Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
III. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quynạp:

III. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quynạp:

Tải bản đầy đủ - 0trang

Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



33 - 3 chia hết cho 3

43 - 4 chia hết cho 3

Hãy đưa ra một dự đốn rồi chứng minh dự đốn đó?

Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)

Xét ba khả năng có thể xảy ra:

a) Nếu a =3k (k  N) thì A chia hết cho3

b)



Nếu a = 3k+1 (k N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3



c)



Nếu a = 3k+2 (kN) thì a+1chia hết cho3, do đó A chia hết cho 3

Vậy a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a



Ví dụ 2. Quan sát kết quả sau: 23 - 2 chia hết cho 3

25 - 2 chia hết cho 5

27 - 2 chia hết cho 7

Dự đoán sau đúng hay sai? 2n - 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n?

Giải: Dự đoán trên là sai. Chẳng hạn 29 - 2 = 510 không chia hết cho 9

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau:

(1) - Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a 3 - a chia hết cho 3

với mọi số nguyên dương a

(2) - Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k  N) để kết luận rằng a3 - a

chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

(3) - Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2 n - 2 chia hết cho n với

mọi số tự nhiên lẻ n

Ba phép suy luận trên được gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi từ các

trường hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát.

*Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trường hợp riêng, chẳng

hạn trong phép suy luận (2) ta đã xét mọi khả năng có thể xảy ra khi chia số tự

nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k +2)

7/32



Sáng kiến kinh nghiệm Môn tốn



*Phép quy nạp gọi là khơng hồn tồn nếu ta xét một số trường hợp riêng chứ chưa

xét đầy đủ mọi trường hợp riêng. Chẳng hạn trong phép suy luận (1) ta mới xét a

bằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên dương a, trong phép suy luận (3) ta

mới xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n.

Nhờ phép quy nạp khơng hồn tồn mà ta có những dự đốn về một tính chất

tốn học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh. Phép quy nạp (1) cho một

khẳng định đúng, kết luận này đã được chứng minh bằng phép quy nạp (2) (quy nạp

hoàn toàn). Phép quy nạp (3) cho một kết luận sai, ta bác bỏ nó bằng một phản ví

dụ.

Như vậy “phép quy nạp hoàn toàn” là một phép chứng minh chặt chẽ, còn

“phép quy nạp khơng hồn tồn” có thể dẫn tới sai lầm, ngay cả đối với các nhà

tốn học có tên tuổi dưới đây:

Nhà tốn học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2n + 1 cho ta các số nguyên

tố với n bằng 20, 21, 22, 23, 24 (thật vậy 2 1+ 1 = 3; 22 + 1 = 5; 24+1 = 17; 28 + 1 =

257; 216 + 1 = 65537; tất cả đều là số nguyên tố )

Với n = 25 = 32 thì 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecma khơng phân tích

được ra thừa số ngun tố, ơng cho rằng đó cũng là một số nguyên tố và đưa ra giả

thuyết tổng quát rằng công thức 2n + 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các số

nguyên tố.

Một thế kỉ sau, năm1732,Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ ra

rằng 232 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641

Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhưng lại đúng với một số rất lớn các trường

hợp đầu tiên:

- Nhà toán học Gravơ đưa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p ta có: 2 p-1 - 1

khơng chia hết cho p2. Dự đoán này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ hơn 1000,

nhưng chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 2 1093 - 1

chia hết cho10932

- Một dự đoán khác: Số 911n2+ 1 khơng là số chính phương với mọi số

nguyên dương n. Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là

n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số)

Vận dụng phép quy nạp hồn tồn giúp các nhà tốn học tìm ra một phương

pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp chúng ta khẳng định sự đúng đắn của một số tự

8/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



nhiên, đó là phương pháp quy nạp toán học

2, Nội dung của phương pháp quy nạp Tốn học:

Trong tốn học, phép quy nạp hồn tồn chỉ được áp dụng rất hạn chế.

Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một số vô hạn các trường hợp riêng,

nhưng con người không thể kiểm tra được tất cả các trường hợp riêng đó

Phép quy nạp khơng hoàn toàn, như chúng ta đã biết thường dẫn tới kết luận

sai lầm. Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế người ta áp dụng

một phương pháp suy luận “đặc biệt”, được gọi là phương pháp quy nạp Toán học.

