Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§ 2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

§ 2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

Tải bản đầy đủ - 0trang

Câu 1: [0D4-1-3] Bất đẳng thức a 2  b 2  c 2  d 2  e2  a(b  c  d  e) a, b, c, d , e tương

đương với bất đẳng thức nào sau đây?

2



2



2



2



2



2



2



2



2



2



2



2



b 

c 

d 

e



A.  a     a     a     a    0.

2 

2 

2 

2





a 

a 

a 

a



B.  b     c     d     e    0.

2 

2 

2 

2



a 

a 

a 

a



C.  b     c     d     e    0.

2 

2 

2 

2





D.  a  b    a  c    a  d    a  e   0.

2



2



2



2



Lời giải

Chọn B



a 2  b 2  c 2  d 2  e2  a(b  c  d  e)

 a2

  a2

  a2

  a2



   ab  b 2     ac  c 2     ad  d 2     ae  e 2   0

 4

  4

  4

  4



2



2



2



2



a 

a 

a 

a



 b    c     d    e    0

2 

2 

2 

2





Câu 2: [0D4-1-3] Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào đúng?

A. a  b  4.



B. a  b  4.



C. a  b  4.



D.



a  b  4.

Lời giải

Chọn B

2

 ab

 ab 

Vì a, b  0 , ta có a  b  ab  

  4  a  b   a  b

  ab  

 2 

 2 

(*).



2



2



Lại có a, b  0 nên chia hai vế của (*) cho a  b  0 , ta được a  b  4 .

Câu 3: [0D4-1-3] Cho a, b, c  0 và P 

A. 0  P  1.



a

b

c





. Khi đó

ab bc ca



B. 2  P  3.

Lời giải



Chọn C



C. 1  P  2.



3

D. P  .

2



AD bđt ở câu 4 :

Tương tự

Lại có



a

a

a ac

a

ac

1 

1



, ta có

.

ab

b

ab abc

b bc



b

c

ba

cb





,

.Suy ra P  2 .

bc abc ca abc



a

c

a

b

c

b





,



,

. Suy ra P  1 .

ab abc bc abc ca abc



Vậy 1  P  2 .

Câu 4: [0D4-1-3] cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức



 a  b  c 

I) 1  1  1    8

 b  c  a 

2

 2

 2



II)   b  c   c  a   a  b   64

a

 b

 c



III) a  b  c  abc

Chọn khẳng định đúng.

A. Chỉ I) đúng.

II), III) đúng.



B. Chỉ II) đúng.



C. Chỉ I) và II) đúng. D. Cả I),



Lời giải

Chọn C



 a  b  c  b  a c  b a  c 2 ba 2 cb 2 ac







 8 nên I) đúng .

.

.

1  1  1   

b

c

a

b

c

a

 b  c  a 

Lại có



4

2

2

bc

,

 b  c   2 bc  4

a

a

a



4

4

2

ca 2

ab

tương tự  c  a  4

,

, ab  4

b

b c

c

4

bc 4 ca 4 ab

2

 2

 2



suy ra   b  c   c  a   a  b   4

4

4

 64 nên II) đúng.

a

b

c

a

 b

 c





Dễ thấy III) sai.



Câu 5: [0D4-1-3] Cho x, y là những số thực dương thỏa mãn x  y 

thức P 



4 1



là:

x 4y



5

. Giá trị nhỏ nhất của biểu

4



B. 3 .



A. 2 .



C. 5 .



D.



65

.

4



Lời giải

Chọn C

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy schwarz ta có

2



1

 

2

4 1

2

2

P 



  

x 4y

x

y



2



1



25

2  

2



 4 5

5

x y

4



Dấu bằng xảy ra khi x  1, y 

Câu 6: [0D4-1-3] Cho a  b  0 và x 



1

.

4

1 a

1 b

, y

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

1 a  a

1  b  b2



A. x  y .



B. x  y .



C. x  y .



D. Không so sánh được.

Lời giải



Chọn B



1

1

1

1

a

và  b 

.

x

a 1

y

b 1



Ta có:



Suy ra:



a b0



Do



 1



Vậy







1 1

1

   a  b  1 



x y

  a  1 b  1 



1



nên



 a  1 b  1



a 1  1







b 1  1



suy



ra:



1



 a  1 b  1



1



0.



