Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
PHẦN 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

PHẦN 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Tải bản đầy đủ - 0trang

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ ;0) và (2;+∞) ; nghịch biến trên (0;2) ;

Ví dụ 2. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số sau: y =

+ TX Đ : D = R\{-1},



Ta có : y’ =



x −1

x +1



2

> 0, ∀ x ∈ D

( x + 1) 2



Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng : ( − ∞;−1) ; (−1;+∞)

Ví dụ 3. Định m để hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m luôn đồng biến

+ TXĐ: D=R,



Ta có y ' = 3x 2 + 6 x + m

∆ ' ≤ 0

⇒ 9 − 3m ≤ 0 ⇒ m ≥ 3

a = 1 > 0



+ Hàm số luôn đồng biến ⇔ y ' ≥ 0 ⇔ 



Vậy: với m ≥ 3 thì hs ln đồng biến trên D.

Ví dụ 4. Định m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + (m − 1) x + 4m nghịch biến trên ( - 1; 1)

+ TXĐ:D=R,



Ta có: y ' = 3x 2 + 6 x + m − 1

af ( −1) < 0

af (1) < 0



+ Hàm số nghịch biến trong (- 1; 1) ⇔ y '≤ 0 và x1 < −1 < 1 < x 2 ⇔ 

3(3 − 6 + m − 1) < 0

m < 4

⇔

⇔

⇒ m < −8

3(3 + 6 + m − 1) < 0

 m < −8



Vậy: m < −8 thì hàm số nghịch biến trên (- 1; 1).

I.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hàm số y = x4 – 2x2 +1 đồng biến trên khoảng nào?

A. (-1;0) B.(-1;0) và (1; + ∞ )

C. (1; + ∞ )

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Tính đạo hàm tại x = - 0.5 như sau:

đạo hàm tại x = 2 như sau:



D. ∀x ∈ R



d 4

( x − 2 x 2 + 1) | x =−0.5 kết quả = 3/2 >0. Và tính

dx



d 4

( x − 2 x 2 + 1) | x =2 kết quả = 24 >0 => Chọn đáp án B

dx

y=



2x + 1

x + 1 là đúng?



Câu 2. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R;

B. Hàm số luôn đồng biến trên R;

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞);

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Nhập biểu thức tính đạo hàm tại x = 0 như sau:

tính đạo hàm tại x = -2 như sau:

Câu 3. Hàm số y =



d  2x + 1 



 | x =0 kết quả = 1>0, và

dx  x + 1 



d  2x + 1 



 | x=−2 kết quả = 1>0 nên ta loại đáp án D.

dx  x + 1 



2x − 5

đồng biến trên :

x+3

Trang 5



B. ( −∞;3)



A. R



C. ( −3; +∞ )



D. R\{-3}



3

2

Câu 4. Hàm số y = − x + 6 x − 9 x có các khoảng nghịch biến là:



A. (−∞; +∞)



C. ( 1;3)



B. (−∞; −4) vµ (0; +∞)



D. (−∞;1) vµ (3; +∞)



Câu 5. Hàm số y = − x 3 + 3x 2 − 1 đồng biến trên các khoảng:

A. ( −∞;1)



B. ( 0; 2 )



C. ( 2; +∞ )



D. R



Câu 6. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 − 3x − 1 là:

A. ( −∞; −1)



B. ( 1; +∞ )



Câu 7. Hàm số y =



C. ( −1;1)



D. ( 0;1) .



x+2

nghịch biến trên các khoảng:

x −1



A. ( −∞;1) va ( 1; +∞ )



B. ( 1; +∞ )



C. ( −1; +∞ )



D. R\{1}.



Câu 8. Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x3 − 6 x là:

A. ( −∞; −1) va ( 1; +∞ )



C. [ −1;1]



B. ( −1;1)



D. ( 0;1)



Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 + 1 là:

A. ( −∞;0 ) va ( 1; +∞ )



C. [ −1;1]



B. ( 0;1)



D. R.



Câu 10. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = − x3 + 3x 2 + 1 là:

A. ( −∞; 0 ) va ( 2; +∞ )



C. [ 0; 2]



B. ( 0; 2 )



D. R.



Câu 11. Các khoảng đồng biến của hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 3 là:

7







 7







A. ( −∞;1) va  ; +∞ ÷

3





C. [ −5; 7 ]



B. 1; ÷

3



D. ( 7;3) .



Câu 12. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3 x − 4 x 3 là:





1



1







A.  −∞; − ÷ va  ; +∞ ÷

2



2





 1 1







B.  − ; ÷

2 2









1



C.  −∞; − ÷

2





1







D.  ; +∞ ÷.

2





Câu 13. Hàm số y = − x + mx − m đồng biến trên (1;2) thì m thuộc tập nào sau đây:

3



A. [ 3;+∞ )

Câu 14. Hàm số y =



2



B. ( −∞; 3)



3 

2 



C.  ; 3÷









3

2



D.  −∞; ÷



m 3 (

1

x − m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên ( 2;+∞ ) thì m thuộc

3

3



tập nào:



2



−2− 6 

A. m ∈  ; +∞ ÷ B. m ∈  −∞;

÷

3





2 









2

3



C. m ∈  −∞; ÷



Trang 6



D. m ∈ ( −∞; −1)



II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

II.1. Lý thuyết

1.Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tìm cực trị:

a/ Quy tắc 1:

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)

B3: Tìm các điểm xi thoả mãn điều kiện: xi ∈ D và là nghiệm của y' = 0 hoặc làm cho

y' không xác định.

B4: Lập bảng biến thiên của hàm số trên D và kết luận.

b/ Quy tắc 2: (thường sử dụng cho những bài toán lượng giác)

B1: Tìm tập xác định D

B2: Tính đạo hàm y' = f'(x)

B3: Giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm xi (nếu có)

B4: Tính đạo hàm cấp hai y'' = f''(x) ; tính f''(xi) và nhận xét dấu :

+ Nếu f''(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCĐ = f(x0)

+ Nếu f''(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 và yCT = f(x0)

2.Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

 y ' ( A) = 0

 y ' ' ( A) < 0



- Hàm số nhận x = A làm cực đại ⇔ 



 y ' ( A) = 0

 y ' ' ( A) > 0



- Hàm số nhận x=A làm cực tiểu ⇔ 

II.2. Ví dụ minh họa



Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số sau: y = x 3 − 3x 2 + 2

+ TXĐ D=R

+ y ' = 3x 2 − 6 x ,



x = 0

y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇒ 

x = 2



+ BBT



+ Hàm số đạt cực đại tại (0;2), cực tiểu tại (2;-2)

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số sau: y =



x −1

đồ thị (C).

x +1



+ TX Đ : D = R\{-1}

+ y’ =



2

> 0, ∀ x ∈ D

( x + 1) 2



+Bảng biến thiên:

Trang 7



+ Hàm số khơng có Cực đại và Cực tiểu.

Ví dụ 3. CMR hs y = x 3 − 3mx 2 + 3( m 2 − 1) x − m 3 luôn có cực đại, cực tiểu:

TXĐ D=R;



y ' = 3x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1)



Cho y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6mx + 3(m 2 − 1) = 0

∆' = 9m 2 − 9m 2 + 9 > 0 ⇒ hs ln có cực đại, cực tiểu



Ví dụ 4. Tìm m để hs y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu

TXĐ D=R;



y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m



Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y '= 0 có 2 nghiệm phân biệt

m ≠ −2

 m ≠ −2

 m ≠ −2

 m ≠ −2

⇔

⇔

⇔





2

∆ ' > 0

9 − 3m( m + 2) > 0

− 3 < m < 1

− 3m − 6m + 9 > 0



 m ≠ −2

thì hàm số có cực đại, cực tiểu.