* Nội dung của phương pháp quy nạp Tốn học được trình bày như sau:

Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đã được chứng

minh nếu cả hai điều kiện sau đây được thỏamãn:

1, Mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0

2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) suy ra được mệnh đề cũng

đúng với n = k +1

Như vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n bằng

phương pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bước sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) (ta gọi là giả thiết quy

nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n ≥n0

3, Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học

* Hai bước của ngun lí quy nạp tốn học

Ngun lí quy nạp tốn học gồm hai phần, việc kiểm tra cả hai phần cần

được tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng nguyên lí. Nếu bỏ đi một trong hai

điều kiện kiểm tra đó thì sẽ nhận được kết luận sai. Ta lấy một vài phản ví dụ.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:

2n > 2n +1.



(4)



Lời giải. Giả thiết bất đẳng thức (4) đúng với n = k, với k là một số tự nhiên nào đó.

Nghĩa là ta có 2k > 2k+1.

(5)

Ta chứng minh bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1

2k+1 >2(k +1) +1.



(6)



Thật vậy, 2k là một số không nhỏ hơn 2 với mọi số tự nhiên k khác 0. Ta cộng vế

9/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



trái của (4) với 2k và cộng vế phải của (4) với 2. Ta nhận được

2k + 2k > 2k +1 +2.

Nghĩa là có (6). Theo ngun lí quy nạp tốn học bất đẳng thức (4) đúng với

mọi số tự nhiên n. Bài toán đã được giải.

Lời giải trên mắc sai lầm là không kiểm tra bước cơ sở. Thực chất của chứng

minh trên là bất đẳng thức (4) đúng với n = k + 1, nếu nó đúng với n = k. Điều này

khơng suy ra bất đẳng thức đúng với ít nhất một giá trị nào của n, chứ chưa nói tới

với mọi số tự nhiên.

Ta có thể thử với n = 1 hoặc n = 2 bất đẳng thức (4) sai.

Với n ≥ 3bất đẳng thức (4) mới đúng. Giá trị số tự nhiên nhỏ nhất n = 3 bất đẳng

thức (4) đúng và lặp lại cách chứng minh ở trên từ giả thiết (4) đúng với n = k suy

ra nó đúng với n = k + 1. Vì vậy theo ngun lí quy nạp tốn học ta có kết luận: Bất

đẳng thức (4) đúng với mọi n ≥ 3 (chứ không với mọi số tự nhiên n).

Như vậy giá trị ban đầu của các bài toán chứng minh phụ thuộc vào từng bài

toán cụ thể và phải kiểm tra bước cơ sở. Sau đây ta có một phản ví dụ khi khơng

kiểm tra bước cơ sở thì hậu quả dẫn đến chứng minh sai.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau đó.

Lời giải.

Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học. Giả sử mệnh đề đúng với

với tự nhiên n = k nào đó, nghĩa là ta có k = (k+1). (7)

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, nghĩa là phải chứng minh

(k+1)=(k+2). Thật vậy, theo giả thiết quy nạp mệnh đề đúng với n = k, cộng hai vế

của đẳng thức (7) với 1 ta nhận được

k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2.

Như vậy khẳng định đúng với n = k thì nó cũng đúng với n = k + 1, do đó theo

ngun lí quy nạp tốn học nó đúng với mọi số tự nhiên n.

Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này vơ

lí, vậy cách chứng minh sai ở đâu? Dễ thấy rằng áp dụng ngun lí quy nạp tốn

học nhưng bỏ qua kiểm tra trường hợp n = 1. Ta thấy rằng với n = 1 thì mệnh đề

trên đã sai vì 1 ≠ 2.

Bước kiểm tra ban đầu có một ý nghĩa đặc biệt là tạo ra cơ sở để thực hiện quy

nạp. Bước thứ hai đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sở

điều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợp

riêng khác: từ k đến k + 1.

Phản ví dụ trên khi chưa kiểm tra điều kiện ban đầu thì khơng có cơ sở để thực hiện

quy nạp, vì vậy khơng có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra phần quy nạp.

10/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



Ngược lại, khi áp dụng phương pháp quy nạp mà chỉ chứng minh được một

số điều kiện ban đầu, mà bỏ qua phần quy nạp thì mới chỉ đưa ra được cơ sở chứ

chưa có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó. Ta xét ví dụ.

Ví dụ 3.Chứng minh rằng những giá trị của hàm số f(n) = n2 – n + 41 với n = 0, 1,

2, ... là những số nguyên tố.

Lời giải.

Ta tính f(0) =1, f(1) = 41, f(2)=43, f(3) =47, f(4) = 53, f(5) = 61, f(6) = 71,

f(7) = 83, f(8) = 97, f(9) = 113. Ta có thể tiếp tục tính f(n) cho đến giá trị n = 40, tất

cả giá trị này đề là số nguyên tố. Nhưng với n = 41 ta có f(41)= 412 – 41 + 41 = 412.

