Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức

Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức

Tải bản đầy đủ - 0trang

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



thẳng đi qua một điểm trên mặt phẳng chia mặt phẳng thành 6 miền,... Ta có thể giả

thiết số miền được chia ra bởi n đường thẳng là 2n. Ta chứng minh bằng quy nạp

giả thiết trên:

Bước cơ sở: Với n = 1 mệnh đề khẳng định đúng, vì một đường thẳng chia mặt

phẳng thành hai phần.

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với số n = k, nghĩa là k đường thẳng khác

nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2k miền. Để chứng minh mệnh đề

đúng với n = k + 1 đường thẳng, ta chú ý rằng nếu dựng đường thẳng đi qua điểm

đã cho và không trùng với đường thẳng nào trong số những đường thẳng còn lại, thì

chúng ta nhận thêm 2 miền của mặt phẳng. Như vậy số miền của 2k cộng thêm 2,

nghĩa là 2(k+1). Suy ra mệnh đề đúng với n = k + 1.

Kết luận: Vậy n đường thẳng khác nhau trên mặt phẳng đi qua một điểm chung.

Hỏi chúng chia mặt phẳng thành 2n miền.

Ví dụ 2.Có thể chia n-giác lồi thành bao nhiêu tam giác bởi các đường chéo không

giao nhau?

Lời giải.

Nếu n = 3 thì tam giác khơng có đường chéo vậy số tam giác chỉ có một,

nghĩa là 3 – 2 =1.

Nếu n = 4 thì rõ ràng tứ giác chỉ có thể chia thành hai tam giác: 4 – 2 = 2. Ta có thể

đưa ra giả thiết số tam giác chia bởi đường chéo không giao nhau là S n = n – 2. Ta

chứng minh giả thiết này bằng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Với n = 3; 4 công thức đúng.

Bước quy nạp: Giả sử công thức đúng với n = k, nghĩa là đa giác lồi k cạnh có

thể chia thành Sk = k – 2 tam giác. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng cho n = k +1

A1

A2



Ak+1

24/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



Ak

Thật vậy đường chéo A1Ak của đa giác A1A2...AkAk+1 có k + 1 cạnh .

Vì đa giác A1A2...Ak có thể chia thành (k-2) tam giác theo giả thiết

quy nạp. Do có thêm tam giác A 1AkAk+1 nên đa giác(k+1) có thể chia thành

Sk+1 = k –1. Theo ngun lí quy nạp toán học, đa giác lồi n cạnh chia bởi

đường chéo không giao nhau thành Sn = n – 2 tam giác.

Ví dụ 3.Tính tổng các góc trong của n-giác lồi bất kì.

Lời giải.

Ta xét một số trường hợp ban đầu để tìm ra cơng thức. Kí hiệu T n là tổng góc

trong của n-giác lồi.

Với n = 3, tổng góc trong là T3 = 1800 = (3-2)1800.

Với n= 4, tổng của góc trong của tứ giác lồi bằng 2 lần tổng góc một tam giác:

T4 = 3600 = (4 – 2)1800 .

Từ hai trường hợp trên ta có thể giả thiết cơng thức phải tìm là Tn = (n – 2) 1800.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Với n = 3, công thức đúng như tính tốn trên.

Bước quy nạp: Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k
minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo

thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia

là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các

góc của hai đa giác này lần lượt là (k - 1)180 0 và (n – k - 1)1800. Tổng các góc của

n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là:

(k–1+ n – k –1)1800 = (n - 2)1800.

Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3.

4.4.2. Chứng minh bằng quy nạp

Ví dụ 4



. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh bằng

Lời giải.

25/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



Bước cơ sở: Với n = 3, mệnh đề đúng vì tam giác có 0 đường chéo.

Bước quy nạp: Giả sử đa giác lồi n = k cạnh có số đường chéo S k = đường

chéo, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với đa giác 2 lồi n = k +1 cạnh có số

đường chéo là Sk+1 =

Thật vậy, giả sử A1A2...AkAk+1 là đa giác lồi k + 1 cạnh. Trong tam giác ta kẻ

đường chéo A1Ak. Để đếm hết được các đường chéo trong đa giác k + 1 cạnh ta cần

phải đếm số đường chéo trong đa giác k cạnh A 1A2....Ak và thêm vào đó số đường

chéo thu được từ k – 2 đường chéo nữa, tức là số đường chéo của đa giác k+1 cạnh

A1A2....Ak+1 xuất phát từ đỉnh Ak+1, ngồi ra cần tính đến đường chéo A1Ak.