− 3 < m < 1



Vậy: 



II.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x là:

A. ( 1; 4 )



B. ( 3;0 )



C. ( 0;3)



D. ( 4;1) .



HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

 y ' ( A) = 0

 y ' ' ( A) < 0



* Cơ sở lý thuyết: Hàm số y nhận x = A làm cực đại ⇔ 



d 3

( x − 6 x 2 + 9 x ) | x=? tại x =1 và tại x = 3

dx

kết quả = 0; tại x = 0 và tại x = 4 có kết quả ≠ 0 nên ta loại đáp án C và D.



- Nhập biểu thức tính đạo hàm như sau:



- Nhập biểu thức tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên như sau:



d

(3 x 2 − 12 x + 9) | x =1

dx



tại x = 1 có kết quả = -6 < 0 nên ta chọn A

Câu 2. Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- Tính y’ = -3x2 + 6x – 3. Giải y’= 0 bằng máy tính như sau: MODE -> 5 -> 3, nhập

hệ số a = -3, b = 6, c = -3 kết quả X=1 là nghiệm duy nhất .

- Vì y’ = 0 có một nghiệm, nên hàm số y cùng dấu với a, suy ra chọn A

Câu 3. Trong các khẳng định sau về hàm số

A. Hàm số có một điểm cực trị;



y=



2x − 4

x − 1 , hãy tìm khẳng định đúng?



Trang 8



B. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

1

1

y = − x4 + x2 − 3

4

2

Câu 4. Trong các khẳng định sau về hàm số

, khẳng định nào là đúng?



A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0;

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -1;



B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

D. Cả 3 câu trên đều đúng.



1

3



Câu 5. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + (2m − 1) x − 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. ∀m ≠ 1 thì hàm số có cực đại và cực tiểu;

B. ∀m < 1 thì hàm số có hai điểm cực trị;

C. ∀m > 1 thì hàm số có cực trị;

D. Hàm số ln có cực đại và cực tiểu.

Câu 6. Hàm số: y = − x 3 + 3x + 4 đạt cực tiểu tại x bằng:

A. -1



B. 1



C. - 3



D. 3



1

2



4

2

Câu 7. Hàm số: y = x − 2 x − 3 đạt cực đại tại x bằng:



B. ± 2



A. 0



C. − 2



2



D.



1

4



Câu 8. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Hàm số có

A. Một cực đại và hai cực tiểu

C. Một cực đại và không có cực tiểu



B. Một cực tiểu và hai cực đại

D. Một cực tiểu và một cực đại



Câu 9. Hàm số y = x 3 − mx + 1 có 2 cực trị khi :

A. m > 0

B. m < 0

C. m = 0

Câu 10. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị:



D. m ≠ 0



A. y = x 4 − 2 x 2 − 1



B. y = x 4 + 2 x 2 − 1



C. y = 2 x 4 + 4 x 2 + 1



D. y = −2 x 4 − 4 x 2 + 1



Câu 11. Hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx đạt cực tiểu tại x = 2 khi:

A. m = 0



B. m ≠ 0



C. m > 0



D. m < 0



Câu 12. Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y = x 4 + 4 x 2 + 2 :

A. Đạt cực tiểu tại x = 0

C. Có cực đại và khơng có cực tiểu



B. Có cực đại và cực tiểu

D. Khơng có cực trị.

1

3



3

Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số y = − x − x − 7 là



A. 1



B. 0



C. 3



D. 2



Câu 14. Hàm số y = x 3 − mx + 1 có 2 cực trị khi

A. m > 0



B. m < 0



C. m = 0



D. m ≠ 0



Câu 15. Khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 4 là:

Trang 9



A. 2 5



B. 4 5



C. 6 5



D. 8 5



3

2

Câu 16. Hàm số y = x − mx + 3 ( m + 1) x − 1 đạt cực đại tại x = 1 với m bằng :



A. m = - 1



B.



m > −3



C. m < −3



D. m = - 6



III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

III.1. Lý thuyết

 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:

+ Tập xác định D = [a;b].