Kết quả f(41) không phải là số nguyên tố, nên kết luận của bài tốn là khơng đúng.

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học cần thiết thức hiện hai bước

như phân tích ở phần trên. Nhưng khó khăn chủ yếu là trong bước quy nạp toán học

là khi mệnh đề giả sử đã đúng cho P(k) phải chứng minh cho P(k+1). Thường người

ta tìm mối liên hệ giữa P(k) và P(k+1) để suy ra kết quả phải chứng minh.

*Bước quy nạp được xây dựng trên P(k)

Trong phần này ta xét khả năng biến đổi quy nạp trực tiếp từ khẳng định đúng

P(k) sang khẳng định đúng P(k+1).

Ví dụ 4.Chứng minh rằng : với mọi n ≥ 1. (8)

Lời giải.

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Kí hiệu tổng bình phương

của các số tự nhiên đầu tiên là P(n).

1. Bước cơ sở: , công thức (8) đúng.

2. Bước quy nạp: Giả sử (8) đúng với n = k,

P(k)=

Khi đó P(k+1) = 1 + 4 + ... + (k+1)2 = P(k) + (k+1)2



Do đó (8) đúng với n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp tốn học (8) đúng với mọi n.

Ví dụ 5. ( Phân số Ai Cập)

Ta xét tập hợp những phân số có tử số là 1 và mẫu số là những số tự nhiên lớn hơn

1: ; ;;; .... Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 có thể biểu diễn 1 thành dạng tổng n phân

số khác nhau trong tập hợp trên.

Ví dụ như n = 3, ta có thể viết 1 =

Lời giải.

11/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



1. Bước cơ sở: Với n = 3. Mệnh đề đúng như ví dụ trên.

2. Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n – 1, nghĩa là với n – 1 phân số

khác nhau

Ta có thể cho rằng những phân số sắp xếp theo thứ tự nhỏ dần, nghĩa là số ở

mẫu tăng dần. Ta chứng minh cho trường hợp tổng của n phân số dựa vào đẳng

thức sau đây

Công thức này chứng minh đơn giản bằng cách biến đổi trực tiếp. Như vậy,

các phân số trong trường hợp P(n-1) vẫn giữa nguyên, chỉ có phân số cuối cùng

tách ra làm hai phân số, vậy P(n) đúng. Suy ra theo ngun lí quy nạp tốn học

khẳng định đúng với mọi n ≥ 3.

*Bước quy nạp được xây dựng trên P(k+1)

Bước quy nạp toán học cần khẳng định P(k+1) suy ra từ P(k). Nhưng nhiều khi

việc biến đổi trực tiếp từ P(k) sang P(k+1) gặp rất nhiều khó khăn hoặc khơng có

hướng chính xác để biến đổi. Khi đó ta phải làm ngược lại để biểu diễn P(k+1)

thành những mệnh đề P(k) và tiến hành quy nạp.

Ví dụ 6. Chứng minh rằng số zn = 32n+1 + 40n – 67 chia hết cho 64 với mọi số n

nguyên không âm.

Lời giải.

Bước cơ sở: z0 = 31 + 0 – 67 = - 64 chia hết cho 64, mệnh đề đúng.

Bước quy nạp: Giả sử zn chia hết cho 64. Khi đó

zn+1 = 32n+3 + 40(n+1) – 67

= 9(32n+1 + 40n – 67) – 320n + 576

= 9.zn– 64(5n – 9).

Vế phải của đẳng thức sau cùng chia hết cho 64, vậy với n+1 mệnh đề vẫn

đúng. Do đó theo ngun lí quy nạp toán học bài toán đúng với mọi n khơng âm.

Trong phạm vi nghiên cứu của mình, tơi chỉ đề cập đến việc vận dụng

phương pháp chứng minh quy nạp Tốn học để giải một số dạng tốn đó là: Chứng

minh sự chia hết, tính tổng của dãy số viết theo quy luật, chứng minh bất đẳng thức

và một chút ứng dụng vào hình học. Hy vọng với một số kinh nghiệm nhỏ này sẽ

góp phần vào phương pháp dạy học, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi,

giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng giải tốn và tư duy giải tốn có hiệu quả hơn.

4, Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh:

4.1, Dạng 1. CHỨNG MINH QUAN HỆ CHIA HẾT:

Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp

thì chia hết cho 9

Giải:

Gọi ba số nguyên dương liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2

12/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



Ta phải chứng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3]

+ Với n =1, ta có: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36



9



(1)



9



Vậy (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k (k  N) tức là: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3]



9



Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:

[(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]



9



Thật vậy ta có:

(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 +27k + 27

= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3



9

9 với k



còn 9(k3 + 3k + 3)

Do đó [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3]



9



+ Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Vậy tổng các lập

phương của ba số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9

Bài 2: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dương thì: A(n) = 7n+2 + 82n+1

Giải:

+ Với n = 1 thì A(1) = 73+ 83 = 343 + 512=19.45



A(1)



19



Vậy A(n) đúng với n = 1

+ Giả sử A(n) đúng với n = k. Ta có : A(k) = 7k+2 + 82k+1



19



Ta phải chứng minh A(n) đúng với n = k +1

A(k+1) = 7k+3 + 82k+3

= 7.7k+2 + 82.82k+1

= 7.7k+2+64.82k+1

= 7.7k+2+7.82k+1+57.82k+1

= 7.( 7k+2 + 82k+1) + 19.3.82k+1

= 7. A(k) + 19.3.82k+1

Vì A(k)



19 (Theo giả thiết quy nạp) 7. A(k)

19



1919.3.82k+1



Theo nguyên lí quy nạp A(n)

Vậy A(n) = 7k+2 + 82k+1



19

19A(k+1)



19



19 Với n nguyên dương

19 Với n ngun dương

13/32



19



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



+ Kết luận: Vậy A(n)đúng với mọi số nguyêndương

Bài 3: Chứng minh rằng: 16n - 15n - 1



225; n N

Giải:



Đặt A(n) = 16n - 15n - 1

+ Với n = 1, tacó:



A(1)= 16 - 15 - 1 = 0



225 A(1)



225



+ Giả sử A(n) đúng với n = k. Ta có: A(k) = 16k - 15k - 1

chứng minh A(n) đúng với n = k + 1

Thật vậy: A(k+1) = 16k+1 - 15(k + 1) - 1



225 Ta phải



= 16.16k - 15k - 16

= (16k - 15k - 1) + 15.16k -15

= (16k - 15k - 1) + 15(16k -1)

= A(k) + 15(16k - 1)

Theo giả thiết quy nạp có A(k)

Tacó:16k-1



16-116k-1



225

15 15(16k-1)



15(16k - 1)

A(k+1)



225



225



225 với n  N



Theo ngun lí quy nạp thì A(n)

+ Kết luận: Vậy 16n – 15k - 1



15.15



225 với n  N



Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (n + n) chia hết cho2n

b)



33n+2 + 5.23n+1chia hết cho 19

c)



n4 + 6n3+ 11n2 + 6n chia hết 24

Giải:



a) Với n = 1 thì S1 = (1 + 1).(1 + 2) ... (1 + n) = 2.3 ... (1 + 1)



2n



Vậy Sn đúng với n = 1

Giả sử Sn đúng với n = k, tức là: Sk = (k + 1).(k + 2) ... (k + k) 2n Ta phải

chứng minh Sn đúng với n = k + 1

Tức là Sk+1 = (k + 2).(k + 3) ... (k +1 + k + 1) = (k + 2).(k + 3) ... (2k +2)

2n

Thật vậy: Sk+1 = (k + 2).(k + 3).(k + 4) ... (k + k +2)

= (k + 1).(k + 2).(k + 3) ... (k + k).2.(2k + 1)

14/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



= Sk.2.(2k + 1)

Theo giả thiết quy nạp có Sk



2n



Dođó: Sk.2.(2k+1)

2n.Sk+1 2n Vậy Sn

+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dương n thì Sn



2n đúng với n = k +1

2n



b) Với n =1 thì A(n) = 33n+2 + 5.23n+1 = 35 +5.24 =243 + 80 = 323 chia hết cho 19

A(n) đúng với n = 1

+ Giả sử A(n)



19 đúng với n = k, tức là: A(k) = 33k+2 + 5.23k+1



19



Ta phải chứng minh A(n)

Tức là:



A(k + 1)



19 đúng với n = k + 1

= 33(k + 1) + 2 + 5.23(k + 1) +1



A(k + 1) = 33k + 5 + 5.23k + 4

Thậtvậy:



19



A(k+1) = 33k+5 + 5.23k+4 = 33k+2.33 + 5.23k+1.23

= 27(33k+2 + 5.23k+1) - 19.33k+1 = 27.Ak - 19.33k+1



Theo giả thiết quy nạp có: Ak

Lại có: 19

Vậy A(n)



19 19.33k+1



19 27Ak



19



19. Do đó A(k+1) = 27.Ak - 19.33k+1



19 đúng với n = k + 1



+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dương n thì A(n)

c) Chứngminh:



n4 + 6n3 + 11n2 + 6n



19



24.