1 1

1 1

1 1

  0   do x  0 và y  0 nên   x  y .

x y

x y

x y



Câu 7: [0D4-1-3] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức sau:

I)



a b

  2.

b a



II)



a b c

   3.

b c a



1 1

III)  a  b      4 .

a b



Bất đẳng thức nào đúng?

A. Chỉ I) đúng.

đều đúng.



B. Chỉ II) đúng.



C. Chỉ III) đúng.



D. Cả ba



Lời giải

Chọn D

Ta có:



a b c

a b

a b

a b c

  2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng;

b c a

b a

b a

b c a



a  b  2 ab 



1 1

1 1

1    a  b   a  b   4  ( III ) đúng.





 2



a b

ab 

Câu 8: [0D4-1-3] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:



 1 1 1

II)  a  b  c       9

a b c

 a  b  b  c  c  a   9 .



I) a  b  c  3 3 abc



III)



Bất đẳng thức nào đúng:

A. Chỉ I) và II) đúng.



B. Chỉ I) và III) đúng.



C. Chỉ I) đúng.



D. Cả ba đều đúng.

Lời giải



Chọn A





a  b  c  3 3 abc   I 



đúng;



1 1 1

1

    33

1 1 1

  a b c

abc   a  b  c       9 

a b c

a  b  c  3 3 abc



1 1 1

9

  

  II  đúng;

a b c abc



 a  b  2 ab ;



b  c  2 bc ;



c  a  2 ca   a  b  b  c  c  a   8abc



  III  sai.

Câu 9: [0D4-1-3] Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:



 a  b  c 

I) 1  1  1    8 .

 b  c  a 

2

 2

 2



  b  c   c  a   a  b   64 .

a

 b

 c





II)



III) a  b  c  abc . Bất đẳng thức nào đúng?

A. Chỉ I) đúng.



B. Chỉ II) đúng.



C. Chỉ I) và II) đúng.



D. Cả ba đều đúng.



Lời giải

Chọn C



abc

b

b

a

c

a

c

 a  b  c 

2

; 1  2

; 1  2

 1  1  1    8

8

c

c

b

a

b

a

bca

 b  c  a 

  I  đúng.



1



2

bc

bc

1

b 1

c

  b  c  2 4 2  44 2 .

b  2

; c  2

a

a

a

a

a a

a

Tương tự:



2

ab

ac 2

 c  a  44 2 ;  a  b  44 2 .

b

c

c

b



2

 2

 2



Suy ra:   b  c   c  a   a  b   64   II  đúng.

a

 b

 c



Ta có: 3 3 abc  a  b  c  abc 

Câu 10:



3



 abc 



2



 3  abc  3 3   III  sai.



[0D4-1-3] Cho x, y , z  0 và xét ba bất đẳng thức(I) x3  y 3  z 3  3xyz ; (II)

1 1 1

9

x y z

  

; (III)    3 . Bất đẳng thức nào là đúng?

x y z x yz

y z x

A. Chỉ I đúng.

đều đúng.



B. Chỉ I và III đúng.



C. Chỉ III đúng.



D. Cả ba



Lời giải

Chọn B



x3  y 3  z 3  3 3 x3 y 3 z 3  3xyz   I  đúng;

1 1 1

1

    33

1 1 1

9

1 1 1

xyz       x  y  z   9    

  II 

x y z

x

y

z

x



y



z

x

y

z







3

 x  y  z  3 xyz

sai;

x y z

x y z

   3 3 . .  3   III  đúng.

y z x

y z x



Câu 11: [0D4-1-3] Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a  b  4 .

a  b  4.



B. a  b  4 .

Lời giải



Chọn B



C. a  b  4 .



D.



Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:



Do



 a  b

ab 



2



4



ab  a  b 



đó:



 a  b



2



.



 a  b

4



2



 ab 



 4  a  b   0   a  b  a  b  4   0



 a  b  4  0 (vì a  b  0 )  a  b  4 .