+ Tính f′ (x). Giải f′ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2,…,xn trên [a; b] (nếu có).

+ Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2),…, f(xn).

+ So sánh các giá trị vừa tính và kết luận:

M = max f (x) = max{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}

[a;b]



m= min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x1), f (x2),..., f (xn)}

[a;b]



 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng:

+ Tính f′ (x).

+ Xét dấu f′ (x) và lập bảng biến thiên.

+ Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

III.2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1. Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) = x4 - 2x2 +3 trên đoạn [0;2]

x = 0



3

+ TXĐ: D=[0;2]. Ta có: y ' = 4 x 3 − 4 x , y ' = 0 ⇔ 4 x − 4 x = 0 ⇔  x = 1

 x = −1 ∉ [ 0;2 ]



+ Tính được: y ( 0 ) = 3



y ( 1) = 2



y ( 2 ) = 11



= 11 khi x = 2 ; Miny = 2 khi x = 1 .

Vậy: Maxy

x∈[ 0;2]

x∈[ 0;2]

Ví dụ 2. Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f ( x ) =

f / ( x) =



+ TXĐ: D=[2;4],



3



( 1− x)



2



2x +1

trên đoạn [ 2; 4]

1− x



> 0∀x ≠ 1 . Ta tính được: f ( 2 ) = −5; f ( 4 ) − 3



Vậy : max[ 2;4f ] ( x ) = −3 ; min[ 2;4f ] ( x ) = −5

Ví dụ 3. Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = x + 4 − x 2 .

+Tập xác định: D = [ −2;2]

+ y' =1−



x

4 − x2



=



4 − x2 − x



+ Tính: y ( −2 ) = −2 ; y



4 − x2



( 2) = 2



với −2 < x < 2

2 ; y ( 2) = 2 .

Trang 10



=> y ' = 0 ⇔ x = 2



= 2 2 khi x = 2 ; Miny = −2 khi x = −2 .

Vậy: Maxy

x∈[ −2;2]

x∈[ −2;2]

Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số :

x − m2 + m

f ( x) =

trên đoạn [ 0;1] bằng −2 .

x +1

+ Tập xác định: D = [0;1]

+ Ta có: f ' ( x ) =



m2 − m + 1



( x + 1)



2



Do m 2 − m + 1 > 0 ∀m ∈ R nên f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ [ 0;1]



Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;1] .

2

+ Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 0;1] là f ( 0 ) = − m + m .



 m = −1

2

+ Theo giả thuyết ta có: Min f ( x ) = −2 ⇔ − m + m = −2 ⇔ 

.

x∈[ 0;1]

m = 2

Vậy m ∈ { −1;2} thỏa yêu cầu của bài tốn.

Ví dụ 5. Tìm GTLN-GTNN của y =

+ y' =



x 2 − 2x − 5

( x − 1) 2



x 2 + 2x + 3

trên tập xác định D ∈ (1;3]

x −1



; Cho y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 5 = 0 ⇒ x = 1 ± 6



+ BBT:



y = 9 ⇔ x = 3 và Max y không tồn tại.

Vậy: xMin

∈(1;3]

x∈(1; 3]



III.3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y = −x3 + 3x + 1

A. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = –1;

B. Có giá trị lớn nhất là Max y = 3;

C. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = 3;

D. Có giá trị lớn nhất là Max y = –1.

Câu 2. Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 trên đoạn [ −4; 4] .

A. M = 40; m = −41 ; B. M = 15; m = −41 ; C. M = 40; m = 8 ; D. M = 40; m = −8.

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

- MODE -> chọn TABLE -> Nhập hàm f(X) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 -> Chọn “ = ” ->

Nhập Start = -4 , End = 4 ; Nhập Step =

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =



4 − (−4)

20 . Kết quả



, chọn A .



2x + 1

trên đoạn [ 2 ; 3 ] bằng:

1− x



A. 0

B. – 2

C. 1

HD sử dụng máy tính Casio fx-570VN PLUS để tính:

Trang 11



D. – 5



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

PHẦN 1. HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×