+ Với n = 1 thì A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = 1 + 6 + 11 + 6 = 24

Vậy A

+ Giả sử A



19



24



24 đúng với n = 1

24 đúng với n = k



Tức là: A(k) = k4 + 6k3 + 11k2 + 6k



24



Ta phải đi chứng minh A(n) 24 đúng với n = k + 1

Tức là: A(k+1) = (k+1)4 + 6(k + 1)3 + 11(k + 1)2 + 6(k + 1)



24



Thật vậy:

A(k+1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + 1 + 6k3 +18k2 +18k +6 +11k2 + 22k + 11+ 6k + 1

A(k+1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)

Dễ thấy: k4 + 6k3 + 11k2 + 6k



24 (Theo giả thiết quy nạp) Và 24(k2 + 1)



24.

Lại có (k3 + 11k)



6 với kN.



Thật vậy: với k = 1 thì k3 + 11k = 12

15/32



6 (đúng)



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



Giả sử đúng với k = m thì m3 + 11m

Ta phải chứng minh k3 + 11k



6 (m  N)



6 đúng với k = m +1



Thật vậy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + 1 + 11m + 11

= (m3 + 11m) + (3m2 + 3m + 12)

Do đó k3 + 11k



6 4(k3 + 11k)



24



Vậy A(k+1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)

Vậy A(n)



6



24



24 đúng với n = k + 1



+ Kết luận: Với mọi số ngun dương n thì ln có: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n



24



* Một số bài tập giải tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a:

a) a2 - a chia hết cho 2



b) a3 - a chia hết cho 3



c) a5 - a chia hết cho5



d) a7 - a chia hết cho 7



Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a) 32n+1 + 40n - 67 chia hết cho 64



b) 2n+2.3n + 5n - 4 chia hết cho 25



c) 7n+2 + 82n+2



d) 10n + 72n - 1 chia hết cho 81



chia hết cho5 7



Bài 3: Chứng minh rằng số A = chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên n.

Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với:

a) A=13+ 23+33+...+993+1003;



B = 1 + 2 + 3 +... +99 + 100



b) A =13 + 23+ 33 + ... + 993;



B = 1 + 2 + 3 +... + 99



Bài 5: Chứng minh rằng nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì

(n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 504

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 - b6 chia hết cho 9

Bài 7: a) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập

phương của chúng chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ thì chia hết cho8

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương:

a) (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (2n) chia hết cho 2n

16/32



Sáng kiến kinh nghiệm Mơn tốn



b) (n + 1).(n + 2).(n + 3) ... (3n) chia hết cho 3n

Bài 9: CM rằng: A = n3(n2 - 7)2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n

4.2.Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH TỔNG

Đẳng thức liên quan đến số tự nhiên rất phong phú, tìm ra cơng thức và

chứng minh cơng thức theo biến số tự nhiên rất đa dạng ta xét một số ví dụ.

Ví dụ 1. Tính tổng n số tự nhiên đầu tiên.

Lời giải.

Kí hiệu Pn là tổng phải tìm, nghĩa là Pn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

Ta tính một số tổng tại những giá trị ban đầu:

n

Pn



1

2

3

4

5

6

7

1

3

6

10

15

21

28

Ta thấy quy luật: Tích của hai số liên tiếp ở hàng trên bằng 2 lần số đầu

tiên ở hàng dưới. Như 1.2 = 2.1, 2.3 = 2.3, 3.4 = 2.6, 4.5 = 2.10, 5.6 =2.15, 6.7 =

2. 21, ... Như vậy ta có thể dự đốn cơng thức phải tìm là

Pn = 1 + 2 + 3 + ... + n =

(1)

Biểu thức trên được gọi là giả thiết quy nạp. Muốn chắc chắn công

thức này đúng ta phải chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông qua hai

bước:

1. Bước cơ sở: Với n = 1 công thức (1) đúng như cách tính ở

trên.

2. Bước quy nạp: Giả sử n = k, P(k) đúng, nghĩa là đã có Pk =

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho n = k+1

Thật vậy, P(k+1) = Pk + (k +1) = + (k +1) =

=

Do đó cơng thức (1) cũng đúng với n = k +1, theo nguyên lí quy nạp tốn

học cơng thức (1) đúng với mọi mọi n ≥ 1.

Ví dụ 2. Tính tổng lập phương của n số tự nhiên đầu tiên.

Lời giải.

Ta đặt công thức Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n3. Ta cũng đi tính một số giá trị ban đầu:

n

1

2

3

4

5

6

Sn

1

9

36

100

225

441

3



3



3



Nhìn vào bảng trên ta khó có thể tìm ra quy luật cho S(n). Nhưng với kinh nghiệm

17/32



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

III. Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quynạp:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×