Câu



12:



[0D4-1-3]



Cho



abcd



và x   a  b  c  d  ,



y   a  c  b  d  ,



z   a  d  b  c  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. x  y  z .

x z  y.



C. z  x  y .



B. y  x  z .



D.



Lời giải

Chọn A

Ta

có:

x  y   a  b  c  d    a  c  b  d   a  c  d   b  c  d   a  b  d   c  b  d 



 a  c  b   bd  cd   d  a  b  c   0 .

Suy ra: x  y .

Tương tự: x  z   a  c  d  b   0  x  z ; y  z   a  b  d  c   0  y  z .

Câu 13: [0D4-1-3] Bất đẳng thức: a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e  ,  a , b , c, d

tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

2



2



2



2



2



2



2



2



2



2



2



2



b 

c 

d 

e



A.  a     a     a     a    0 .

2 

2 

2 

2



a 

a 

a 

a



B.  b     c     d     e    0 .

2 

2 

2 

2



a 

a 

a 

a



C.  b     c     d     e    0 .

2 

2 

2 

2





D.  a  b    a  c    a  d    a  d   0 .

2



2



2



2



Lời giải

Chọn B



a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e 



 a2

  a2

  a2

  a2



   ab  b 2     ac  c 2     ad  d 2     ae  e 2   0

 4

  4

  4

  4



2



2



2



2



a 

a 

a 

a



 b    c     d    e    0 .

2 

2 

2 

2





Câu 14: [0D4-1-3] Cho x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f  x  



A.



1

2 2



.



B.



2

.

2



C.



x2

bằng:

x



2

.

2



D.



1

.

2



Lời giải

Chọn A

Ta



f  x  0











2

x2 1 2 1

1

1 1 1

.

 f  x    2   2   2      0  f  x  

x

x x

8

2 2

 x 4 8

2



Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng



1

2 2



Câu 15: [0D4-1-3] Với a, b, c  0 . Biểu thức P 



.



a

b

c





. Mệnh đề nào sau đây

bc ca ab



đúng?

A. 0  P 



3

B.  P .

2



3

.

2



4

C.  P .

3



3

D.  P .

2



Lời giải

Chọn D



1

1 

 1

Ta có: P  3   a  b  c  





.

bc ca ab 

Áp



dụng



bất



đẳng



thức



1 1 1

9

  

x y z x yz



1

1

1

9







.

b  c c  a a  b 2a  b  c

Do đó P  3 



9

3

 P  ; đẳng thức xảy ra khi a  b  c .

2

2



suy



ra:



Câu 16: [0D4-1-3] Cho 3 số a, b, c . Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

A. a  b  2 ab .

.



B. (a  2b  3c) 2  14(a 2  b 2  c 2 )



C. ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2 .



D.



1 1

4

 

.

a b ab



Lời giải

Chọn C

C đúng vì ab  bc  ca  a 2  b2  c 2   a  b    b  c    c  a   0 .

2



2



2



Câu 17: [0D4-1-3] Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác. Xét các bất đẳng thức sau đây:

I. a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca).



II. a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca).



III. a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca.

Bất đẳng thức nào đúng?

A. Chỉ I.

III.



B. Chỉ II.



C. Chỉ III.



D. II và



Lời giải

Chọn B

II đúng vì BDT   a2  2ac  c2   b2    2b2  2ab  2bc   0



  a  c  b  a  c  b   2b  b  a  c   0

I và III sai với a  3, b  4, c  5 .

Câu 18: [0D4-1-3] Cho a, b, c là 3 số không âm. Xét bất đẳng thức nào sau đây đúng?



 I  : ab(b  a)  a3  b3 .

 III  : a  b  c 



ab  bc  ca .



 IV  :  a2  b2  c2   a  b  c   9abc .

Các mệnh đề đúng là .



 II  : (a  b)(ab  1)  4ab .



A. Chỉ I.

III, IV.



B. Chỉ II, III.



C. Chỉ III.



D. II và



Lời giải

Chọn D

A sai với a  0, b  1 .

B đúng vì a  b  2 ab  0 và ab  1  2 ab  0 nên  a  b  ab  1  4ab .

