x0 = -1 ; y0 = 7

2

+ Ta có y ' = 3 x − 3 ⇒ y '(−1) = 0 .



Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(-1; 7) là: y − 7 = 0 hay y = 7.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

số góc của tiếp tuyến k = -3.

Giải:

+ Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0

+ Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x

+ Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên:

3 x02 − 6 x0 = −3 ⇔ x02 − 2 x0 + 1 = 0 ⇔ x0 = 1

+ Vì x0 = 1 ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2) .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = −3( x − 1) − 2 ⇔ y = −3 x + 1

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 (C). Biết tiếp

tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 6.

Giải:

+ Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0

+ Ta có: y ' = 3 x 2 − 6 x

+Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 6

⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 ⇒

 x0 = −1 ⇒ M (−1; −3)

3 x02 − 6 x0 = 9 ⇔ x02 − 2 x0 − 3 = 0 ⇔ 

 x0 = 3 ⇒ M (3;1)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y = 9( x + 1) − 3 ⇔ y = 9 x + 6 (loại)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y = 9( x − 3) + 1 ⇔ y = 9 x − 26

Trang 21



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

+ Tập xác định D = [a;b].

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×