Như vậy, Sk+1 = Sk + (k-2) + 1 =+ (k-1) = ... =

Ví dụ 5. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên

cùng một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm

trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác nhau không nhỏ hơn n.

Lời giải.

Bước cơ sở: Với n = 3 điểm, mệnh đề hiển nhiên đúng: Ba điểm không nằm

trên một đường thẳng nối từng đôi với nhau tạo ra ba đường thẳng khác nhau.

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 3 điểm. Ta chứng minh nó

cũng đúng cho n = k + 1 điểm. Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường

thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm A n và An+1 là

AnAn+1. Nếu những điểm A1, A2, ..., An nằm trên một đường thẳng thì số lượng các

đường thẳng sẽ đúng là n + 1: Gồm n đường thẳng nối A n+1 với các điểm A1, A2, ...,

An và đường thẳng chúng nối chung. Nếu A 1, A2, ..., An không nằm trên một đường

thẳng thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các

đường thẳng nối An+1 với các điểm A1, A2, ..., An. Vì đường thẳng AnAn+1 không chứa

một điểm nào trong A1, A2, ..., An-1, nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n

đường thẳng tạo ra bởi A1, A2, ..., An. Như vậy số đường thẳng tạo ra cũng không

nhỏ hơn n + 1.

* Một số bài tập giải tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng n đường tròn chia mặt phẳng thành n2−n+2 miền nếu mọi

cặp đường tròn giao nhau đúng hai điểm và khơng có ba đường tròn nào giao nhau

tại một điểm. Kết luận còn đúng khơng khi ta thay một đường khép kín khác đường

26/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



tròn.

Bài 2: Một đa giác được gọi là đa giác lồi nếu mọi cặp điểm trong đa giác có thể

nối với nhau bằng một đoạn thẳng mà đoạn thẳng này cũng nằm trong đa giác.

Chứng minh rằng với n ≥ 3 tổng những góc của đa giác lồi n đỉnh là 180(n−2) độ.

Bài 3: Ta xét sự sắp đặt bất kì n ≥ 3 đường thẳng trong mặt phẳng (nghĩa là, khơng

có hai đường nào song song và ba đường nào giao nhau tại một điểm). Chứng minh

rằng ít nhất trong những miền nhỏ nhất liên thông là một tam giác.



IV. Một số giải pháp khi vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán:

1, Đối với giáo viên:

Trước hết người giáo viên phải xây dựng được cơ sở lí thuyết về phương pháp

quy nạp toán học và việc vận dụng nó để giải từng dạng tốn cụ thể. Nội dung này

phải chuyển tải đến học sinh, với mỗi dạng tốn giáo viên đưa ra ví dụ mẫu, hướng

dẫn học sinh dựa trên cơ sở lý thuyết để tìm cách giải, giáo viên chốt lại bài giải

mẫu. Sau đó yêu cầu học sinh giải bài tập áp dụng

Phân loại các bài tập từ dễ đến khó phù hợp với từng đối tượng học sinh, tạo

điều kiện cho từng đối tượng học sinh được làm việc, chủ động nắm được kiến thức

cơ sở và phương pháp giải.

Rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy sáng tạo của học sinh thông qua qua

việc tìm tòi chọn lọc, tham khảo kiến thức trong khi nghiên cứu, giải tốn.

Trong q trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vướng mắc, sai sót mà học

sinh hay mắc phải khi làm bài tập và phải có biện pháp hướng dẫn sửa sai kịp thời.

Động viên, khuyến khích học sinh nghiên cứu tìm ra cách giải mới cho từng

bài tốn. Qua đó giúp học sinh nhớ lâu, nắm chắc bài toán đã giải.

2, Đối với học sinh:

Đây là dạng toán liên quan đến hầu hết các kiến thức của cấp học, do đó học

sinh cần phải trang bị cho mình các kiến thức cơ bản, tồn diện của chương trình

THCS. Đồng thời nắm chắc cơ sở lý thuyết và các dạng toán mà giáo viên cung cấp

để hiểu được bản chất của phương pháp quy nạp tốn học. Từ đó có thể vận dụng

để giải được các dạng toán về chứng minh sự chia hết, chứng minh đẳng thức và bất

đẳng thức.

Với mỗi bài tập cần nhận dạng được dạng tốn để từ đó vận dụng phương pháp

27/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



hợp lý của từng dạng vào giải toán.

Phát huy khả năng tư duy sáng tạo trong khi giải toán, biết suy luận từ bài dễ

đến bài khó với cách giải hay hơn, tìm ra được nhiều cách giải cho một bài toán.



28/32



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×