C đúng vì a  b  2 ab , b  c  2 bc và c  a  2 ca , cộng vế theo vế ta được

đpcm.

Câu 19: [0D4-1-3] Câu nào sau đây đúng với mọi số x và y ?

A. 2 x 2  y 2  4  6 xy



B. 4 xy ( x  y ) 2  ( x 2  y 2 ) 2 .



C. xy  1  2 xy .



D. x 2  y 2  3xy  0 .

Lời giải



Chọn B

A sai với x  1, y  2 .

C sai với x  0, y  0 .

D sai với x  1; y  2 .

Câu 20: [0D4-1-3] Cho a, b, c dương. Câu nào sau đây sai ?

A. (1  2a)(2a  3b)(3b  1)  48ab .

B. (1  2b)(2b  3a)(3a  1)  48ab .

C.



1

1

1

11 1 1





    .

2

2

2

1 a 1 b 1 c

2a b c



 a  b  c 

D.   1  1  1  8 .

 b  c  a 

Lời giải

Chọn C

A đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1  2a  2 2a ; 2a  3b  2 6ab ;



3b  1  2 3b

B đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có 1  2b  2 2b ; 2b  3a  2 6ab ;



3a  1  2 3a



C sai với a  1, b  2, c  3 .

D đúng khi áp dụng BĐT Cauchy có



a

b c

a b

c

1  2

; 1  2

; 1  2

b

c a

b c

a



Câu 21: [0D4-1-3] Cho a, b, c dương. Bất đẳng thức nào đúng?



1 1 1

A. (a  b  c)      3 .

a b c



1 1 1

B. (a  b  c)      9 .

a b c



1 1 1

C. (a  b  c)      9 .

a b c



1 1 1

D. (a  b  c)      3 .

a b c

Lời giải



Chọn C

C đúng vì a  b  c  3 3 abc và



1 1 1

1

   33

, nhân vế theo vế ta chọn C .

a b c

abc



Câu 22: [0D4-1-3] Cho x 2  y 2  1 , gọi S  x  y . Khi đó ta có

A. S   2 .

1  S  1 .



B. S  2 .



C.  2  S  2 .



D.



Lời giải

Chọn C



S 2  x 2  y 2  2 xy  2  x2  y 2   2



Đẳng thức xảy ra khi x  y .

Vậy,  2  S  2 .

Câu 23: [0D4-1-3] Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x  y  2 . Gọi m  x 2  y 2 . Khi

đó ta có:

B. giá trị nhỏ nhất của m là 4 .

D. giá trị lớn nhất của m là 4 .



A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .

C. giá trị lớn nhất của m là 2 .

Lời giải

Chọn A



Ta có: m  x2  y 2   x  y   2 xy  4  2 xy  xy 

2



m  x 2  y 2  2 xy  2.



4m

 4m m2

2



Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 2.

Câu 24: [0D4-1-3] Bất đẳng thức nào sau đây là đúng ?



4m

2



A. Nếu a , b dương thì



ab

ab



.

ab

4



B. Với a , b bất kỳ 2  a 2  ab  b2   a 2  b2 .



 1 1 1

C. Nếu a, b, c dương thì  a  b  c       9. .

a b c

a

b

c

3





 .

D. Nếu a, b, c dương thì

bc ca ab 2

Lời giải

Chọn A

 a  b

ab

a  b 4ab   a  b 

Xét đáp án A







0

ab

4

4 a  b

4 a  b

2







2



ab

ab



ab

4



Xét đáp án B 2  a 2  ab  b 2    a 2  b 2   a 2  2ab  b 2   a  b   0

2



 2  a 2  ab  b2   a 2  b2



1 1 1

Xét đáp án C  a  b  c       9.

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương



a  b  c  3 3 abc

1 1 1

1

   33

a b c

abc

1 1 1

Nhân vế theo vế suy ra  a  b  c       9

a b c

 1 1 1

  a  b  c       9.

a b c

Xét đáp án D



Ta có:



a

b

c

3







bc ca ab

2



a

b

c

3







bc ca ab 2



 a

  b

  c

 3



 1  

 1  

 1   3

 bc   ca   a b  2



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§ 2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×